構(gòu)型與建模：滲透學(xué)生的模型化思想

王瑞俊

[摘? 要] 數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不僅需要量的積累，更需要型的感悟。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、操作、推理、抽象等，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的全過程，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)。通過構(gòu)型建模，能引導(dǎo)學(xué)生感悟模的豐富、博大與深邃，進(jìn)而形成對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的飛躍。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);構(gòu)型;建模;模型思想

“模型思想”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重要的數(shù)學(xué)思想。東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的基本思想有三：抽象、推理和建?！?。通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。一般而言，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，需要經(jīng)歷這樣的過程：對(duì)模型素材的感知，對(duì)模型素材的探究，綜合并提煉出數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行應(yīng)用推廣等。模型不僅需要素材的量的積累，更需要型的感悟。只有這樣，才能引導(dǎo)學(xué)生感悟模的豐富、博大與深邃，進(jìn)而形成對(duì)數(shù)學(xué)素材的認(rèn)知的飛躍。

一、借助經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的根基。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是“現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)學(xué)關(guān)系的一種精準(zhǔn)的、有效的刻畫”。小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念、規(guī)律、定義等都可以從廣義上看成是一種模型。常見的對(duì)學(xué)生有影響力的模型主要有“乘法模型”“函變模型”“分?jǐn)?shù)模型”等。相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)模型是更為上位的一種構(gòu)造。引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模，關(guān)鍵是要讓這些模型獲得學(xué)生經(jīng)驗(yàn)（包括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)）的支撐、支持。同樣，相對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，模型的數(shù)學(xué)包攝力、應(yīng)用力更強(qiáng)。

引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模，首先需要教師給學(xué)生提供豐富的素材。通過豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生聚類分析。比如教學(xué)“乘法分配律”（人教版四年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容，教師不能僅僅給學(xué)生提供教材中安排的單一化的素材，而必須給學(xué)生提供更為廣泛的素材，包括內(nèi)容的廣泛和形式的廣泛。如筆者在教學(xué)中，向?qū)W生提供了生活中豐富的經(jīng)驗(yàn)化素材：學(xué)校四年級(jí)舉行植樹活動(dòng)，四年級(jí)有男生450名，女生420名，每人植樹4棵，一共能夠植樹多少棵？不僅如此，在解決問題的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生將這些學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、生活中的數(shù)量關(guān)系內(nèi)化為點(diǎn)子圖、長(zhǎng)方形面積圖等，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解。由于有了經(jīng)驗(yàn)的支持，學(xué)生能夠?qū)?shù)量關(guān)系與幾何圖形的面積結(jié)合起來(lái)進(jìn)行比較。借助于計(jì)算、乘法意義、幾何圖形面積等，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。如此，學(xué)生不僅能把握乘法分配律的模型的“形”，更能領(lǐng)悟乘法分配律的“質(zhì)”。學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知就會(huì)從感性走向理性。

借助學(xué)生的生活、經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生將乘法分配律與已經(jīng)學(xué)習(xí)的諸多數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，更讓乘法分配律這一模型有效地納入學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)之中，比如“兩三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算”，等等。不僅如此，筆者還因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)加數(shù)乘一個(gè)數(shù)過渡到三個(gè)加數(shù)乘一個(gè)數(shù)，進(jìn)而過渡到多個(gè)加數(shù)乘一位數(shù)等。通過經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生獲得了對(duì)乘法分配律的深度理解。

二、借助操作，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模

數(shù)學(xué)模型是抽象化的數(shù)學(xué)存在，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解卻應(yīng)當(dāng)是感性的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作，來(lái)讓學(xué)生構(gòu)型建模。瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以直觀動(dòng)作、具體形象思維為主體。作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作，讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，建立數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)操作中，學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)建模能力獲得外源性支撐。

比如教學(xué)“平行四邊形的面積”（人教版五年級(jí)上冊(cè)），筆者首先引導(dǎo)學(xué)生猜想：平行四邊形的面積可以怎樣計(jì)算？學(xué)生通過推拉長(zhǎng)方形演變成平行四邊形，以及平行四邊形可以剪切為長(zhǎng)方形，提出了兩種數(shù)學(xué)猜想：一是平行四邊的面積等于底乘斜邊，二是平行四邊形的面積等于底乘高。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，運(yùn)用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗(yàn)證，促成學(xué)生的自悟自得。通過驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積不等于底乘斜邊，而是等于底乘高。基于此，學(xué)生展開深度思考。有學(xué)生將長(zhǎng)方形推拉成平行四邊形向極限處思考，即當(dāng)平行四邊形非常“傾斜”時(shí)，平行四邊形近似于一條直線，也就是說(shuō)平行四邊形的面積近似于0。有學(xué)生通過剪拼法將平行四邊形推拉成長(zhǎng)方形，通過比較、感悟，學(xué)生自主建構(gòu)出平行四邊形的面積公式模型。

數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、策略，更是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想。著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究。”通過操作，能引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從“境”到“型”，又要引導(dǎo)學(xué)生從“型”到“境”。而操作，就能引導(dǎo)學(xué)生在“境”和“型”之間轉(zhuǎn)換。

三、借助推理，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模

推理是數(shù)學(xué)的基本思想，也是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就是從一些具體的材料出發(fā)，通過抽象、推理，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。相比較于實(shí)驗(yàn)歸納，抽象的邏輯推理更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。因?yàn)槭聦?shí)上，并不是每個(gè)數(shù)學(xué)模型都需要通過實(shí)驗(yàn)歸納形成的，有時(shí)候數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程就是建立在模型的相互演繹基礎(chǔ)上的。正是在這一意義上，著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素說(shuō)，“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯”。

推理必須符合一定的邏輯，即使是直覺推理，也必須具有一定的合理性。邏輯性是推理的核心要義。借助推理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，必須具有一定的邏輯性。比如教學(xué)“圓柱的體積”（人教版六年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容，在引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，將圓柱體的數(shù)學(xué)模型切拼成近似的長(zhǎng)方體模型之后，筆者從不同的視角引導(dǎo)學(xué)生比較長(zhǎng)方體和圓柱體。當(dāng)長(zhǎng)方體正放時(shí)，學(xué)生推理長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)相當(dāng)于圓柱底面周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方體底面的寬相當(dāng)于圓柱底面的半徑，長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于圓柱體的高，進(jìn)而學(xué)生建構(gòu)出這樣的圓柱體體積的計(jì)算模型：V=πr2h;當(dāng)長(zhǎng)方體側(cè)放時(shí)，學(xué)生推理長(zhǎng)方體的底面積相當(dāng)于圓柱體側(cè)面積的一半，長(zhǎng)方體的高相當(dāng)于圓柱體的半徑，進(jìn)而學(xué)生建構(gòu)出這樣的圓柱體體積的計(jì)算模型：V=S側(cè)÷2×r;當(dāng)長(zhǎng)方體再換方向放置，學(xué)生再次比較長(zhǎng)方體和圓柱體，從而建構(gòu)出圓柱體體積的計(jì)算模型：V=hr× ，等等。借助嚴(yán)密的推理，學(xué)生從不同的視角建構(gòu)出不同的圓柱體體積的計(jì)算模型，這些多元化的計(jì)算模型是學(xué)生有效進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)用的重要載體。

推理是一種基本的數(shù)學(xué)思想和方法。學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式經(jīng)過演繹推理建構(gòu)出圓柱體的體積計(jì)算模型的過程，既是模型的演繹推理過程，也是促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生既要觀察長(zhǎng)方體與圓柱體之間的關(guān)系、聯(lián)系，又要通過等量代換逐步推理、建構(gòu)出圓柱體的體積計(jì)算公式。通過推理建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，不僅有助于積累豐富的推理思考經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也有助于促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。

四、借助抽象概括，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模

“抽象”一詞，其基本含義有抽取、排除、提純等意思。抽象、概括是提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性、舍棄非本質(zhì)屬性的過程。抽象概括是數(shù)學(xué)的基本方法，也是數(shù)學(xué)的基本思想。借助抽象、概括，可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)型建模，助推學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。一般的，如果一個(gè)人的抽象概括水平高，這個(gè)人的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、必備品格、思維水平就強(qiáng)。相應(yīng)地，這個(gè)人也應(yīng)該具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

借助抽象概括建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成質(zhì)的飛躍。因?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會(huì)和掌握是一個(gè)從個(gè)別、特殊走向一般，從具體走向抽象的過程。比如教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”（人教版五年級(jí)上冊(cè)）這部分內(nèi)容，筆者從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)座位圖情境，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式將某些學(xué)生的位置表示出來(lái)。通過同一位置的不同表示方法，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)確定位置的規(guī)則。通過不同學(xué)生創(chuàng)設(shè)不同的確定位置的符號(hào)表示方法，確定用數(shù)對(duì)確定位置的數(shù)學(xué)規(guī)則，即“用列（從左往右數(shù)）和行（從前往后數(shù)）”，建構(gòu)用數(shù)對(duì)確定位置的模型，即（x，y）。通過抽象概括，讓學(xué)生對(duì)數(shù)對(duì)的認(rèn)知從具體到抽象、從感性到理性、從低級(jí)到高級(jí)。有學(xué)生推而廣之認(rèn)為，如果要在空間中用數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，就必須用三個(gè)數(shù)來(lái)刻畫了。在這里，數(shù)學(xué)模型不僅具有一種方法論的意義，更具有一種本體論的意義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，更要引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用。通過應(yīng)用，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的領(lǐng)悟。

在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，為了助推學(xué)生的模型建構(gòu)，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的感悟，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型應(yīng)用。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不僅需要量的積累，更需要型的感悟。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的全過程，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)。在這個(gè)過程中，教師要滲透、孕育數(shù)學(xué)思想和方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的感悟。