在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生的建模能力

帥建卓

[摘? 要] 高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是當(dāng)前小學(xué)、初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的方向標(biāo). 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對理解和深化數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、設(shè)計具體教學(xué)活動，以及開展多元評價都有著特殊的意義. 在數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展學(xué)生的建模能力，是發(fā)展核心素養(yǎng)的具體操作方式，具有一定的探索和研究價值.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)活動

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1]. 高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也應(yīng)得到初中、小學(xué)教師的關(guān)注. 因此，初中一線教師在平時的教學(xué)中，也應(yīng)當(dāng)致力于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)及關(guān)鍵能力，并以此真正更新自身的教學(xué)觀念，指導(dǎo)具體的教學(xué)活動設(shè)計. 本文通過在教學(xué)的不同階段設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動，嘗試增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，以期探索并尋找提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一般途徑.

對數(shù)學(xué)建模的理解

數(shù)學(xué)建模的一般過程：實際問題→數(shù)學(xué)問題→提出假設(shè)→建立模型→求解模型→討論驗證[2] . 數(shù)學(xué)建模既是思想也是方法，在平時的教學(xué)中，我們應(yīng)該不斷滲透應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的意識和觀念，同時反復(fù)訓(xùn)練各種數(shù)學(xué)模型的具體思考方向和操作方法. 這樣的滲透與訓(xùn)練往往是一個長期的、有目的的、不斷完善的過程. 而數(shù)學(xué)建模一般也伴隨著其他知識和多種能力互動的過程，因此，這對于結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)符號意識，更新數(shù)據(jù)分析觀念，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力、批判性思考能力、獨(dú)立思考能力、合作交流能力，以及形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和態(tài)度都發(fā)揮著積極的作用.

設(shè)計情境化數(shù)學(xué)活動，自主嘗試數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是高中階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一[1] ，初中數(shù)學(xué)教學(xué)亦應(yīng)引起足夠的重視. 建立數(shù)學(xué)模型的過程，也是一個將數(shù)學(xué)知識高度抽象的過程. 這里，就從方程模型說起. 方程，學(xué)生都會解，但是在適當(dāng)?shù)臅r候運(yùn)用方程模型解決問題學(xué)生卻往往想不到，所以需要將方程模型情境化，讓學(xué)生在熟悉的情境中主動嘗試建立方程模型，這樣才有助于發(fā)展學(xué)生運(yùn)用方程模型解題的能力，并內(nèi)化為自身的一種素養(yǎng).

案例1 在七年級上冊“從問題到方程”第一課時教學(xué)中設(shè)計籃球比賽數(shù)學(xué)活動.

問題1：籃球聯(lián)賽的規(guī)則規(guī)定，勝一場得2分，負(fù)一場得1分. 某籃球隊賽了12場，共得20分. 題中哪些量之間有關(guān)系？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再討論交流. 在學(xué)生積極參與小組或全班交流與討論的過程中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考及合作探究的能力，鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)自己的觀點(diǎn)，展示自己的思維過程，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來. 這是發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及數(shù)學(xué)表達(dá)能力的一個重要手段. 不難發(fā)現(xiàn)，勝、負(fù)場次之間有關(guān)系，勝、負(fù)得分之間也有關(guān)系. 教師板書：①勝的場次+負(fù)的場次=12，②勝場得分+負(fù)場得分=20. 提煉題目中的相等關(guān)系，是建立方程模型的關(guān)鍵. 七年級的學(xué)生，抽象能力還處于初級階段，在教學(xué)活動中，教師應(yīng)更多地鼓勵學(xué)生大膽用語言描述實際問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系，且教師適當(dāng)示范，引導(dǎo)學(xué)生從模仿開始，用更加簡潔的語言或式子描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系，以數(shù)學(xué)的眼光來審視實際問題.

問題2：假設(shè)該籃球隊勝x場，你能用更簡潔的數(shù)學(xué)式子表示題中的其他量，以及量與量之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生已經(jīng)有了代數(shù)式的知識基礎(chǔ)，能用字母代替未知的量，于是可以用（12-x）來表示負(fù)的場次，讓學(xué)生感受勝、負(fù)場次之間的變化關(guān)系，這也是函數(shù)關(guān)系的萌芽. 教師可繼續(xù)追問：那勝場得分與負(fù)場得分分別是多少呢？你能表示出來嗎？再利用關(guān)系②勝場得分+負(fù)場得分=20，列出方程2x+（12-x）=20.

問題3：能假設(shè)其他量為x，列出其他等式嗎？

進(jìn)一步熟悉和強(qiáng)化前面建立方程模型的過程，可以假設(shè)負(fù)的場次為x，于是列出方程2（12-x）+x=20. 也可以假設(shè)勝場得分為x，于是列出方程 +（20-x）=12. 接著讓學(xué)生比較，選出更優(yōu)方案. 從不同角度以不同的相等關(guān)系列出不一樣的方程，不僅能讓學(xué)生體會方程是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與廣度.

上述活動是一個情境化教學(xué)的范例，學(xué)生參與的是自主體驗式學(xué)習(xí)，能讓他們在深度參與的過程中切實感受到方程模型客觀存在于現(xiàn)實生活中. 這種沉浸式學(xué)習(xí)，始終以問題和任務(wù)為主線，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力為目標(biāo)，能讓學(xué)生真實參與知識的發(fā)生與發(fā)展過程，知道利用方程模型解決問題的一般方法，以及何時可以運(yùn)用這樣的模型. 這些不僅能讓學(xué)生積累一定的活動經(jīng)驗，還能增強(qiáng)他們的符號意識，提升他們的運(yùn)算能力.

在知識交匯處設(shè)計數(shù)學(xué)活動，理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)和形成不可能一蹴而就，必須結(jié)合不同的教學(xué)情境，系統(tǒng)、有針對性、循序漸進(jìn)地進(jìn)行滲透. 比如，方程模型的形成不能局限于“方程”這一章的教學(xué)，而應(yīng)該在不同知識背景下呈現(xiàn)，這樣才能檢驗學(xué)生是否真正掌握和理解了. 且只有通過不斷的正面強(qiáng)化，才能將其內(nèi)化為自身的一種能力和素養(yǎng).

案例2？搖 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，0），B（0，4）. 若x軸上有一點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

解決這個問題首先需要分類討論. 分別以∠BAC，∠ABC為頂角時，學(xué)生都能順利解決. 在嘗試解決以∠ACB為頂角時，學(xué)生能通過作AB的垂直平分線確定點(diǎn)C的位置（如圖2），但求坐標(biāo)卻碰到了困難，感覺無從下手. 原因是，這是方程模型應(yīng)用過程中常見的問題，背景不同，學(xué)生就難以準(zhǔn)確選擇合適的解題模型. 此時能體現(xiàn)模型思想在具體解題中的重要性. 抓住這一契機(jī)，可及時通過鋪墊性問題加以引導(dǎo)——求坐標(biāo)就是求線段的長度，求線段長度可以利用什么解題模型？把求坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為求線段OC的長之后，學(xué)生一般會嘗試在Rt△OBC中利用勾股定理來解決，但發(fā)現(xiàn)OB，BC都未知，思維再次碰壁. 教師繼續(xù)追問：勾股定理反映的是直角三角形三邊之間的相等關(guān)系，于是可以據(jù)此建立方程模型，但方程中有兩個未知量，沒法求解，要想求出兩個未知數(shù)，該怎么辦？學(xué)生展開討論，各種思維碰撞后產(chǎn)生了火花，普遍可以想到找出另一個相等關(guān)系的辦法. 有了問題的驅(qū)動，學(xué)生的思維不斷深入，于是不難發(fā)現(xiàn)CB=CA=OA+OC的相等關(guān)系. 此時終于撥開迷霧——這個問題既可以用方程組解決，也可以用第二個相等關(guān)系設(shè)未知量，再用第一個相等關(guān)系列方程求解. 待學(xué)生學(xué)過相似三角形之后，這個問題還可以利用相似三角形對應(yīng)邊成比例這一相等關(guān)系來列方程. 像這樣的知識交匯點(diǎn)還有很多，如果教師能重視并利用好這些活動素材，必將有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)模型的建立方式和應(yīng)用意識內(nèi)化為自身的一種素養(yǎng).

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最為本質(zhì)的內(nèi)涵來看，我們的教學(xué)應(yīng)當(dāng)教學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)地看待世界、發(fā)現(xiàn)問題、表述問題、分析問題、解決問題”. 通過分析上述案例可以發(fā)現(xiàn)，方程是初中階段一種非常重要的解決實際問題的數(shù)學(xué)模型，若僅僅在講授“方程”這一章時進(jìn)行建模訓(xùn)練，必將導(dǎo)致不能及時有效地將其應(yīng)用在新的情境中的尷尬局面. 因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力必定是一個長期積累和完善的過程，而在知識的交匯處，不斷地強(qiáng)化訓(xùn)練同一種模型，才更有助于將建立模型的意識以及具體操作方式融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，學(xué)生的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力也才能真正得到發(fā)展.

在數(shù)學(xué)活動課中，發(fā)展和深化數(shù)學(xué)建模能力

深化數(shù)學(xué)建模能力，就是一個結(jié)構(gòu)化多種數(shù)學(xué)知識的過程. 從學(xué)生對實際問題的分析和解讀，到所涉及的相關(guān)數(shù)學(xué)知識的概括、抽象，再到建立方程模型、求解驗證解決問題，這一系列過程的每一個細(xì)節(jié)都與學(xué)生的能力密切相關(guān). 而能力的培養(yǎng)亦蘊(yùn)含在這樣的數(shù)學(xué)活動過程之中，最終發(fā)展的就是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

案例3？搖 九年級上冊綜合實踐活動“矩形綠地中的花圃設(shè)計”.

在一塊長32 m、寬24 m的矩形綠地內(nèi)，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半，你能給出設(shè)計方案嗎[3] ？

活動伊始，學(xué)生都在設(shè)計圖紙，更多地關(guān)注了設(shè)計中的對稱性及美化效果. 絕大多數(shù)學(xué)生未能關(guān)注方案的合理性及嚴(yán)密性. 接著，教師提問：你能求出花圃的相關(guān)尺寸嗎？（引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待這次數(shù)學(xué)設(shè)計活動）學(xué)生紛紛開始計算. 在接下來的活動中，筆者收集了學(xué)生幾種主要的設(shè)計方案.

方案一：在矩形綠地內(nèi)設(shè)計正方形花圃. 學(xué)生很輕松地發(fā)現(xiàn)正方形的邊長與面積之間具有相等關(guān)系，可以建立方程模型解決尺寸問題. 方案二：設(shè)計矩形花圃. 學(xué)生也試圖用方程模型來解決，但發(fā)現(xiàn)矩形花圃的長和寬都是未知量時，很多學(xué)生難以繼續(xù)完成，此時筆者鼓勵學(xué)生用兩個未知數(shù)來建立方程，于是有了方程xy=384. 學(xué)生開始眾說紛紜：如果x=3，y=128;如果x=4，y=96……有學(xué)生開始反駁，綠地的長只有32，所以128和96都不行. 有了問題和任務(wù)的驅(qū)動，學(xué)生的思維逐步深入，學(xué)生想到要考慮取值范圍. 又有學(xué)生說，y就是關(guān)于x的反比例函數(shù)，可以用函數(shù)圖像去研究長、寬的取值.

在這個師生、生生交往互動的過程中，學(xué)生不僅建立了方程模型、函數(shù)模型，還能用方程和函數(shù)的眼光去看待這次實踐活動并解決問題.

有了上面的活動經(jīng)驗，在解決方案三“設(shè)計圓形花圃”時，學(xué)生能順利地完成. 在方案四“設(shè)計三角形花圃”時，學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了設(shè)計圖紙中不合理、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤? 通過建立方程或函數(shù)模型，學(xué)生計算后發(fā)現(xiàn)，三角形的底和高必須分別等于矩形的長和寬，部分學(xué)生設(shè)計了不規(guī)則花圃或組合型花圃，利用現(xiàn)有的知識未能解決尺寸問題，但這絕不是本次活動的敗筆，反而應(yīng)該是一個數(shù)學(xué)活動中的亮點(diǎn). 未能解決的問題恰是推動學(xué)生進(jìn)一步研究和思考數(shù)學(xué)問題的內(nèi)驅(qū)力. 在解決問題的過程中，學(xué)生不僅鍛煉了分析問題、解決問題的能力，還鍛煉了在解決問題過程中克服困難的意志和品質(zhì)，以及追求真理的求學(xué)態(tài)度，同時培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維能力. 親歷這樣的過程，不僅積累了重要的活動經(jīng)驗，更為重要的是學(xué)會了“數(shù)學(xué)地看待現(xiàn)實中的問題”，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題服務(wù)于生活，學(xué)會與自然和諧共生.

反思我們的教學(xué)，我們該設(shè)計怎樣的數(shù)學(xué)活動，才能幫助學(xué)生數(shù)學(xué)地看待問題、深刻地思考問題、靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題呢？也許上文能提供一些幫助. 最后，引用鄭毓信教授的一句話：“我們并非是用眼睛在看，而是用頭腦在看 ！[4]”

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]許道新. 實施五個“立足”策略? 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力[J]. 新課程研究（下旬刊），2009（03）.

[3]楊裕前，董林偉. 義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級上冊）[M]. 南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

[4]鄭毓信. 聚焦“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”——“學(xué)科視角下的核心素養(yǎng)與整合課程”系列之三[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（03）.