關(guān)于2020年高考理科數(shù)學(xué)Ⅰ卷概率題的研究

舒彤

[摘? 要] 在人工智能當(dāng)?shù)赖拇髷?shù)據(jù)時(shí)代，概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)是我們處理數(shù)據(jù)、分析信息、獲取有意義結(jié)果的最有力工具.它是我們?cè)诖髷?shù)據(jù)時(shí)代讀懂、聽懂和看懂一切事實(shí)真相的基礎(chǔ).運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，我們可以做出正確的決定，回答重要的社會(huì)問題，認(rèn)識(shí)并運(yùn)用那些能夠改善我們?nèi)粘Ｗ龇ǖ臎Q策.

[關(guān)鍵詞] 2020年全國(guó)高考理科Ⅰ卷;馬爾可夫鏈;選修4-9

2020年普通高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷，概率題是放在第19題的位置，作為解答題的第三題，此題難度設(shè)計(jì)非常合理，一共三個(gè)小問，每小問層層遞進(jìn)，均對(duì)下一問的解答可起到輔助作用.此題的第三問，包括標(biāo)準(zhǔn)答案在內(nèi)，所有解答方式基本都是對(duì)丙獲勝的情況進(jìn)行分類羅列，情況雖然不算多，但是也需要一點(diǎn)時(shí)間以及耐心，比較容易遺漏，并且在計(jì)算每種情況的概率時(shí)，對(duì)于丙輪空情況的概率容易計(jì)算錯(cuò)誤. 因此，本題的第三問具有很好的區(qū)分度.筆者在拿到高考試卷的第一時(shí)間對(duì)本題第三問進(jìn)行了研究，在這里提供一種比較簡(jiǎn)潔的做法.

（2020年普通高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷19題）（本題滿分12分）

甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一輪輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空. 設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為 .

（1）？搖求甲連勝四場(chǎng)的概率;

（2）？搖求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

（3）？搖求丙最終獲勝的概率.

這里只研究第三問：

解法1：標(biāo)準(zhǔn)答案做法.

丙最終獲勝，有兩種情況：

比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為 ;

比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝，負(fù)，輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為 ， ， ，

因此丙最終獲勝的概率為 + + + = .

解法2：筆者解決方案（采用遞推關(guān)系）.

設(shè)甲、乙最終獲勝概率為P ，丙最終獲勝概率為P ，第一輪比賽的負(fù)者最終獲勝概率為? ，第一輪比賽的勝者與丙最終獲勝概率均為P ，故有? +P +P =1，解得P = .

對(duì)比兩種解答，不難看出，筆者所提供的解決方案計(jì)算量很小，也不需要分類羅列計(jì)算每種情況的概率，無疑是一種比較好的解法.

事實(shí)上，本題是一個(gè)典型的馬爾科夫鏈模型，其具有馬爾科夫性質(zhì)：即一個(gè)隨機(jī)過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下，其未來狀態(tài)的條件概率分布僅依賴于當(dāng)前狀態(tài). 對(duì)于這種滿足馬爾科夫性質(zhì)的隨機(jī)事件，其概率或者期望，采用馬爾科夫鏈公式，能夠極大地簡(jiǎn)化計(jì)算，筆者在這里再舉兩個(gè)例子.

例1：甲、乙兩人輪流拋硬幣，約定甲先拋，誰先拋出正面獲勝，問甲獲勝的概率是多少？

解法1：甲獲勝可能在第1，3，5，7，9，…輪，

第1輪獲勝的概率為 ，

第3輪獲勝的概率為 × × = ，

第5輪獲勝的概率為 × × × × = ，

第7輪獲勝的概率為 × × × × × × = ，

……

因此，甲獲勝的概率為P=? +? +? +? +? +…+

=

=? 1-

= .

解法2：設(shè)甲最終獲勝概率為P，分兩種情況：第一種情況，第一輪甲拋出正面，概率為 ，比賽結(jié)束，甲獲勝;第二種情況，第一輪甲拋出反面，概率為 ，則相當(dāng)于比賽重新進(jìn)行，只是由乙先拋，此時(shí)乙獲勝概率為P，甲獲勝概率為1-P. 因此，我們有P= + （1-P），解得P= .

例2：投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，若出現(xiàn)兩次正面向上即停止，求總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

（2017年清華大學(xué)暑期學(xué)校）

解法1：顯然，本題是p= ，r=2的巴斯卡分布，記投擲次數(shù)為ξ，則

p（ξ=k）=C? ?，k=2，3，4···，那么Eξ= kC? ?= k（k-1）

= =? =? ″ x= =? ″

=? ′

=? ?，

由于k→+∞，故當(dāng)x= 時(shí)，Eξ= · =4.

解法2：采用馬爾科夫鏈公式

Eξ= ·（1+Eξ）+ ·（1+Eη），其中 ·（1+Eξ）表示第一次不成功， ·（1+Eη）表示第一次成功，η為從第2次開始，成功一次所需次數(shù)的隨機(jī)變量，顯然η滿足幾何分布，故Eη=2，則解得Eξ=4.

實(shí)際上，這兩個(gè)題目的解法2，也是采用馬爾科夫鏈公式進(jìn)行計(jì)算.在競(jìng)賽以及以往的自主招生都比較喜歡考查此公式，也很好用，比如幾何分布的期望：Eξ=p+（1-p）（1+Eξ）？圯Eξ= .

近兩年的高考在概率統(tǒng)計(jì)部分也都對(duì)馬爾科夫鏈有所涉及，比如2019年全國(guó)理科Ⅰ卷的壓軸題便是概率統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)也是馬爾科夫鏈里面的一種特殊模型——隨機(jī)游走，一個(gè)雙側(cè)吸收壁的隨機(jī)游走的吸收概率問題. 其實(shí)，有關(guān)馬爾科夫鏈這一部分內(nèi)容在教材選修4-9里面有，遺憾的是全國(guó)絕大部分地區(qū)好像都沒有對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行選修.