數(shù)學(xué)表達(dá)：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效方式

靖梅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)表達(dá)，不僅關(guān)乎言說，而且關(guān)注傾聽?？v橫交融的表達(dá)、感理交融的表達(dá)以及動(dòng)靜結(jié)合的表達(dá)讓數(shù)學(xué)表達(dá)具有廣度、深度和效度。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地表達(dá)”，更要引導(dǎo)學(xué)生“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)表達(dá)”（鄭毓信語）。數(shù)學(xué)表達(dá)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的確證與表征，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生本質(zhì)力量的確證與表征。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)表達(dá);有效方式

數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生最為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有效方式。數(shù)學(xué)表達(dá)不同于其他學(xué)科知識(shí)的表達(dá)，它要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)、縝密，富有邏輯。因?yàn)橹挥袊?yán)謹(jǐn)、縝密、富有邏輯的思維才能生成學(xué)生有序、深刻的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)表達(dá)，不僅關(guān)乎言說，而且關(guān)注傾聽。關(guān)涉學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)，要求簡(jiǎn)約、嚴(yán)謹(jǐn)，要求條理、富有邏輯，要求獨(dú)創(chuàng)并且深刻。數(shù)學(xué)表達(dá)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的確證與表征，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生本質(zhì)力量的確證與表征。

一、縱橫交融，讓數(shù)學(xué)表達(dá)有廣度

所謂“數(shù)學(xué)表達(dá)”，是指“將思維所得的成果用語言反映出來的一種行為”。數(shù)學(xué)表達(dá)的對(duì)象首先指向數(shù)學(xué)知識(shí)。過去，許多學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)往往比較單一，就是關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”的表達(dá)?？v橫交融的數(shù)學(xué)表達(dá)，不僅要表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)“是什么”，更要表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)“為什么”“怎么樣”?？v橫交融的數(shù)學(xué)表達(dá)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)富有廣度。通過這種縱橫交融的數(shù)學(xué)表達(dá)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)知識(shí)“從哪里來”“到哪里去”。通過富有廣度的數(shù)學(xué)表達(dá)，不斷拓寬學(xué)生的思維疆域。

比如教學(xué)《比的基本性質(zhì)》時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)“比的基本性質(zhì)”是教學(xué)的重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生“化簡(jiǎn)比”是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)中，筆者不僅要求學(xué)生能正確地化簡(jiǎn)比，更要求學(xué)生能進(jìn)行清晰的數(shù)學(xué)表達(dá)。如“比的基本性質(zhì)相當(dāng)于什么”“化簡(jiǎn)比的依據(jù)是什么”“化簡(jiǎn)整數(shù)比的一般步驟有哪些”“化簡(jiǎn)小數(shù)比的一般步驟有哪些”“化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)比的一般步驟有哪些”等，都是學(xué)生表達(dá)的對(duì)象。通過表達(dá)，學(xué)生不僅在縱向維度上理解了化簡(jiǎn)比的依據(jù)、步驟等，更在橫向維度上厘清了“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”之間的關(guān)系等?？v橫交融式的數(shù)學(xué)表達(dá)，讓表達(dá)具有了一定的廣度。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)不再是雜亂的、無章的、零散的，而是有著內(nèi)在的邏輯的，成為一種結(jié)構(gòu)化的體系存在。

縱橫交融的數(shù)學(xué)表達(dá)，激活了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生能主動(dòng)地進(jìn)行觀察、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)?？v橫交融的數(shù)學(xué)表達(dá)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)靈活多變，由此提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效能，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

二、感理交融，讓數(shù)學(xué)表達(dá)有深度

數(shù)學(xué)表達(dá)不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)思考走向深入的有效路徑，更是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的重要支撐。數(shù)學(xué)表達(dá)是將個(gè)體學(xué)習(xí)的所思所想，通過不同的表征形式分享、交流。感理交融，是數(shù)學(xué)表達(dá)的主要特質(zhì)，它能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)富有深度。其中，有傾聽、思考、質(zhì)疑、評(píng)價(jià)、修正等。在學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)之中，不僅蘊(yùn)含著學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，更蘊(yùn)含著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維等。從這個(gè)意義上說，感理交融的數(shù)學(xué)表達(dá)有助于學(xué)生的高階認(rèn)知。

比如教學(xué)《成正比例的量》時(shí)，筆者出示了一個(gè)單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系表格，王老師買筆記本，買一本筆記本需要5元，買兩本筆記本需要多少元？買三本筆記本、四本筆記本……呢？為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)。剛開始，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)非常感性，其中還夾雜著一些不科學(xué)之處。比如有學(xué)生說，一個(gè)量增加，另一個(gè)量也增加;比如一種量擴(kuò)大，另一種量也擴(kuò)大，而且擴(kuò)大相同的倍數(shù)，等等。對(duì)于學(xué)生的不嚴(yán)謹(jǐn)、不科學(xué)的表達(dá)，筆者主動(dòng)介入，及時(shí)示范“數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，買練習(xí)本的數(shù)量擴(kuò)大，買練習(xí)本的總價(jià)也隨著擴(kuò)大。但買練習(xí)本的總價(jià)和買練習(xí)本的數(shù)量之間的比值也就是商保持一定。所謂，買練習(xí)本的數(shù)量和買練習(xí)本的總價(jià)成正比例。買練習(xí)本的數(shù)量和買練習(xí)本的總價(jià)之間的關(guān)系是正比例關(guān)系?！痹诶斫庑缘幕A(chǔ)上，學(xué)生展開仿照性練習(xí)，從而讓自我的數(shù)學(xué)表達(dá)逐步從感性走向理性，從模糊走向清晰，從合理走向科學(xué)。

感理交融是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的一個(gè)主要特色。在數(shù)學(xué)表達(dá)之中，教師要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)言之有物、言之有序、言之有理、言之有力、言之有創(chuàng)。對(duì)于學(xué)生不正確、不合理、不科學(xué)的表達(dá)，要進(jìn)行積極的引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生的表達(dá)從模糊到清晰、從凌亂到有序、從主觀到理性，彰顯學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的理?yè)?jù)。

三、動(dòng)靜交融，讓數(shù)學(xué)表達(dá)“有效度”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)從根本上是一種思維性的活動(dòng)，但這種內(nèi)在的思維性活動(dòng)離不開外在的操作性活動(dòng)。動(dòng)靜交融、內(nèi)外交融是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的又一特質(zhì)。動(dòng)靜交融，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更“有效度”。從某種意義上說，學(xué)生的外顯操作是學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)表達(dá)的“外援幫助”，學(xué)生的內(nèi)在的思維是學(xué)生外在的數(shù)學(xué)表達(dá)的“內(nèi)源支撐”。

比如教學(xué)《圓柱的認(rèn)識(shí)》這部分內(nèi)容，首先學(xué)生通過直覺很容易地發(fā)現(xiàn)圓柱的兩個(gè)底面相等。但我們知道，數(shù)學(xué)的結(jié)論并不能依賴于直覺，而必須進(jìn)行有效驗(yàn)證。通常情況下，學(xué)生只是通過動(dòng)手操作，將兩個(gè)底面剪下來放置在一起，根據(jù)兩個(gè)底面完全重合，從而證明兩個(gè)底面完全相同，當(dāng)然也就證明了兩個(gè)底面相等。在這里，外顯的操作盡管對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺進(jìn)行了佐證，但歸根結(jié)底還是一種外在的、感性的證明。許多教師或許會(huì)采用多樣化的方式方法來引導(dǎo)學(xué)生證明，諸如用直尺、細(xì)繩等測(cè)量圓柱底面的周長(zhǎng)、直徑等，從而通過周長(zhǎng)、直徑相等來證明圓柱底面相等。筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從思維上推理兩個(gè)底面完全相同。首先讓學(xué)生用一個(gè)長(zhǎng)方形來旋轉(zhuǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所謂“圓柱”也就是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或者寬為軸旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形之后所形成的軌跡。圓柱的底面積決定于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)?，由于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等或?qū)捪嗟?，因而旋轉(zhuǎn)所圍成的圓柱的底面積就是完全相同的。如此，學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)中，就能結(jié)合操作與邏輯推理進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。動(dòng)靜交融、內(nèi)外結(jié)合的表達(dá)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更有效度。

數(shù)學(xué)表達(dá)不僅僅是引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)單地“說數(shù)學(xué)”，它不同于一般的生活表達(dá)。數(shù)學(xué)表達(dá)要讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)浸潤(rùn)于數(shù)學(xué)的語言世界之中。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)語言是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)存在的家園。不僅應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的語言”來表達(dá)，而且要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)自然語言、圖形語言、符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換。通過數(shù)學(xué)表達(dá)，學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)王國(guó)中理性地棲居。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地表達(dá)”，更要引導(dǎo)學(xué)生“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)表達(dá)”（鄭毓信語）。