核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“圖形新定義”試題的命制與思考

李淑琴

【摘要】“圖形新定義”試題是中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的一類新題型.這類題型因為其獨特的特點，受到中考試卷命題專家的喜愛.文中主要就對核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“圖形新定義”試題的命制進行探討，希望可以為該類試題的命制提供借鑒.

【關(guān)鍵詞】試題;命題;圖形新定義;中考

近年來，隨著課程的不斷改革，在中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了一類新的題型——“圖形新定義”試題.這類試題情境設(shè)計新穎、題型創(chuàng)新、巧思妙設(shè)，對學(xué)生考查的背景相對公平，受中考試卷命題專家們的喜愛.該類試題按照一定的條件（規(guī)則）給出一個學(xué)生從沒見過的圖形定義，要求學(xué)生認(rèn)真閱讀理解定義（概念），通過類比學(xué)習(xí)，進行知識的遷移，探究并解決所提出的問題.這類試題的特點在于考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、圖形的積累經(jīng)驗、邏輯推理能力;考查教師平時教學(xué)中是否讓學(xué)生經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)、探究新知、應(yīng)用新知來獲取新知識的數(shù)學(xué)活動過程.縱觀近幾年的數(shù)學(xué)試卷，發(fā)現(xiàn)新定義試題如果在選擇題或填空題中，一般也是后面一兩題，難度系數(shù)比較大;如果是作為解答題出現(xiàn)，題目偏長，也是難度系數(shù)大的壓軸題，所占分值也較多.很多學(xué)生看到解答題中的材料閱讀題就感到?jīng)]信心，自動退縮，從而導(dǎo)致無法認(rèn)真靜心閱讀材料，就很難從材料中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)和規(guī)律等.這是中考中的一大失分點.

新定義試題一般有以下幾種：（1）定義新運算;（2）規(guī)律題型中的新定義;（3）探索題型中的新定義;（4）閱讀材料題型中的新定義;（5）定義初、高中知識銜接新知識;（6）定義新概念.因此，教師在平時教學(xué)時，應(yīng)注重學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng)，在平時練習(xí)中有意識地添加一些閱讀型題型，指導(dǎo)學(xué)生在閱讀時用筆畫出關(guān)鍵字詞，尋找有利條件，找出規(guī)律，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣.有一些新定義試題會給出適當(dāng)?shù)睦?，引?dǎo)學(xué)生懂得在例子中找出原理和規(guī)律，學(xué)會歸納“例子”提供的方法，采用類比、模仿等方法進一步解答.

本文將通過本人命制的一道“圖形新定義”試題及獲獎的歷程，談?wù)剬γ啤皥D形新定義”試題的思考與過程，以求教于同行.

一、試題及評析

例1 定義：△ABC中，若線段BM與CN交于點O，且滿足∠A+∠NOM=180°，則稱BM，CN為△ABC的關(guān)聯(lián)線.

（1）特殊驗證：如圖1所示，∠A=60°，BM與CN分別平分∠ABC與∠ACB.求證;BM，CN為△ABC的關(guān)聯(lián)線.

（2）模型應(yīng)用：如圖2所示，BM和CN為△ABC的關(guān)聯(lián)線.求證：BM·AC=AB·CN.

（3）拓廣延伸：如圖3所示，四邊形ABCD中，AB//CD，點E與點分別在AB和BC上，DE，AF交于點G，滿足∠B+∠EGF=180°，問：AB·DE=BC·AF是否成立？請說明理由.

解題思路分析 （1）中利用特殊角度，及相關(guān)的角平分線的性質(zhì)求出∠MON=120°，從而得到∠A+∠MON=180°.

（2）中利用關(guān)聯(lián)線的定義，得出∠ANC=∠BMC;由結(jié)論想到構(gòu)建三角形相似.在已知一組對角相等的情況下，想到分別過點B，C作垂直來構(gòu)建直角三角形相似.再利用等面積法，達到線段之間的轉(zhuǎn)化.從（1）到（2），體現(xiàn)了從特殊到一般的過程.

（3）由三角形轉(zhuǎn)為四邊形，學(xué)生自然而然地類比（2）的學(xué)習(xí)方法及探究過程，先進行角的轉(zhuǎn)化，得到∠AED=∠BFA，再分別過點A，B作垂直，構(gòu)建∠AED，∠BFA所在的直角三角形相似.借助結(jié)論中提到AB，BC，需構(gòu)建這兩線段所在的三角形全等，從而得出結(jié)論.

試題評析 本題在三角形的基礎(chǔ)上，模仿三角形中線的定義，重新定義了一種教材中沒有出現(xiàn)過的線段——三角形的關(guān)聯(lián)線.通過研究其概念、性質(zhì)，類比學(xué)習(xí)教材中學(xué)習(xí)圖形性質(zhì)的方式，先學(xué)習(xí)概念，再研究其性質(zhì)，最后學(xué)會判定的數(shù)學(xué)研究的學(xué)習(xí)活動過程.本題目設(shè)置了三小題，試題難度層層上升.通過本題，重在培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、三角形相似的判定與性質(zhì)、從特殊到一般、類比學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)建模等初中數(shù)學(xué)重要思想，發(fā)展學(xué)生在復(fù)雜抽象的情境中建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S及進行合情推理的思維認(rèn)知及數(shù)學(xué)能力.

二、命題思考

余文森教授在《核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂教學(xué)》中提到，教師在平時教學(xué)中應(yīng)滲透核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，使學(xué)生養(yǎng)成積極探索、自主學(xué)習(xí)、主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.而通過中考數(shù)學(xué)中“圖形新定義”試題的導(dǎo)向作用，能有效地檢測教師在教學(xué)中是否引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)問題進行思考.此題的命制過程，處于以下幾點思考：

（1）選好題材，下好圖形定義

在選取教材題源時，首先考慮教材中的幾何定義、定理等進行合理的條件、結(jié)論互換形成新的性質(zhì)或者定理，或者在原有的幾何結(jié)論中添加限制條件，得出新的結(jié)論，這樣的題源既源于教材又高于教材.實際上，在教材中有很多豐富的、有探究意義的數(shù)學(xué)活動、實驗與探究，這都是我們命制題目時可選取的好題源.

編制這道中考模擬題的靈感來自于2018年江蘇蘇州二模的一道試題，原題是這樣的：

如圖4所示，AD是△ABC的角平分線，且滿足AD2=DB·DC，我們稱AD是△ABC的比例中項線.

如圖5所示，△ABC中，AB=AC=2，AD是△ABC的比例中項線.求BC的長;

如圖4所示，AD是△ABC的比例中項線，設(shè)k=AB·ACAD2.問k的值是否為定值，若是定值，求出k的值.若不是，說明理由.

眾所周知，三角形中兩內(nèi)角的平分線的夾角（銳角）等于第三個內(nèi)角的一半與 90°的和.由此，本人從原結(jié)論中受到啟發(fā)，由“兩個內(nèi)角的平分線”改為“在三角形內(nèi)部相交的任意兩條線段BM與CN”和滿足條件“∠A+∠NOM=180°”，就下了一個新的定義“三角形的關(guān)聯(lián)線”.

（2）巧思妙設(shè)，創(chuàng)設(shè)問題情境，突出數(shù)學(xué)思維過程

有了新的定義，就可以圍繞新定義設(shè)置問題了.教材中通過學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決相關(guān)的問題來鞏固所學(xué)知識.為了更好的激發(fā)學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，本人對“三角形的關(guān)聯(lián)線”的研究也應(yīng)該按照這樣的思路進行.本試題通過“特殊驗證”“模型應(yīng)用”“拓廣延伸”三個問題的設(shè)置，揭示了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一般歷程：從特殊到一般，從基礎(chǔ)圖形到四邊形的延伸.學(xué)生解題時借助定義中“∠A+∠NOM=180°”的條件，發(fā)現(xiàn)解題的一個關(guān)鍵是要進行角的轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造三角形相似，再通過類比學(xué)習(xí)，以及熟悉的相關(guān)的知識與應(yīng)用，如角平分線的性質(zhì)、構(gòu)建三角形相似等，非常有利于學(xué)生展示自己的成果.

三、解法呈現(xiàn)

如圖6所示，∵BM與CN分別平分∠ABC與∠ACB

∴∠1=12∠ABC，

∠2=12∠ACB……1分

∴∠COB=180°-（∠1+∠2）

=180°-180°-∠A2=90°+12∠A=120°……2分

∵∠NOM=∠COB

∴ ∠A+∠NOM=120°+60°=180°

∴ BM，CN是三角形的關(guān)聯(lián)線……3分

（2）分別過點B，C作BG⊥AC于G，CH⊥AB于H.

∵BM，CN是△ABC的關(guān)聯(lián)線

∴∠A+∠M0N=180°

∴∠1+∠AMB=180°

∠AMB+∠2=180°

∴∠1=∠2……4分

∴△BGM∽△CHN

∴BGCH=BMCN……6分

∵12BG·AC=12CH·AB……7分

∴BGCH=ABAC

∴BM·AC=AB·CN……8分

（3）如圖8所示，分別過點A，B，D作AM⊥CB于點M，BT⊥CD于點T，DN⊥BA于點N.

∵∠CBA+∠EGF=180°

∴∠1+∠BEG=180°

∵∠2+∠BEG=180°

∴∠1=∠2

∵∠M=∠N=90°

∴△AFM∽△EDN……9分

∴AFDE=AMDN……10分

∵ △ABM∽△BCT……11分

∴AMBT=ABBC

又DN=BT

∴AFDE=AMDN=AMBT=ABBC

∴AFDE=ABBC……13分

∴AF·BC=AB·DE……14分

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“圖形新定義”試題在于創(chuàng)新命題的背景，但萬變不離其中，考查的數(shù)學(xué)核心本質(zhì)還是學(xué)生已有的知識體系、閱讀理解能力、知識遷移能力及解決問題的策略.這類“新定義試題”考查的知識面廣，也常常在解答過程中會滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，如：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.作為當(dāng)代教師，不能就題論題，

應(yīng)懂得在教學(xué)過程中一步步滲透數(shù)學(xué)思想方法，這也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種有效方法.

因此，“題在書外，根在書內(nèi)”是命題的基本原則，教學(xué)中應(yīng)重視概念的教學(xué)、重視材料的閱讀.在平時教學(xué)時，也應(yīng)多設(shè)計一些“全新”的試題，讓學(xué)生利用現(xiàn)有的認(rèn)知去解決新的情境中未知問題，從而克服這種不戰(zhàn)而敗的心理障礙;也可以在教學(xué)中運用類比聯(lián)想即由此及彼的類比思考，把陌生的、要解決的問題，轉(zhuǎn)化為與之有關(guān)的熟悉問題，用熟悉的知識給予解決，對要解決的問題從多角度、多側(cè)面去聯(lián)想，在有關(guān)的熟悉的問題、知識和技能中比較、分析、推理逐漸發(fā)現(xiàn)并促成要解決的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題予以解決.而在命制題目時，也因賦予了“新定義”，這就要求命制題目時必須對新定義的概念名詞有內(nèi)涵也得有外延，有創(chuàng)新，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，才會有研究的價值.

【參考文獻】

[1]余文森.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]高峰.對“圖形新定義”試題的命題思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（11）：40-44.

[2]蔡德清.新定義中考數(shù)學(xué)試題的命題闡釋與思考[J].福建教育，2016（46）：36-38.