培養(yǎng)高中學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)題反思能力的實(shí)踐研究

董育洲

[摘? 要] “反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”. 錯(cuò)題反思是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題思維過程和結(jié)果的自我探究、自我評(píng)價(jià)、自我察覺的一系列過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)錯(cuò)題反思，既可以幫助學(xué)生再次審題和閱讀解題過程，找出錯(cuò)誤原因，并及時(shí)改正，從錯(cuò)誤中汲取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，還能有效地堵住學(xué)生知識(shí)掌握上的漏洞，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)反思能力的提高和數(shù)學(xué)解題效率的提升，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)錯(cuò)題;反思能力;培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等顯著特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中無法通過一次學(xué)習(xí)就能徹底地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，而加強(qiáng)反思、循環(huán)不斷，有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的內(nèi)化吸收. 數(shù)學(xué)解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑，由于習(xí)題復(fù)雜多變、千變?nèi)f化，學(xué)生不可避免地會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤;由于長期以來很多教師在教學(xué)中只注重發(fā)現(xiàn)錯(cuò)題、糾正答案，而不注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程及思維進(jìn)行反思，學(xué)生無法及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤根源，從而導(dǎo)致做錯(cuò)的題目一錯(cuò)再錯(cuò). 因此，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)錯(cuò)題反思能力，有助于學(xué)生找到錯(cuò)誤原因，進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，汲取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，掌握該類題目的解題方法與規(guī)律，對(duì)于提高學(xué)生解題能力具有十分重要的作用.

反思錯(cuò)題審題過程

審題是數(shù)學(xué)解題過程中的首要步驟，認(rèn)真審題、理清題意、挖掘隱含條件是正確解題的關(guān)鍵. 而有的學(xué)生在審題時(shí)總是粗心大意，因?yàn)閷忣}不清而產(chǎn)生的錯(cuò)題屢見不鮮，尤其是對(duì)于一些常常犯錯(cuò)的學(xué)生而言，可能會(huì)因?qū)忣}而重復(fù)犯一些錯(cuò)誤，這些都是學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣而造成的. 所以，在對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)題進(jìn)行反思時(shí)，首先需要引領(lǐng)學(xué)生反思錯(cuò)題的審題過程，反思題意是否弄懂，已知條件、隱含條件和所求問題是否完全找出，數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系是否理順，等等，要讓學(xué)生充分意識(shí)到審題的重要性，審題一旦錯(cuò)誤，就會(huì)滿盤皆輸，在潛移默化中使其無論是在解題前還是在錯(cuò)誤反思時(shí)，都養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.

例1：已知z =x+yi， =x-yi，其中x，y∈R，且滿足x2+y2=1，z =（3+4i）z +（3-4i） .

（1）求證：z ∈R;

（2）求z 的最大值與最小值.

錯(cuò)誤答案：（1）因?yàn)閦 =x+yi， =x-yi，其中x，y∈R，所以z + =x+yi+x-yi=2x，z - =x+yi-（x-yi）=2yi，因此，z =（3+4i）z +（3-4i） =3（z + ）+4（z - ）i=6x-8y∈R.

（2）因?yàn)閤2+y2=1，設(shè)t=6x-8y，代入上述式子消去y得到64x2+（6x-t）2=64，化簡可得100x2-12tx+t2-64=0，因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，計(jì)算Δ≥0？圯-10≤t≤10. 所以，z 的最大值與最小值分別為10和-10.

錯(cuò)誤反思：在這道題目的求解過程中，顯然第（2）問的解答過程是錯(cuò)誤的. 雖然x∈R，那么是否x就能取遍所有的實(shí)數(shù)呢？顯然學(xué)生忽略了題目中的隱含條件，即x取實(shí)數(shù)，并不代表100x2-12tx+t2-64=0在實(shí)數(shù)集上有解，而且是在滿足x2+y2=1的條件下有解. 因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：由x2+y2=1是否能夠得到x的取值范圍呢？顯而易見，x2=1-y2≤1，所以x∈[-1，1]，這樣方程求解就被限定在閉區(qū)間x∈[-1，1]了，僅僅依靠判別式是不夠的. 事實(shí)上，我們可以將上述一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=100x2-12tx+t2-64在區(qū)間x∈[-1，1]上有零點(diǎn)的問題進(jìn)行求解. 這樣分三種情況討論即可求出正確的答案. 忽略隱含條件是學(xué)生常常易犯的錯(cuò)誤，避免這種錯(cuò)誤沒有捷徑，只有讓學(xué)生時(shí)刻提醒自己在解題完成后再一次進(jìn)行審題，化簡變形是否等價(jià)？是否還有隱含條件？往往有時(shí)候隱含條件可能會(huì)運(yùn)用多次. 在上述例題中，就被使用了兩次，一次用于化簡變形，一次用于限定取值范圍. 這就需要學(xué)生“慎思之，明辨之，篤行之”，養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，才能提高解題正確率.

反思錯(cuò)題知識(shí)運(yùn)用

數(shù)學(xué)解題的過程，就是學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、定理、公式、圖形等方面知識(shí)求解數(shù)學(xué)問題的過程，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度直接決定著學(xué)生解題水平的高低. 數(shù)學(xué)題目是靈活多變的，而有些學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱，無法有效地將已知條件進(jìn)行延伸，促進(jìn)新舊知識(shí)的聯(lián)系，甚至在解題時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)混淆、公式或定理濫用等錯(cuò)誤出現(xiàn). 為此，在數(shù)學(xué)錯(cuò)題反思教學(xué)過程中，引領(lǐng)學(xué)生反思題目中所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)，可以查漏補(bǔ)缺，幫助學(xué)生強(qiáng)化與鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，從而為學(xué)生解題效率的提升奠定基礎(chǔ).

例2：已知sinαcosβ= ，求cosαsinβ的取值范圍.

錯(cuò)誤答案：錯(cuò)解1：因?yàn)閟in（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，又-1≤sin（α+β）≤1，sinαcosβ= ，所以- ≤cosαsinβ≤ .

錯(cuò)解2：因?yàn)閟in（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，又-1≤sin（α-β）≤1，sinαcosβ= ，所以- ≤cosαsinβ≤ .

錯(cuò)誤反思：這是三角函數(shù)中的一道典型易錯(cuò)題，易錯(cuò)的原因在于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)最值范圍的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握比較薄弱，尤其是對(duì)于“等號(hào)”的取得，學(xué)生特別容易忽視.

錯(cuò)解1和錯(cuò)解2是兩種明顯矛盾的答案，在呈現(xiàn)兩種錯(cuò)誤答案后，很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了cosαsinβ≥- 與三角函數(shù)的“有界性”是相互矛盾的，而同樣地在錯(cuò)解2中也無法取到 . 至此，筆者認(rèn)為此題的錯(cuò)誤糾正可以水到渠成了，于是讓學(xué)生再次進(jìn)行求解. 結(jié)果卻出人意料，學(xué)生依然存在錯(cuò)誤：

錯(cuò)解3：cos2αsin2β=（1-sin2α）（1-cos2β）=1+sin2αcos2β-（sin2α+cos2β）= -（sin2α+cos2β）.

由于sin2α+cos2β≥0，所以cos2αsin2β≤ ，所以- ≤cosαsinβ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α+cos2β=0時(shí)取等號(hào).

該生將解題過程板書出來后，很快有學(xué)生提出了這是錯(cuò)誤解法，其原因是沒有考慮sin2α+cos2β是否能夠取到0. 當(dāng)sin2α+cos2β=0時(shí)，則sinα=cosβ=0，這顯然與sinαcosβ= 是相互矛盾的.

那么這道題目究竟該如何解決呢？于是筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，聯(lián)立兩個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式子，可以得出sinαcosβ= ，cosαsinβ= ，這樣我們就可以將原題目轉(zhuǎn)化為：已知sinα·cosβ= = ，求cosα·sinβ= 的取值范圍. 到了這一步，我們可以利用換元思想，令m=sin（α+β），n=sin（α-β），這樣又可以進(jìn)一步對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化：已知m+n= ，-1≤m≤1，-1≤n≤1，求 （m-n）的取值范圍. 此時(shí)，這道題目求解就變得豁然開朗了. 在經(jīng)過換元和多次轉(zhuǎn)化后，學(xué)生就能順利地得出取值范圍為- ， .

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知上的偏差或判斷失誤并不可怕，最關(guān)鍵的是我們要及時(shí)地幫助學(xué)生弄清楚錯(cuò)誤的原因，查漏補(bǔ)缺，讓學(xué)生在不斷反思錯(cuò)誤的過程中逐漸走向正確認(rèn)知，進(jìn)而獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知，這樣才能取得出人意料的教學(xué)效果.

反思錯(cuò)題解題思路

在數(shù)學(xué)解題過程中，所涉及的知識(shí)點(diǎn)眾多，解題思路也會(huì)隨之靈活多變，或簡單，或繁雜. 清晰明了的解題思路，能達(dá)到事半功倍的效果. 一旦解題思路混亂，就會(huì)給學(xué)生解題帶來阻礙，甚至感覺無從下手. 解題思路的選擇不合理或錯(cuò)誤，是造成解題錯(cuò)誤的重要原因之一. 所以，在反思錯(cuò)題過程中，需要帶領(lǐng)學(xué)生反思自己的解題思路，反思在解題過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)概念、定理或公式，解題順序是否正確，解題思路是否清晰，解題方法是否最優(yōu). 確保每一步都能做到有依有據(jù). 這樣有利于訓(xùn)練學(xué)生解題思維的條理性、邏輯性，相比于簡單的解題教學(xué)而言，解題思路的反思更能提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力.

例3：已知關(guān)于x的方程9 -4·3 =a有實(shí)根，求a的取值范圍.

錯(cuò)誤答案：設(shè)t=3 ，則有t>0，則原方程可化為t2-4t-a=0，有正實(shí)根的條件是Δ=16+4a≥0，-a>0，所以-4≤a<0.

錯(cuò)誤反思：這道題目的錯(cuò)誤在于有些步驟中缺乏依據(jù)，且解題思路比較混亂. 在錯(cuò)題反思過程中，筆者引領(lǐng)該生一起對(duì)整個(gè)解題過程進(jìn)行了反思，幫助他理清解題思路，尋找錯(cuò)誤的根源.

師：在解題過程中，你換元的目的是什么？

生：換元可以簡化方程，讓計(jì)算變得更加簡便.

師：那么，x與t之間構(gòu)成了一種什么樣的函數(shù)關(guān)系？

生：x是函數(shù)t的自變量.

師：要確定x和t的取值范圍，實(shí)際上是求什么？

生：求函數(shù)的定義域和值域.

師：t>0的結(jié)論是如何得出來的？

生：因?yàn)閠=3 = >0.

師：那么t是否會(huì)大于1呢？我們一起來研究一下. t=3 ，要求t的取值范圍，實(shí)際上是求函數(shù)的值域. 如何求呢？函數(shù)t=3 可以看作是函數(shù)t=3u和函數(shù)u=-x-2復(fù)合而成的，由于x∈R，所以u(píng)≤0，進(jìn)一步推出0

生：求方程t2-4t-a=0在0

師：不錯(cuò)，但依然存在兩個(gè)問題：t2-4t-a=0在0

生：可以將一元二次方程在給定區(qū)間上的實(shí)數(shù)根分布問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的零點(diǎn)問題.

師：非常好，弄清楚錯(cuò)誤的根源所在是解題的關(guān)鍵之處，也是數(shù)學(xué)思維能力的提升關(guān)鍵. 本題還可以通過分離參數(shù)求解，請(qǐng)同學(xué)們自己獨(dú)立完成.

在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行反思過程中，從他們的錯(cuò)誤入手，讓他們自己陳述錯(cuò)誤的思路，在幫助他們弄清解題思路的過程中，使其不斷地反思這道題目中考查了哪些數(shù)學(xué)概念，并通過滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，帶領(lǐng)他們逐層地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找問題的突破口.

綜上所述，數(shù)學(xué)錯(cuò)題的反思，有助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，使其意識(shí)到自己錯(cuò)誤的根源，重新明確解題思路和解題方向，有效促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升和錯(cuò)題反思能力的培養(yǎng).