探索“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中的應用

[摘 要] “幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中發(fā)揮了獨特的優(yōu)勢，充分發(fā)揮了“以學生為主體，以教師為主導”的新課程模式，激發(fā)學生的學習興趣，提高了學生自主探究的能力，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合等思想。借助中小學數(shù)學中的一系列案例，從創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、數(shù)形結(jié)合、概念教學等應用方式探索“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學過程中的應用，并用二次函數(shù)的教學案例來說明“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中的價值所在。

[關(guān)鍵詞] 幾何畫板;數(shù)學教學;自主探究

[基金項目] 2020年度云南省教育廳科學研究基金教師類項目“中緬邊境地區(qū)小學生數(shù)學學習現(xiàn)狀調(diào)查研究”（2020J0749）

[作者簡介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學院數(shù)理學院講師，主要從事數(shù)學教育、教育統(tǒng)計研究。

[中圖分類號] G40-01 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2021）14-0150-04 ? ?[收稿日期] 2020-12-30

現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展將對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及學習和教學的方式產(chǎn)生重大影響。數(shù)學課程要重視運用現(xiàn)代技術(shù)手段，特別是要充分考慮計算機對數(shù)學學習的影響，利用現(xiàn)代技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的強有力的工具，使學生從大量繁雜、重復的運算中解放出來，將更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去[1]。新課程提倡自主探索，動手實踐與合作交流的學習方式，要求我們在整個數(shù)學教學過程中以學生為主體，教師為主導。“幾何畫板”正是一種很好的實現(xiàn)以學生為主體的一種可視化的動態(tài)教育軟件。在學習數(shù)學的過程中，學生不再是知識的容器而是作為探索者參與進來，不僅有助于學生能力的提高，而且充分發(fā)揮了教師的主導作用，使教師探索出新的教學模式。本文結(jié)合教學案例探索“幾何畫板”在中小學數(shù)學教育中的應用和價值。

一、“幾何畫板”簡介

“幾何畫板”是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的教學輔助軟件，適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）及物理教學的軟件平臺，使用該軟件可以很方便地制作出一些表現(xiàn)數(shù)學或物理規(guī)律的課件。通過該軟件制作的課件不僅簡單實用、容易學習，而且制作出的課件比較小、便于攜帶、交互性強。它適用于數(shù)學的平面幾何、解析幾何、立體幾何等教學，以點、線、面為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構(gòu)造出其他較為復雜圖形[2]?！皫缀萎嫲濉敝饕幸韵聨讉€特點[3]。

一是動態(tài)性?？梢杂檬髽送蟿訄D形上的點、線、圓，且事先設(shè)定的圖形的基本性質(zhì)不發(fā)生變化。二是交互性。提供多種方法幫助教師了解學生的思路和對概念的掌握程度。三是探索性。師生可以用幾何畫板去發(fā)現(xiàn)、探索、表現(xiàn)、總結(jié)幾何規(guī)律，建立自己的認識體系，成為真正的研究者。四是簡潔性。制作工具少，制作過程簡單，容易掌握，不需要花費很多時間和精力去學習軟件，強調(diào)操作者對學科知識的建構(gòu)和理解。

二、“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中應用方式

“幾何畫板”既能創(chuàng)設(shè)情境又能讓學生主動參與，所以能有效地激發(fā)學生的學習興趣，使枯燥、抽象的數(shù)學概念變得直觀、形象，使學生從害怕、厭惡數(shù)學變成對數(shù)學喜愛并樂意學數(shù)學[4]。讓學生通過做“數(shù)學實驗”去主動發(fā)現(xiàn)、主動探索，不僅使學生的邏輯思維能力、空間想象能力和數(shù)學運算能力得到很好的訓練，而且還有效地培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維和直覺思維?！皫缀萎嫲濉痹谥行W數(shù)學教學中主要應用于創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、數(shù)形結(jié)合、概念教學等幾個方面。

（一）創(chuàng)設(shè)情境

在課堂教學中培養(yǎng)學生的應用意識，應當采取靈活多樣的課堂教學模式和教學方法，通過活躍的“問題解決”和數(shù)學實踐活動，引導學生把數(shù)學知識與生活實際聯(lián)系起來[5]。新課程標準要求為學生提供自主學習和自主探究的機會，通過問題情境導入數(shù)學的學習過程。幾何畫板的優(yōu)勢之一在于能夠為學生提供豐富的數(shù)學實驗情境和問題情境，動手操作，在“做”數(shù)學的過程中學到知識。

案例一：三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）.

本案例是高一數(shù)學第一冊（下）第四章（三角函數(shù)）4.9節(jié)的教學內(nèi)容。這里可以通過直觀演示物理中“簡諧運動”動畫，充分顯示運動的整個過程，調(diào)動學生的思維和學習興趣，為培養(yǎng)學生邏輯思維、觀察分析等數(shù)學能力提供了很好的素材，較好地為新知識創(chuàng)設(shè)了情境。

學生利用“幾何畫板”，單擊“描點”按鈕，在坐標系上描出相應的點，描完5個點后單擊“顯示圖像”按鈕繪制出相應的曲線。在教師的指導下，學生還可以改變參數(shù)A、ω、φ來改變?nèi)呛瘮?shù)，充分認識三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。本案例通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，使枯燥的數(shù)學變得直觀、形象、生趣。

（二）自主探究

通過學生自己動手操作發(fā)現(xiàn)、分析、探索，真正成為知識的探索者，而不再是知識的容器。在不斷探索的過程中完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力。

案例二：拋物線y=2px及其標準方程。

教師給出素材圓錐曲線的統(tǒng)一形式，通過改變離心率讓學生自主探究來認識圓錐曲線，在探索拋物線圖像及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，回顧橢圓和雙曲線的圖像及性質(zhì)。

問題探究一：當離心率e>1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發(fā)現(xiàn)是雙曲線）

問題探究二：當離心率e<1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發(fā)現(xiàn)是橢圓）

問題探究三：當離心率e=1時圖形會變成什么？（學生自主探究后會發(fā)現(xiàn)是拋物線）

通過自主探究可以看出圖像的明顯變化，從而得出當離心率e=1時的圖像是拋物線。

（三）數(shù)形結(jié)合

中小學數(shù)學中很多內(nèi)容、概念比較抽象，而中小學生正處在形象思維發(fā)達的階段，但是抽象邏輯思維能力還在形成中。華羅庚說過“數(shù)缺少形時少直覺，形缺少數(shù)時難入微”?！皫缀萎嫲濉蹦軐⒃S多抽象的知識變得直觀、簡單，數(shù)形得到充分的結(jié)合。

案例三：圓與圓的位置關(guān)系。

圓與圓的位置關(guān)系是在學習點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上對圓與圓的位置關(guān)系的探究。設(shè)其中一個圓的圓心為O，半徑為r，另一個圓的圓心為O，半徑為r（規(guī)定r>r）。通過探究OO的距離d和兩個圓半徑的關(guān)系來充分理解圓與圓的位置關(guān)系。

當d>r+r時，圓與圓外離;當d=r+r時，圓與圓外切;當r-r

（四）概念教學

概念在數(shù)學教學中比較困難，特別是中小學生對于概念的理解總是不到位。通過“幾何畫板”可以使學生從直觀上來理解概念的內(nèi)涵，彌補傳統(tǒng)教學中不能清晰描述出概念形成的過程。

案例四：棱臺的概念。

“幾何畫板”可以輕松繪制出各種立體幾何圖形，也可以讓學生充分理解平面圖像到立體圖形、從二維空間到三維空間的轉(zhuǎn)變?？梢詫⒃竞诎迳系墓潭▓D形變成幾何畫板中活靈活現(xiàn)的圖形，讓學生進入一個數(shù)形的世界中。能夠清晰地看到棱臺的組成部分以及隨著棱臺的高度變化而發(fā)生變化，使同學們輕松的學到新知識、新概念。

三、“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中的應用案例分析

案例五：二次函數(shù)y=a（x-h）+k的圖像和性質(zhì)。

本案例是人教版九年級上冊第22章的教學內(nèi)容，新課標指出：二次函數(shù)的教學必須讓學生從二次函數(shù)動態(tài)化特征的觀察過程中，提出假設(shè)，并通過實驗的方式探索知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系和相應結(jié)論的推導過程。利用幾何畫板創(chuàng)造良好的數(shù)學環(huán)境，探索二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。本案例采用基于課堂的探究協(xié)作型模式，以學生為主體，教師為主導的指導思想。教師先創(chuàng)設(shè)環(huán)境，提出問題，學生通過“幾何畫板”進行數(shù)學實驗，從而觀察分析，與同學交流，在教師的指導下進行歸納總結(jié)。在整個教學過程中，教師的點撥和學生的自主探究相結(jié)合，引導學生主動思考而達到理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并通過練習加以檢驗和鞏固。

（一）教學目標

一是知識與技能。首先，會用描點法畫出二次函數(shù)y=ax的圖像，并了解拋物線的概念。其次，利用幾何畫板觀察分析二次函數(shù)y=ax圖像及性質(zhì)，總結(jié)出二次函數(shù)y=ax的開口方向、對稱軸、增減性、頂點坐標。最后，能運用二次函數(shù)的知識解決簡單的實際問題。

二是過程與方法。首先，通過動手操作、觀察比較、分析思考、規(guī)律總結(jié)等活動過程，利用幾何畫板完成對二次函數(shù)y=ax的圖像及其性質(zhì)的認知。其次，經(jīng)歷探索二次函數(shù)的圖像的作法和性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學生的探索能力。

三是情感態(tài)度與價值觀。經(jīng)歷觀察、猜想、總結(jié)等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。創(chuàng)設(shè)情境，讓學生積極主動參與自主探索的過程，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）教學重點和難點

教學重點：二次函數(shù)y=ax的圖像及其性質(zhì)。

教學難點：通過“幾何畫板”對圖像的觀察，分析規(guī)律，歸納性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題。

（三）教學過程

一是創(chuàng)設(shè)情境。教師演示憤怒的小鳥這款游戲的動畫，在展示動畫過程中拋出問題：憤怒的小鳥在射出的過程中所形成的圖形是什么？怎樣才能讓小鳥精準地射中目標？你覺得這個動畫跟我們數(shù)學知識有什么關(guān)聯(lián)？（學生在思考后得出這個圖形是拋物線。）

通過這個動畫調(diào)動學生的思維和學習興趣，為學生觀察分析二次函數(shù)等的數(shù)學能力提供很好的素材，較好地為學習二次函數(shù)創(chuàng)設(shè)了思維情境，引出這節(jié)課的主要內(nèi)容拋物線。

二是復習引入。教師引導學生先復習一次函數(shù)的相關(guān)知識點，從y=kx到y(tǒng)=kx+b的圖像及性質(zhì)，從k的數(shù)值改變總結(jié)出一般歸路。并讓學生用描點法繪制出一次函數(shù)y=kx的圖像，一次函數(shù)的圖像時一條直線，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，從而引出二次函數(shù)的圖像會是什么？為下一步的自主探究做好準備。

三是自主探究。自主探究一：利用幾何畫板采用描點法繪制出二次函數(shù)y=x的圖像，觀察二次函數(shù)的圖像時什么樣子的？在作圖的過程中需要注意什么？

自主探究二：學生觀察二次函數(shù)圖像，并大膽猜想二次函數(shù)的圖像的特征。

教師補充糾正學生猜測的二次函數(shù)圖像的特征，并引導學生觀察分析圖像引出二次函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標以及函數(shù)的增減性。

自主探究三：在探究一的圖像坐標系中作出二次函數(shù)y=3x和y=x的圖像，通過對比研究y=x的圖像，分析這三個函數(shù)的相同點和不同點。

自主探究四：在探究三的圖像坐標系中繼續(xù)作出二次函數(shù)y=-x、y=-3x和y=-x的圖像，此時從開口方向、開口大小、頂點坐標、對稱軸、增減性對比研究六個函數(shù)圖像的特征，歸納出一般規(guī)律。

自主探究五：思考y=ax圖像的特征，分a>0和a<0兩種情況研究，并分小組討論總結(jié)出一般規(guī)律。

通過五個問題的自主探究，在教師的指導下，學生親自動手操作，改變a的值來觀察圖像的變化。用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想利用如下圖表進行歸納總結(jié)，教師進行歸納補充。

歸納總結(jié)如下：

二次函數(shù)y=ax圖像關(guān)于y軸對稱，頂點為（0，0）。當a>0時，二次函數(shù)的開口方向向上，原點是最低點，隨著a的值增大，開口越小，當x>0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而增大，當x<0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而減小;當a<0時，二次函數(shù)的開口方向向下，原點是最高點，隨著a的值減小，開口越小;當x>0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而減小;當x<0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而增大。

四是練習鞏固。通過設(shè)置不同形式和層次的練習題進行知識的應用和鞏固，鍛煉學生解決問題的能力，同時檢測學生對于二次函數(shù)知識的掌握情況。

基礎(chǔ)題：

（1）二次函數(shù)y=5x的對稱軸______，頂點坐標_______，開口方向_______，當x>0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而_____，當x<0時，函數(shù)值y隨著x的值增大而______.

（2）二次函數(shù)y=x的對稱軸______，頂點坐標_______，開口方向_______.

提高題：

已知二次函數(shù)y=（m-1）x的開口方向向上，則m的取值范圍是______.

拓展題：

已知二次函數(shù)y=ax與y=2x-1相交于點（1，n），求a，n的值，并畫出二次函數(shù)的圖像.

五是課堂小結(jié)。積極組織學生進行本節(jié)教學內(nèi)容的總結(jié)，對知識點進行梳理，從而完善學生的認知結(jié)構(gòu)。

六是探究性問題。思考：二次函數(shù)y=ax+k的圖像及性質(zhì)。通過學生對這次二次函數(shù)的課外自主探究，指導學生拓展思路、發(fā)展思維，為下一個教學內(nèi)容打好基礎(chǔ)。

四、教學反思

通過“幾何畫板”在中小學數(shù)學教學中的應用探索，充分認識到“幾何畫板”實現(xiàn)了“以學生為主體，教師為主導”的新課程模式。德國教育學家第斯多惠曾說過：“教學的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、呼喚”?！皫缀萎嫲濉笔箤W生從知識的容器變?yōu)橹R的探索者，使教師從知識的灌輸者變?yōu)閷W習過程的組織者、指導者。同時使學生融入數(shù)學情景中，提高了對數(shù)學的求知欲，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。在數(shù)學教學的整個過程中，使學生自主探究，觀察、比較、分析、思考，從而提升學生的實踐操作能力，豐富了數(shù)學課程，使數(shù)學教學活動得到有效的開展。

參考文獻

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[3]繆亮，盤俊春.幾何畫板[M].北京：清華大學出版社，2018.

[4]翁娟.幾何畫板在初中數(shù)學教學應用中的有效性研究[D].蘇州：蘇州大學，2010.

[5]常亮.基于幾何畫板軟件的平面幾何數(shù)學建模教學設(shè)計研究[D].拉薩：西藏大學，2018.

Exploration of the Application of The Geometer's Sketchpad in Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

WANG Li-mei

（School of Mathematics and Physics， West Yunnan University， Lincang， Yunnan 677000， China）

Abstract： The Geometer's Sketchpad plays a unique role in mathematics teaching in primary and secondary schools， gives full play to the "student-centered， teacher-led" new teaching model， stimulates students' interest in learning， improves students' ability to explore independently， and cultivates students' thought of combination of numbers and shapes. With the help of a series of cases in mathematics in primary and secondary schools， this paper explores the application of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools from the application methods of creating situation， self-inquiry， combination of numbers and shapes， and concept teaching， and illustrates the value of The Geometer's Sketchpad in mathematics teaching in primary and secondary schools with the teaching cases of quadratic function.

Key words： The Geometer's Sketchpad; mathematics teaching; self-inquiry