結(jié)構(gòu)化：讓數(shù)學(xué)理解走向更深入

趙紅婷

[摘? 要] 理解對學(xué)習(xí)而言意義深遠(yuǎn)。理解有利于知識的同化和順應(yīng)，能不斷完善學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。理解的程度由結(jié)構(gòu)內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來定，隨著知識網(wǎng)絡(luò)的變大、組織結(jié)構(gòu)的完善，理解就會變得更深入。數(shù)學(xué)理解是一種基于結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)理解以知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化為本質(zhì)，以生成性和發(fā)展性為特征，以重新組織為形成機(jī)制，以自主活動為形成條件，在教學(xué)中具有重要意義。數(shù)學(xué)理解兼具過程和結(jié)果的特性，既存在于學(xué)習(xí)過程中，又體現(xiàn)為學(xué)習(xí)結(jié)果。各類表征的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、互換互譯，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和意義建構(gòu)，實現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

[關(guān)鍵詞] 結(jié)構(gòu)化;數(shù)學(xué)理解;結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián);結(jié)構(gòu)突變;結(jié)構(gòu)融通

理解的重要性毋庸置疑。知識一旦被理解，便易于同化和順應(yīng)，并有助于不斷完善學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。王瑞霖老師說：“數(shù)學(xué)理解是一種結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力，是在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出的認(rèn)識數(shù)學(xué)的個性特征?！?[1]的確，數(shù)學(xué)理解以知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化為本質(zhì)，基于理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是知識結(jié)構(gòu)不斷精細(xì)化、豐富化的過程。理解的程度由結(jié)構(gòu)內(nèi)部聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來定，隨著知識網(wǎng)絡(luò)的變大、組織結(jié)構(gòu)的完善，理解就變得更深入了。

一、理解的觸發(fā)：學(xué)習(xí)思維的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)

如果任由數(shù)學(xué)知識呈點狀排列，凌亂而不成系統(tǒng)，就會給學(xué)習(xí)者造成困擾。學(xué)習(xí)者要具備一種關(guān)系思維，將零散的知識串聯(lián)起來，形成知識網(wǎng)絡(luò)，凸顯知識體系。在解決問題時，可在同中求異、在異中求同，抓住事物的本質(zhì)特征，加深對事物的理解或認(rèn)識。

（1）同中求異。相同事物中尋找相異之處，這是構(gòu)建關(guān)系的常用思維方式。例如，教完蘇教版六年級下冊“正比例和反比例”之后，學(xué)生認(rèn)識到：此二者均指兩種相關(guān)聯(lián)量的有規(guī)律變化趨勢。教師追問：“正比例和反比例有什么不同點？”學(xué)生通過思考得出不同之處：成正比例的兩個量比值一定，它們是同向變化;成反比例的兩個量乘積一定，它們是反向變化。這時，一學(xué)生質(zhì)問：“正比例、反比例跟比例有什么關(guān)系？”討論后，有學(xué)生說：“任取正比例的兩組量，他們的比值都相等，都能組成比例;再根據(jù)比例的基本性質(zhì)將比例變形為乘積的形式，從反比例中任取兩組量，它們的乘積相等，這不也能組成變形的比例嗎？”由此，打通了比例和正反比例之間的關(guān)系。同中求異的思維方式，拓展了思路，使課堂生成了更多精彩。

（2）異中求同。相異事物間尋找的相同之處，這是構(gòu)建關(guān)系的另一種思維方式。例如，圖形知識具有很多子系統(tǒng)，如果進(jìn)行橫向比較，就會發(fā)現(xiàn)子系統(tǒng)之間的某些對應(yīng)關(guān)系。整理圖形知識時，于不同處尋找相同處，能尋找到圖形之間的一些同構(gòu)關(guān)系。其一，研究方式具有相同的邏輯線索。三角形與各種多邊形的研究方式基本類似，一般是先學(xué)習(xí)概念，再研究圖形特性和周長、面積、體積等圖形計算，進(jìn)而再研究圖形之間的關(guān)系。其二，計算公式推導(dǎo)具有相同點。在推導(dǎo)一些圖形的面積或體積公式時，往往將新知轉(zhuǎn)化為舊知，體現(xiàn)了簡約化思想。這類例子不勝枚舉。異中求同的思維，有助于建構(gòu)模型，凸顯知識的特征及其聯(lián)系。

二、理解的增長：知識網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)突變

皮亞杰在《發(fā)生認(rèn)識論原理》中指出：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的……這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化?！?[2]把已有的知識網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系上新信息，或在之前無聯(lián)系的信息之間建立新聯(lián)系，這樣就產(chǎn)生了理解。如果概念、方法或事實能納入內(nèi)部表征網(wǎng)絡(luò)，并成為它的一部分，那么，這些數(shù)學(xué)知識被理解了。理解的增長，往往伴隨著知識網(wǎng)絡(luò)的變大或組織得更加完善。

量的增加：知識網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)大。知識網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)大是指知識在數(shù)量上的增加，即把新的數(shù)學(xué)概念、方法和事實等納入現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)。例如，教學(xué)蘇教版六年級下冊“圖形知識的總復(fù)習(xí)”一課時，教師要清楚地認(rèn)識到：平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系非常緊密，它們是并列關(guān)系，如果進(jìn)行恰當(dāng)?shù)刈兓吐?lián)想，就能打通它們之間的關(guān)系，實現(xiàn)二維和三維視角的轉(zhuǎn)換。立體圖形表面存在平面圖形，而平面圖形通過運(yùn)動或疊加會形成立體圖形。教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：“在立體圖形上能找到哪些平面圖形？”學(xué)生畫出平面圖形后，再鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)立體圖形和平面圖形的關(guān)系：“面在體上”“面圍成體”。還可由平面圖形聯(lián)想到立體圖形。教師設(shè)問：“請你展開想象，這些平面圖形經(jīng)過運(yùn)動變化能成為哪些立體圖形？”經(jīng)過交流互動，學(xué)生形成共識：圓與球或圓柱，三角形與圓錐或三棱錐，六邊形與六棱柱等關(guān)系都非常緊密。溝通聯(lián)想，能建構(gòu)知識之間的多樣聯(lián)系，使知識網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)量的增加。

質(zhì)的重組：知識網(wǎng)絡(luò)的完善。知識網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行質(zhì)的重組，是指舊結(jié)構(gòu)被改造或放棄，新結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)更完善樣態(tài)。例如，教學(xué)蘇教版六年級下冊“圓柱和圓錐整理與練習(xí)”一課時，課前先引導(dǎo)學(xué)生借助表格或思維導(dǎo)圖等，自主梳理有關(guān)圓柱、圓錐的知識，初步構(gòu)建圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)體系。課上，在交流匯報過程中，師生互相補(bǔ)充，不斷完善知識體系。教師根據(jù)學(xué)生的匯報，選擇最主要的知識點。板書見表1。

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)理解意味著對知識的深度把握。學(xué)習(xí)者透視知識的表層結(jié)構(gòu)，深入認(rèn)識其內(nèi)在深層結(jié)構(gòu)，才能更好地揭示具體知識內(nèi)部的數(shù)學(xué)原理和本質(zhì)。鼓勵學(xué)生用不同方式梳理知識，經(jīng)過修正和完善，能幫助學(xué)生將知識結(jié)構(gòu)深刻印在腦海中。

三、理解的深化：表征互譯的結(jié)構(gòu)融通

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的研究表明，理解概念的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)概念的抽象含義轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運(yùn)用的心理表象。抓住數(shù)學(xué)表征的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)表征之間的靈活轉(zhuǎn)換或互譯，有利于數(shù)學(xué)知識的整體建構(gòu)，能促進(jìn)學(xué)生理解的深化，實現(xiàn)靈活提取和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，繼而做到轉(zhuǎn)識成智。

表征轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)意義學(xué)習(xí)。杭州師范大學(xué)鞏子坤教授指出：“‘理解的表征轉(zhuǎn)化說與奧蘇貝爾的意義學(xué)習(xí)理論是一致的?！盵3]顯然，意義學(xué)習(xí)的本質(zhì)是建立新知與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的實質(zhì)性聯(lián)系。例如，在教學(xué)蘇教版三年級下冊“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課時，教師呈現(xiàn)三組桃子圖，第一組共3個桃，涂色桃有2個;第二組共6個桃，涂色桃有4個;第三組共12個桃，涂色桃有8個。以上三種情況，雖然桃子的總個數(shù)不同，涂色桃子的個數(shù)也不同，但異中有同，涂色桃子個數(shù)與桃子總數(shù)的關(guān)系不變，涂色桃子個數(shù)都是桃子總數(shù)的 。三種圖形表征自由進(jìn)行轉(zhuǎn)換，突出了 的本質(zhì)，即把桃子總數(shù)看作單位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子總數(shù)的 。此過程包含將圖形表征轉(zhuǎn)譯成言語符號表征 的過程。推進(jìn)各種表征進(jìn)行自由轉(zhuǎn)換，有利于增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的深度理解，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

表征互譯，溝通知識聯(lián)系。為了深化理解，不僅要建立知識的多元表征，還要根據(jù)需要，將不同表征做出靈活互譯。將新知與已有經(jīng)驗建立有層次的聯(lián)系，能使學(xué)生經(jīng)歷意義理解與數(shù)學(xué)化的過程。例如，在蘇教版三年級上冊“倍的認(rèn)識”教學(xué)中，教師將語言表征、圖形表征、算式表征進(jìn)行互譯，溝通了知識間的聯(lián)系。在初步理解階段，為促進(jìn)對“倍”概念的理解，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)圖形表征向語言表征的轉(zhuǎn)換。在深入理解階段，又引導(dǎo)學(xué)生將語言表征向圖形表征轉(zhuǎn)化，用圈一圈等方法表征倍數(shù)關(guān)系，促使學(xué)生建立起“一個量中包含幾個另一個量”的圖形，加深對“倍”概念的理解。在解決問題階段，將圖示表征和算式表征進(jìn)行互譯，既凸顯了兩種方法的聯(lián)系，又使學(xué)生感到兩種方法的優(yōu)勢。表征互譯，溝通了知識間的聯(lián)系，使學(xué)生能靈活進(jìn)行遷移和應(yīng)用。

總之，理解就是建立聯(lián)系，它應(yīng)該成為學(xué)習(xí)者追求的自然旨趣。數(shù)學(xué)理解是一種基于結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力。數(shù)學(xué)理解以知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化為本質(zhì)，以生成性和發(fā)展性為特征，以重新組織為形成機(jī)制，以自主活動為形成條件，在教學(xué)中具有重要意義。數(shù)學(xué)理解兼具過程和結(jié)果的特性，既存在于學(xué)習(xí)過程中，又體現(xiàn)為學(xué)習(xí)結(jié)果。各類表征的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、互換互譯，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和意義建構(gòu)，實現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 王瑞霖. 數(shù)學(xué)理解的五層遞進(jìn)及教學(xué)策略[J]. 中國教育學(xué)刊，2014（12）

[2]? [瑞士]皮亞杰. 發(fā)生認(rèn)識論原理[M]. 北京：商務(wù)印書館，1981.

[3]? 鞏子坤. 數(shù)學(xué)理解說及其理論與課程意義[J]. 比較教育研究，2009（07）.