數(shù)學(xué)化：助推學(xué)生的數(shù)學(xué)建模

仇月華

[摘? 要] 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程從某種意義上來(lái)說(shuō)就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，數(shù)學(xué)化發(fā)揮著重要的作用。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要橫向數(shù)學(xué)化，而且要縱向數(shù)學(xué)化，更要綜合性地縱橫數(shù)學(xué)化。只有深入“建?！钡囊饬x，才能稱得上是一種真正的、有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)化;數(shù)學(xué)建模

從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一門(mén)模型的科學(xué)。所有的數(shù)學(xué)概念、定理、法則等說(shuō)到底就是一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型，它們都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題的數(shù)學(xué)化刻畫(huà)。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程從某種意義上來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。作為教師，既要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致入微地觀察、分析和描述，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，同時(shí)又要注重將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到實(shí)際中，用數(shù)學(xué)模型詮釋。數(shù)學(xué)化在其中發(fā)揮著重要的作用。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，只有深入“建?！钡囊饬x，才能稱得上是一種真正的、有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、橫向數(shù)學(xué)化——引導(dǎo)原型轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)化這一術(shù)語(yǔ)是由荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾提出的。弗氏將數(shù)學(xué)劃分為“橫向數(shù)學(xué)化”（水平數(shù)學(xué)化）和“縱向數(shù)學(xué)化”（垂直數(shù)學(xué)化）。所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，是指“從現(xiàn)實(shí)世界引向符號(hào)世界”。所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，是指從數(shù)學(xué)的符號(hào)到數(shù)學(xué)的概念，是一個(gè)抽象化、形式化、公理化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程也是一個(gè)知識(shí)的深化過(guò)程。如何促成學(xué)生經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化呢？筆者認(rèn)為，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)生活原型的轉(zhuǎn)化。

小學(xué)數(shù)學(xué)是一種質(zhì)性數(shù)學(xué)，或者說(shuō)是一種生活數(shù)學(xué)。從生活中汲取教學(xué)的素材、資源是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。作為教師，可以創(chuàng)設(shè)生活化的現(xiàn)實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從生活實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，這就是橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也是生活原型的轉(zhuǎn)化過(guò)程。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”（蘇教版三年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的生活世界之中取材。因?yàn)椋謹(jǐn)?shù)的概念是抽象的，如何讓這種抽象化的分?jǐn)?shù)概念變得形象起來(lái)、直觀起來(lái)，從生活世界出發(fā)是唯一的出路。筆者在教學(xué)中，借助學(xué)生生活世界中的“分蛋糕”等這樣一個(gè)對(duì)學(xué)生極為有意義的“事件”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“半個(gè)”，逐漸過(guò)渡到“ ”“ ”等。在此基礎(chǔ)上，用一個(gè)個(gè)不同大小的圓圓的、方方的紙片作為“蛋糕”，引導(dǎo)學(xué)生操作，比如將蛋糕平均分成三份、四份，表示其中的一份等。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠深刻地認(rèn)識(shí)到：盡管每個(gè)蛋糕的大小不同、形狀不同，但由于平均分的份數(shù)相同，因而每份所表示的分?jǐn)?shù)就相同;而盡管兩塊蛋糕的大小、形狀相同，但由于平均分的份數(shù)不同，因而每份所表示的分?jǐn)?shù)就不同。這樣的認(rèn)識(shí)，自然促成學(xué)生舍棄了一些操作的非本質(zhì)屬性，形成對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性的認(rèn)知，進(jìn)而獲得一種數(shù)學(xué)化感悟，即分?jǐn)?shù)與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。

數(shù)學(xué)化是人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界、分析研究各種具體現(xiàn)象并邏輯地組織材料發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程。橫向數(shù)學(xué)化，讓數(shù)學(xué)與生活無(wú)縫對(duì)接。學(xué)生不再是機(jī)械地、被動(dòng)地接受知識(shí)，而是主動(dòng)地、靈動(dòng)地建構(gòu)新知。橫向數(shù)學(xué)化有助于激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、探究。當(dāng)學(xué)生從生活世界中厘清問(wèn)題的本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)與生活的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，找到解決問(wèn)題的方式方法時(shí)，也就實(shí)現(xiàn)了有意義學(xué)習(xí)的關(guān)鍵一步。

二、縱向數(shù)學(xué)化——深化建模體驗(yàn)

將生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，教師就必須引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行抽象處理，這就是“縱向數(shù)學(xué)化”。縱向數(shù)學(xué)化，能夠深化學(xué)生對(duì)生活建模的體驗(yàn)。通過(guò)縱向數(shù)學(xué)化，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)從不平衡轉(zhuǎn)向平衡，這個(gè)過(guò)程伴隨著認(rèn)知同化與認(rèn)知順應(yīng)。所謂“同化”，是指新知被學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)所吸納;所謂“順應(yīng)”，是指原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能接納新知，因而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)就必須發(fā)生一些改變，從而讓認(rèn)知結(jié)構(gòu)從不平衡走向平衡。

在縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，教師要幫助學(xué)生搭建從直觀、形象走向抽象的橋梁，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)化的思維方式，滲透數(shù)學(xué)的思想、方法等，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)化活動(dòng)不斷走向深入。比如教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)），筆者運(yùn)用課件，設(shè)置了一個(gè)“打地鼠”的游戲活動(dòng)?；顒?dòng)分為三個(gè)層次展開(kāi)：首先是讓學(xué)生在一個(gè)方向上間隔一定的距離去尋找地鼠;在學(xué)生建立了方向、距離等概念之后，游戲開(kāi)始升級(jí)，從“一維直線”過(guò)渡到“二維平面”。然后，狡猾的地鼠不再在一條直線上躲躲藏藏，而是進(jìn)入了一個(gè)平面內(nèi)。如何在平面內(nèi)確定地鼠的位置？相比較于在直線上確定位置，平面內(nèi)確定位置不僅范圍更大了，而且更為重要的是刻畫(huà)的元素增多了。由此，學(xué)生自然想到了從“行”和“列”兩個(gè)方向、兩個(gè)維度去表達(dá)、刻畫(huà)位置。通過(guò)這樣的教學(xué)，學(xué)生確定位置的素養(yǎng)自然得到生長(zhǎng)。在此基礎(chǔ)上，游戲繼續(xù)升級(jí)，狡猾的地鼠從平面轉(zhuǎn)向了空間，我們又該如何確定地鼠的位置呢？我們又應(yīng)該從哪幾個(gè)方向來(lái)精準(zhǔn)刻畫(huà)、定位地鼠的位置呢？通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化。學(xué)生精準(zhǔn)刻畫(huà)、定位一個(gè)物體的位置從點(diǎn)到線、從線到面、從面到體，逐漸深刻地認(rèn)識(shí)到“用數(shù)對(duì)確定位置”的方法，建立了“在平面內(nèi)用數(shù)對(duì)確定位置”的數(shù)學(xué)模型，并且猜想在空間中“用數(shù)對(duì)確定位置”的數(shù)學(xué)模型?？v向數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷深入，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷被激活，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力得以延伸、拓展。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得到了發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力得以提升，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

縱向數(shù)學(xué)化，關(guān)鍵是建立學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式。小學(xué)生由于年齡和心理特征的制約，其觀察事物、思考問(wèn)題往往只觀其表、不析其里?？v向數(shù)學(xué)化就是要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，從而幫助學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)的思想方法。在這個(gè)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真的過(guò)程。在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)的思想方法。

三、縱橫數(shù)學(xué)化——完善建模過(guò)程

在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化往往是交織在一起的，構(gòu)成了縱橫數(shù)學(xué)化的過(guò)程，縱橫數(shù)學(xué)化有助于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的意義和價(jià)值，促成學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的形成。反思是一種思考，是一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成過(guò)程的審視、檢視。

在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)建模過(guò)程還沒(méi)有形成自覺(jué)的意識(shí)。通過(guò)反思，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)能進(jìn)行有效地識(shí)別，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能夠走向自覺(jué)。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性推理，從而深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)建模，首先源于直覺(jué)，而后是主動(dòng)探究、嘗試證明、反復(fù)驗(yàn)證，這個(gè)過(guò)程必然涉及縱橫化的綜合數(shù)學(xué)化。比如教學(xué)“成正比例的量”（蘇教版六年級(jí)下冊(cè)），我們從學(xué)生生活世界中紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)，在其中一個(gè)量不變化的情況下，另外兩個(gè)量的變化關(guān)系。諸如“單價(jià)不變的情況下，總價(jià)隨著數(shù)量的擴(kuò)大而擴(kuò)大;數(shù)量不變的情況下，總價(jià)隨著單價(jià)的擴(kuò)大而擴(kuò)大”。通過(guò)計(jì)算兩個(gè)變量即數(shù)量與總價(jià)或者單價(jià)與總價(jià)之間的比值就是商，學(xué)生自主建構(gòu)了正比例的量，認(rèn)識(shí)了數(shù)量與總價(jià)、單價(jià)與總價(jià)之間的正比例關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)這一系列數(shù)量關(guān)系進(jìn)行正比例的考量、考察。通過(guò)對(duì)諸多成正比例的量的關(guān)系的概括、抽象，學(xué)生用符號(hào)來(lái)將這種復(fù)雜的正比例關(guān)系確證與表征出來(lái)，形成了簡(jiǎn)約化的正比例關(guān)系式，建構(gòu)了簡(jiǎn)約化的數(shù)學(xué)模型，即“k= （k一定）”。不僅如此，在教學(xué)“成反比例的量”時(shí)，學(xué)生自然就能循著正比例的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，依托正比例的探究流程，建構(gòu)反比例的知識(shí)意義。不僅如此，學(xué)生還能積極、主動(dòng)地將“成正比例的量”與“成反比例的量”進(jìn)行對(duì)比，認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和差異，從而深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知。在縱橫數(shù)學(xué)化地?cái)?shù)學(xué)建模過(guò)程中，教師要培育學(xué)生數(shù)學(xué)化的眼光，培育學(xué)生概括化的能力，培育學(xué)生應(yīng)用化的素養(yǎng)。

通過(guò)縱橫數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生完善建模過(guò)程，不僅要豐富“?！钡纳罨e累，更要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“型”的獲得過(guò)程的感悟。只有引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型、延伸和拓展數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過(guò)程不斷走向完整、走向完善。數(shù)學(xué)建模要避免抽象的“形而上”、空洞的“形式化”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的、豐盈的數(shù)學(xué)建模歷程。

東北師范大學(xué)史寧中教授說(shuō)道：“數(shù)學(xué)的基本思想有三大類：抽象、推理和模型。建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不是讓學(xué)生進(jìn)行呆板的記憶，而是促進(jìn)學(xué)生靈動(dòng)地感悟、理解?！苯虒W(xué)中，教師要增強(qiáng)學(xué)生的“模型意識(shí)”，讓學(xué)生感悟“模型思想”。數(shù)學(xué)模型的誕生過(guò)程表征著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，表征著學(xué)生經(jīng)歷了生動(dòng)的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是數(shù)學(xué)與生活雙向互動(dòng)的過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的模型建構(gòu)從“量的積累”走向“質(zhì)的飛躍”！