一次驚喜的“教學(xué)意外”

裴炎鈿

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，可以有目的、有計(jì)劃、適量地引導(dǎo)學(xué)生一題多解訓(xùn)練，有利于開拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，使學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，使知識(shí)系統(tǒng)化。同時(shí)，這樣的課堂既能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性和創(chuàng)造性。當(dāng)然，在學(xué)生的分享討論中，有些奇思妙想會(huì)存在思維嚴(yán)謹(jǐn)性和思維方法上的欠缺，或是認(rèn)識(shí)上的偏差，教師應(yīng)給予鼓勵(lì)性指導(dǎo)和點(diǎn)撥。

【關(guān)鍵詞】一題多解;數(shù)學(xué)思維;思維教學(xué)

正值期末復(fù)習(xí)，數(shù)學(xué)課大多都是試卷講評(píng)課，為了讓筆者執(zhí)教的數(shù)學(xué)課堂不枯燥、不乏味，筆者常常放手讓學(xué)生“掌管”課堂，分配任務(wù)“承包到組”，班里的八個(gè)小組像“八仙過海，各顯神通”，這讓數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)一片生機(jī)盎然。當(dāng)然，筆者也常常收到驚喜的“教學(xué)意外”。

一、例題呈現(xiàn)

如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）。

（1）求G點(diǎn)坐標(biāo);（2）求直線EF解析式

二、學(xué)情分析

學(xué)生已完成了對(duì)北師大版八年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)，能熟練掌握勾股定理的應(yīng)用及全等三角形的證明，會(huì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，對(duì)中點(diǎn)坐標(biāo)以及含有30°角的直角三角形性質(zhì)有一定了解。這道題的出題意圖在于復(fù)習(xí)直角坐標(biāo)系中的折疊問題，讓學(xué)生掌握勾股定理和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用。

三、解題思路

（1）由題意可知，F(xiàn)G=AF=2， FB=1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠B=90°，BG=，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，4-）。第一問的解法幾乎是一致的，意外的是第2問，在第1小組分享完后，每個(gè)小組陸續(xù)提出自己的想法及優(yōu)化解法，也有小組另辟蹊徑，驚喜連連。

第一小組分享：利用股定理及方程思想

解法一：如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥BC，構(gòu)造直角三角形EGH，設(shè)0E的長度為x，則AE=4-x，因?yàn)椤鰽EF沿直線EF折疊，所以EG=AE=4-x，GH=4--x ，根據(jù)勾股定理可得EG2=EH2+GH2 ，（4-x）2=

32+（4--x）2，求得E（0，4-2），已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第二小組分享：利用含有30○ 角的直角三角形性質(zhì)

解法二：上述方法計(jì)算量大，特別是解（4-x）2=32+（4--x）2，計(jì)算步驟繁瑣，第二小組觀察的到FB：FG=1：2，聯(lián)想到“在直角三角形中，30○ 角所對(duì)的邊是斜邊的一半”的逆應(yīng)用，因此，判斷∠FGB=30○，則∠BFG=60○，因?yàn)檎郫B，所以∠AFE=∠EFG=60○，∠AEF=30○，由此得出AE=AF=2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第三小組分享：利用含有30°角的直角三角形性質(zhì)優(yōu)化解法一

思維敏捷的第三小組受解法二的啟迪，若是在作輔助線EH后，結(jié)合含有30°角的直角三角形性質(zhì)輔助，會(huì)大大減少計(jì)算量，讓過程變得更簡便。于是乎就有了改良版解法三：如圖1，由FB：FG=1：2，∠FGB=30○，因?yàn)檎郫B，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠EGH=60○，∠GEH=30○，根據(jù)GH：EH=1：，得GH=，HC=4-2，所以E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第四小組分享：構(gòu)造全等三角形

解法四：如圖2，延長直線GB交直線EF于H點(diǎn)，因?yàn)镕B：FG=1：2，∠FGB=30○，則∠BFG=60○，因?yàn)檎郫B，∠AFE=∠EFG=60○，∠AFE=∠HFB=60○，等量代換可得∠BFG=∠HFB=60○，∠FBH=∠FBG=90○，F(xiàn)B為公共邊，可證△HFB≌△GFB，求得H（3，4+）， 已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第五小組分享：利用互相垂直的兩直線K值相乘為-1

解法五：已知F（2，4），G（3，4-），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線FG的解析式為y=-x+4+2。因?yàn)檎郫B，∠FGE=∠FAE=90°，F(xiàn)G⊥EG，根據(jù)互相垂直的兩直線K值相乘為-1，設(shè)直線EG的解析式為y=x+b，已知G（3，4-），解得直線EG的解析式為y=x+4-2。因而得到E（0， 4-2），已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第六小組分享：作輔助線構(gòu)造兩直線互相垂直

解法六：如圖3，連接AG，交EF于H，因?yàn)檎郫BAF=FG，∠AFH=∠GFH，F(xiàn)H為公共邊，可證△AFH≌△GFH，所以∠AHF=∠GHF=90○，AG⊥EF 。由A（0， 4），G（3，4-），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線AG的解析式為y=-x+4。根據(jù)互相垂直的兩直線K值相乘為-1，設(shè)直線EF的解析式為y=-x+b，已知F（2，4），代入求得直線EF的解析式為y=x+4-2。

第七小組分享：巧用對(duì)稱的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)優(yōu)化解法四

觀察仔細(xì)的第七小組發(fā)現(xiàn)，由于△AEF沿直線EF折疊到△GEF，連接AG，直線EF其實(shí)是A點(diǎn)關(guān)于G點(diǎn)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，直線EF垂直且平分線段AG，兩直線的交點(diǎn)O則是線段AG的中點(diǎn)。于是乎就有了改良版解法七：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得O（，），已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。不得不說，改良后的解題過程簡單方便，大大提高解題效率。

第八小組分享：相似三角形

聽完前七個(gè)小組的精彩分享，第八小組躍躍欲試，一個(gè)學(xué)生猶豫地舉起手說：“老師，我也想到一種方法，但不知對(duì)不對(duì)？”“沒事，上臺(tái)說說你的想法”，在筆者的鼓勵(lì)下，這位學(xué)生講起了自己曾自學(xué)過相似三角形，解法八：如圖4，過點(diǎn)E作EH⊥BC，構(gòu)造直角三角形EGH，因?yàn)檎郫B，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠FGB+∠EGH=90○，又因?yàn)椤螮GH+

∠GEH=90○，可得∠FGB=∠GEH，且∠FBG=∠EHG=90○，可證△FBG∽

△GEH， BG：EH=FB：GH，求得GH=，則OE=4-2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根據(jù)待定系數(shù)法，解得直線EF的解析式為y=x+4-2。

隨著八個(gè)小組分享結(jié)束，下課鈴聲響起，這節(jié)課學(xué)生們的臉上寫滿了喜悅與收獲，就連平日里對(duì)數(shù)學(xué)課提不起興趣的學(xué)生也瞪大了好奇的雙眼，連連為每個(gè)小組鼓掌，感嘆同學(xué)們的發(fā)散思維，紛紛點(diǎn)贊這節(jié)“頭腦風(fēng)暴課堂”。

四、結(jié)語

這讓筆者更加堅(jiān)定，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)可以有目的、有計(jì)劃、適量地引導(dǎo)學(xué)生一題多解訓(xùn)練，有利于開拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性，使學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，使知識(shí)系統(tǒng)化。同時(shí)，這樣的課堂既能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性和創(chuàng)造性。當(dāng)然，在學(xué)生的分享討論中，有些奇思妙想會(huì)存在思維嚴(yán)謹(jǐn)性和思維方法上的欠缺，或是認(rèn)識(shí)上的偏差，教師應(yīng)給予鼓勵(lì)性指導(dǎo)和點(diǎn)撥，保護(hù)思維的“火花”不被冷水澆滅，讓數(shù)學(xué)課堂真正成為思維教學(xué)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性思維，敏銳地捕捉并利用生成，讓學(xué)生的思維“滿地開花”。

責(zé)任編輯? 李? 源