Modified-ASME 失效概率模型的驗證與優(yōu)化

許俊 管月霞 曾廣禮

1（中國科學院上海應用物理研究所 上海201800）

2（中國科學院大學 北京100049）

釷基熔鹽堆是國際上公認的最具有潛力的第四代核反應堆之一［1-2］。核石墨憑借良好的中子慢化能力、較低的中子吸收截面和優(yōu)異的高溫力學性能，被選作熔鹽堆的慢化劑、反射層以及主要結構的材料［3-4］。然而熔鹽堆中的中子輻照會讓核石墨產(chǎn)生宏觀上的尺寸及力學性質(zhì)的變化，使得石墨構件之間的連接處等位置產(chǎn)生應力集中現(xiàn)象，進而發(fā)生斷裂。同時熔鹽堆內(nèi)部的高溫環(huán)境也讓核石墨內(nèi)部產(chǎn)生熱應力，導致核石墨構件壽命的減少。因此，在反應堆設計時需要一種可以評估核石墨斷裂情況的計算方法，以保證核石墨構件在反應堆運行時的完整性。

核石墨屬于一種脆性材料［5］，主要由焦炭和黏結劑等組成，在生產(chǎn)的過程中黏結劑在焙燒階段體積收縮，會在核石墨內(nèi)部生成裂紋和孔洞等缺陷。由于這些缺陷本身就具有隨機性的特征，讓核石墨的材料強度具有一定的離散性，無法在實驗中像其他金屬材料一樣獲得準確的失效載荷。所以相較于核安全分析中的確定論方法，概率論方法更加適用于核石墨構件的失效評估。目前評估核石墨失效概率的模型有很多，例如應用于多軸應力的Batdorf 模型［6-7］以及將斷裂力學和基于物質(zhì)微觀結構的石墨失效理論相結合的Burchell模型［8］等。這些失效概率模型的核石墨強度分布函數(shù)大多采用基于最弱鏈理論的Weibull 分布［9-10］。在最弱鏈理論中試件是由多個鏈組串聯(lián)組成，這些鏈組會擁有各自不同的強度；當試件受到載荷時，只要有一個鏈組產(chǎn)生了破壞，整個試件結構將發(fā)生失效。Hindley 等［11］通過對三參數(shù)Weibull分布的研究，提出了一種利用數(shù)值模擬計算核石墨失效概率的方法。通過有限元軟件建立核石墨構件的線彈性模型，計算得出構件的應力和積分點體積等相關數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)根據(jù)顆粒尺寸和應力梯度進行分組，然后根據(jù)Weibull 分布函數(shù)計算出構件的失效概率。該方法憑借其簡單的計算分析過程且通過大量實驗證明，在核石墨領域內(nèi)被廣泛認可，目前已被美國機械工程師協(xié)會（ASME）所采用，建立了ASME 核石墨失效概率模型［12］。

釷基熔鹽堆系統(tǒng)中核石墨構件與高溫熔鹽直接接觸，因此高溫熔鹽會滲透進核石墨內(nèi)部，在核石墨內(nèi)部產(chǎn)生熱點進而降低核石墨的強度［13］。所以釷基熔鹽堆一般采用超細顆粒核石墨以防止高溫熔鹽的滲透，減少核石墨的損傷［14］。而建立ASME模型所采用的材料參數(shù)來自德國生產(chǎn)制造的NBG-18粗顆粒核石墨，這讓ASME模型對超細顆粒核石墨的失效評估過于保守，遠低于實驗值。針對這一問題ASME 基于ASME 模型改進分組條件，提出了一種適用于超細顆粒核石墨評估的Modified-ASME 模型，但是該模型并沒通過相關的計算進行驗證。本文在有限元軟件ABAQUS 中建立T-220 超細顆粒核石墨的四點彎曲實驗的模型，采用50%失效概率預測方法和全尺度失效概率預測方法對Modified-ASME 模型加以驗證，并利用基于巴西圓盤實驗的Weibull 參數(shù)修正方法對Modified-ASME模型進行優(yōu)化。

1 計算模型

1.1 ASME模型

ASME模型采用了最弱鏈理論，為了計算方便以及保守性進行了一定的簡化：（a）提取有限元軟件中核石墨試件各個積分點的相關數(shù)據(jù)，通過式（1）～（4）來計算等效應力；（b）對各個積分點按照體積和應力梯度這兩個條件分組：規(guī)定每組計算體積Vm必須滿足式（5）；規(guī)定每組之間應力梯度必須滿足式（6）；分組完成之后計算每組的可靠概率，如式（7）所示；計算整個試件的可靠概率的計算式，如式（8）所示。

式中：σi表示主應力；k表示轉換系數(shù)。若σi為拉應力，則k取值為1，反之k取值R，R表示平均拉伸強度和平均壓縮強度的比值。將各個積分點按照其等效應力從大到小進行排序，同時對Weibull三參數(shù)之一的極限強度S0進行修正，如式（3）所示。

式中：Smax表示核石墨的最大顆粒尺寸。

式中：LI表示每組的可靠概率；vi表示每個積分點的體積；VI表示每組的體積。

式中：L表示整個試件的可靠概率，則失效概率（Probability of failure，POF，以PF表示）的計算如式（9）所示。

1.2 Modified-ASME模型

Modified-ASME 模型對于超細顆粒核石墨的顆粒尺寸平均只有幾微米，讓顆粒尺寸倍數(shù)這個分組條件非常容易就能滿足的這一問題，在體積分組中引入斷裂韌性和抗壓強度，如式（10）所示。在應力梯度分組條件中，提高了應力梯度的大小，如式（11）所示。

式中：K1C表示斷裂韌性；σm表示抗拉強度。

2 Modified-ASME模型的驗證

2.1 50%失效概率預測

為了得到核石墨的相關材料參數(shù)，需要對核石墨進行大量的強度實驗測試。核石墨內(nèi)部存在大量分布不均和形狀不規(guī)則的缺陷，因此其強度試驗的結果具有明顯的分散性，但大量的失效載荷會聚集在平均值附近，對應著50%失效概率的模擬載荷。本文使用T-220核石墨進行四點彎曲實驗，得出核石墨試件的平均斷裂載荷。利用ASME模型和Modified-ASME 模型計算出50%失效概率下的模擬載荷與實驗結果進行驗證，分析對比兩個計算模型對超細顆粒核石墨的適用性。

實驗中，將核石墨樣品加工成狗棒狀，同時為了更加接近熔鹽堆中石墨構件的尺寸，使得驗證結果更加具有可靠性，將核石墨樣品的長、寬、高設計為350 mm×60 mm×80 mm。石墨樣品的中間槽有不同半徑的倒角，可以分析工程設計上經(jīng)常遇到的應力集中現(xiàn)象，將倒角的半徑分別設計為1 mm、5 mm、10 mm、20 mm，對應的試件名分別為R1、R5、R10、R20，如圖1所示。

圖1 樣品尺寸Fig.1 Size of the graphite sample

將不同核石墨樣品放在MTS 萬能實驗機上進行測試，實驗裝置如圖2所示。石墨樣品的上夾具的跨距為100 mm，下夾具的跨距為300 mm。在測試過程中，將下方夾具保持固定，上方夾具以固定的速度向下施加位移載荷，當核石墨樣品發(fā)生破壞時停止實驗，獲取樣品的斷裂載荷；每種倒角半徑測試10 個樣品，實驗結果如表1 所示。從表1看出，核石墨的平均斷裂載荷隨著倒角半徑而增大，表明核石墨試件的倒角半徑越小，核石墨試件的結構越容易發(fā)生破壞。標準差越小也表明測試結果具有很好的可靠性。

圖2 實驗裝置Fig.2 Experimental facility

表1 T-220核石墨的斷裂載荷Table 1 Fracture load of T-220 nuclear graphite

根據(jù)四點彎曲實驗中核石墨的樣品尺寸，利用ABAQUS 軟件建立1∶1 的線彈性有限元模型，如圖3 所示。有限元模擬和數(shù)值計算中所需的T-220 核石墨和夾具的參數(shù)，如表2 所示。按照四點彎曲實驗的加載條件，在ABAQUS 中將有限元模型下端的兩個夾具固定，在上方的兩個夾具表面施加向下的位移載荷以模擬加載過程。計算出核石墨樣品的應力云圖，如圖4所示。從圖4可以發(fā)現(xiàn)，在核石墨樣品的倒角周圍出現(xiàn)了應力集中現(xiàn)象，導致倒角處易發(fā)生斷裂，結合實驗的測試結果說明了在反應堆設計中應當避免倒角半徑過小的情況［15］。

圖3 ABAQUS中有限元模型(R=5 mm)Fig.3 Finite element model in ABAQUS(R=5 mm)

表2 T-220核石墨和夾具的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of T-220 nuclear graphite and anvil

圖4 應力云圖(R=5 mm)Fig.4 Stress distribution(R=5 mm)

提取有限元計算結果中的核石墨試件的主應力和積分點體積等相關數(shù)據(jù)，再分別通過ASME模型和Modified-ASME 模型計算出50%失效概率下的模擬斷裂載荷。兩個模型計算所需的Weibull參數(shù)的取值為：S0=23.43，SC= 33.18，m=5.65。模擬斷裂載荷與實驗的平均斷裂載荷的比值為調(diào)整系數(shù)f，該系數(shù)可以表征仿真模擬與實驗測試之間的偏差，各個試件的調(diào)整系數(shù)如表3所示。通過50%失效概率預測計算出的模擬失效載荷與實驗結果的誤差在6%以內(nèi)被認為是預測精準；誤差在6%～18%，表明預測結果是可以接受；誤差高于18%，表明預測結果是不準確的。

表3 50%失效概率預測Table 3 Prediction of 50%POF

通過表3 可以看出，ASME 模型和Modified-ASME模型的調(diào)整系數(shù)會隨著倒角半徑而增加，這是由于失效概率模型所使用的Weibull 參數(shù)是由拉伸實驗的數(shù)據(jù)擬合而來，對應力梯度較小的有限元模型有較好的適用性。ASME模型計算出的調(diào)整系數(shù)大多在0.75 以下，則與實驗的誤差在25%以上，表明模擬斷裂載荷和實驗結果差距過大，無法準確預測核石墨的斷裂載荷；Modified-ASME模型的調(diào)整系數(shù)比ASME 模型有一定的提高，除了應力集中最明顯的R1 試件的調(diào)整系數(shù)遠低于可接受的預測結果外，其余試件的調(diào)整系數(shù)都已經(jīng)接近或者達到了可接受值。這說明Modified-ASME模型比ASME模型更適合超細顆粒核石墨的失效評估，但是仍然達不到要求，需要進行優(yōu)化。

2.2 全尺度失效概率預測

在實際的反應堆工程設計中，一般要求核石墨構件的失效概率在10?2以下。因此對核石墨構件的失效評估除了進行50%失效概率的驗證外，還要利用全尺度失效概率預測進行驗證，如圖5 所示。通過這種預測方法，可以分析對比ASME 模型和Modified-ASME模型在失效概率在10?2以下時對超細顆粒石墨的適用性。

圖5 以試件R5 為例，對比了兩個失效概率計算模型的全尺度失效概率曲線，橫坐標表示核石墨樣品所受的載荷，縱坐標表示失效概率（POF）。從圖5可以看出，ASME模型在同一載荷下的失效概率在全尺度范圍內(nèi)相比于Modified-ASME 模型高，顯得保守。因此Modified-ASME 模型比ASME模型更適合在反應堆設計中使用。

圖5 全尺度失效概率預測Fig.5 Prediction of full-scale POF

3 Modified-ASME模型的優(yōu)化

對ASME 失效概率模型的優(yōu)化方案主要是從優(yōu)化分組參數(shù)的角度出發(fā)，例如王泓杰等［16］基于IG-110 和NG-CT-01 兩種細顆粒核石墨的彎曲、拉伸和壓縮實驗對ASME 模型進行分組參數(shù)優(yōu)化，但優(yōu)化結果表明，兩個分組參數(shù)對于細顆粒石墨適用性不佳，進行優(yōu)化也沒有意義。本文從材料參數(shù)修正的角度出發(fā)，用優(yōu)化分組參數(shù)的方法［17］對材料參數(shù)中的Weibull 參數(shù)進行修正，讓Modified-ASME模型的計算結果更加接近實驗值。

3.1 Weibull 參數(shù)的數(shù)值變化對Modified-ASME模型計算結果的影響

為了確定Weibull參數(shù)中需要進行修正的參數(shù)，需要分析Weibull 參數(shù)的數(shù)值變化對計算結果的影響。

3.1.1 極限強度

極限強度（S0）用來表征核石墨材料的最小壽命參數(shù)。在有限元模型的數(shù)據(jù)中不是所有的單元都進入計算，只有等效應力大于S0值的單元才會進入計算。以試件R5 為例，取S0值在18～28，做出不同S0值下的失效概率曲線，如圖6所示。

圖6顯示了全尺度范圍內(nèi)不同S0值下失效概率的變化，可以發(fā)現(xiàn)，S0值越大同一載荷下核石墨的失效概率越低，這是因為S0值越大導致進入失效概率模型中進行計算的單元數(shù)量越少，則分組數(shù)越少。從最弱鏈理論中可知，分組數(shù)量越少，失效概率越低。從圖6還可以發(fā)現(xiàn)，50%失效概率下的模擬斷裂載荷隨著S0值的提高有一定的提高，且模擬斷裂載荷提高幅度隨著S0值提高越來越大。

圖6 S0的變化對計算結果的影響Fig.6 Influence of S0 change on the calculation results

3.1.2 特征強度

在Weibull 分布中特征強度（SC）用來表征石墨材料的整體強度，SC越大，表示核石墨的強度越高越不容易斷裂。以試件R5 為例，取SC值取29～37，做出不同SC值下的失效概率曲線，如圖7所示。

圖7 SC的變化對計算結果的影響Fig.7 Influence of SC change on the calculation results

從圖7可以看出，SC對計算結果的影響相比S0較大。從全尺度來看，在低載荷狀態(tài)下，隨著SC值的升高，核石墨在同一載荷下的失效概率增加，這是由于低載荷狀態(tài)下S0需要通過式（3）進行修正，SC值越大則修正后S0值就越小，則進入計算的單元數(shù)量增加，導致分組數(shù)量增加和失效概率提高；當載荷逐漸增大，S0的值無需修正保持不變，進入計算的單元數(shù)量保持不變，隨著SC值的提高，即核石墨強度的增加，核石墨在同一載荷下的失效概率逐漸降低。從50%失效概率預測的角度來看，模擬斷裂載荷隨著SC值的提高有較大幅度的增加，模擬載荷增加的幅度隨著SC值的提高不斷減小。

3.1.3 形狀參數(shù)

形狀參數(shù)（m）描述了Weibull 分布函數(shù)的形狀，當m＞2 時，隨著m的增大，分布函數(shù)的斜率會越大，且不管m取何值，63.2%的斷裂情況都發(fā)生在應力σν=SC?S0之前。m值取4.5～6.5，做出不同m值下的失效概率曲線，如圖8所示。

由圖8，在全尺度范圍內(nèi)隨著m值不斷增大，曲線的曲率越來越大，即核石墨的失效概率增長越來越快，符合Weibull 分布函數(shù)的特性。而且從圖8可以發(fā)現(xiàn)，50%失效概率下的模擬斷裂載荷隨著m值的提高有一定的提高，該變化類似于S0的變化，但是模擬斷裂載荷的提高幅度相較于S0較小。

圖8 m的變化對計算結果的影響Fig.8 Influence of m change on the calculation result

從以上圖片和分析可以看出，Sc和S0對計算結果影響較大，更加適合作為修正參數(shù)。

3.2 Weibull參數(shù)的修正

由于Weibull 參數(shù)是由小尺寸石墨樣品的拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合而來，屬于材料參數(shù)，直接利用大尺寸的四點應力實驗的數(shù)據(jù)對其進行修正是不可靠的。Weibull 參數(shù)的修正需要利用同樣是用于測量抗拉強度的巴西圓盤實驗。

3.2.1 巴西圓盤實驗

核石墨的抗拉強度小于抗彎強度和抗壓強度，選取巴西圓盤實驗模型來獲取核石墨的抗拉強度作為斷裂載荷。為了保證核石墨樣品的破壞由平面圓中心點最先起裂［18］，必須對原本的長方體夾具進行一定的改進，使得夾具擁有一定的弧度，如圖9所示。在這種類型的夾具下巴西圓盤的抗拉強度公式見式（12）。

式中：P為施加在核石墨樣品的最大載荷，N；R為核石墨樣品的半徑，m；L為核石墨樣品的厚度，m。

圖9 加載裝置示意圖Fig.9 Schematic diagram of loading fixture

實驗中選取8個直徑為12.7 mm、厚度為6.35 mm的核石墨樣品，將其分別放入夾具之中，然后采用下夾具固定，通過給上夾具的表面施加壓力的加載方式將核石墨樣品破壞，獲得8個樣品的平均抗拉強度為29.08 MPa。在有限元軟件ABAQUS中建立巴西圓盤實驗的有限元模型，如圖10 所示。由圖10 所示，對中間的核石墨試件采取相同的加載方式，計算出失效概率為50%時的模擬抗拉強度16.18 MPa。

圖10 巴西圓盤有限元模型Fig.10 Finite element model of Brazilian disk

3.2.2 Weibull參數(shù)的修正方法

將式（3）改為式（13）；將式（4）改為式（14）。

在式（13）和（14）中，原本的S0和SC分別增加了修正因子α和β，然后分別改變α和β的值，獲得不同組合下50%失效概率的模擬抗拉強度。將不同組合下的模擬抗拉強度和巴西圓盤實驗中每個樣品的抗拉強度相對比，獲得每個樣品的調(diào)整系數(shù)fi，計算出模擬抗拉強度與實驗平均抗拉強度之間的均方根，如式（15）所示。根據(jù)文獻［17］的研究，對于不同的組合，每個樣品的調(diào)整系數(shù)fi的值會大于或小于0.82。出于反應堆安全的需要，當調(diào)整系數(shù)fi大于0.82時，給其均方根的數(shù)值增加一個取值為0.5的懲罰系數(shù)。隨后計算出所有樣品的平均均方根，如式（16）所示。平均均方根表示模擬抗拉強度與實驗之間的誤差，平均均方根最小的組合就是最優(yōu)的組合。

式中：n表示樣品數(shù)量；RMS表示均方根；表示平均均方根。

3.3 Weibull參數(shù)的修正結果

圖11顯示了Weibull參數(shù)的修正結果。圖11中X軸表示修正因子α，Y軸表示修正因子β，Z軸表示每個α和β的值組合下的平均均方根，α和β的值的增量為0.01，取值范圍為1～1.25。從圖11 可以看出，平均均方根最小的組合為（1.20，1.24）。

利用Weibull 參數(shù)的修正結果去計算四點應力實驗中各個試件的調(diào)整系數(shù)，如表4所示。結果顯示，大部分試件的模擬斷裂載荷與實驗的誤差在6%以內(nèi)，這表明經(jīng)過Weibull參數(shù)修正方法優(yōu)化過Modified-ASME 模型能夠較為精確地預測核石墨的斷裂載荷。

圖11 Weibull參數(shù)的修正結果Fig.11 Correction results of Weibull parameter

表4 參數(shù)優(yōu)化后的50%失效概率預測Table 4 Prediction of 50%POF.after parameter optimization

4 結論

本文基于四點彎曲實驗驗證了Modified-ASME失效概率計算模型對超細顆粒核石墨的適用性，并利用巴西云盤實驗對計算模型進行了優(yōu)化。得到了以下結論：（1）ASME模型的計算結果無論是通過50%失效概率預測方法，還是全尺度失效概率預測方法都顯得十分保守，不利于超細顆粒核石墨的失效評估， Modified-ASME 模型計算結果相比于ASME 模型有一定的提高，但依舊達不到工程設計的要求；（2）Weibull 三參數(shù)中的Sc的值對計算結果影響最大，S0和m的值對計算結果的影響相對較?。唬?）經(jīng)過Weibull 參數(shù)修正方法的優(yōu)化過的Modified-ASME 模型的計算結果與實驗誤差較小，能較為準確地預測超細顆粒核石墨的斷裂載荷。