基于建構(gòu)主義理論的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例設(shè)計(jì)

王亞軒 楊亞強(qiáng) 李星蓉

[摘? 要] 文章基于建構(gòu)主義基本理論，以“飛越黃河”數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容為例，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象模型并求解的過程，促進(jìn)學(xué)生探究意識(shí)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，在“做”數(shù)學(xué)中更好地落實(shí)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模教學(xué);建構(gòu)主義理論;教學(xué)案例;高中數(shù)學(xué)

引言

數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，是用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想去解決現(xiàn)實(shí)問題的重要能力. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)主要體現(xiàn)在：基于現(xiàn)實(shí)情境，抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題”的過程，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，并且使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看，用數(shù)學(xué)的思維去想，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)世界[1]. 隨著我國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)的發(fā)展，越來越重視能力的培養(yǎng)，而作為能力培養(yǎng)的重要支撐——數(shù)學(xué)建模，也就越來越受到重視. 近些年來，數(shù)學(xué)建模在高中課程中的地位日益凸顯，這就意味著作為教師在教學(xué)中需要改變傳統(tǒng)的教學(xué)方式，有目的、有層次地開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)全過程，養(yǎng)成獨(dú)立思考、主動(dòng)分析、主動(dòng)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的習(xí)慣，這些理念和方法與建構(gòu)主義理論提出的學(xué)習(xí)者自己主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的理念是一脈相承的. 本文依據(jù)建構(gòu)主義理論就如何更好地開展數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)進(jìn)行了研究與探索，在建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下通過構(gòu)造有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)，形成典型案例，對(duì)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)具有重要的指導(dǎo)和示范作用.

建構(gòu)主義理論與數(shù)學(xué)建模概述

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是積極地建構(gòu)知識(shí)體系而不是被動(dòng)地接受信息刺激. 選擇、加工和處理外部信息都是在已有經(jīng)驗(yàn)背景的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，也是學(xué)習(xí)者通過新舊知識(shí)之間反復(fù)、雙向的互動(dòng)過程來建構(gòu)的，其中外部信息本身是沒有價(jià)值的[2]. 在這一過程中，隨著新知識(shí)體驗(yàn)的進(jìn)入會(huì)使學(xué)習(xí)者的原始知識(shí)體系發(fā)生調(diào)整和改變，從而形成新的知識(shí)體系，這是一個(gè)內(nèi)化的過程. 因此，教師在選擇教學(xué)內(nèi)容準(zhǔn)備教學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，要充分考慮學(xué)生已有的發(fā)展水平和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣有助學(xué)習(xí)效果的形成. 建構(gòu)主義教學(xué)觀強(qiáng)調(diào)教師應(yīng)該幫助學(xué)生從現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在真實(shí)學(xué)習(xí)情境中，通過操作、對(duì)話、協(xié)作等方式進(jìn)行意義建構(gòu). 建構(gòu)主義認(rèn)為，教學(xué)過程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程，而不是教師向?qū)W生直接傳遞知識(shí)的過程，所以學(xué)生是積極的意義建構(gòu)者，而不是被動(dòng)的信息接收者[3].

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模的主要過程包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題[4]. 即運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法將實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，從而抽象出模型進(jìn)行求解的過程. 因此它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、動(dòng)手操作能力非常重要. 特別是當(dāng)數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中課程，可以細(xì)化為改變教師單一的灌輸式教學(xué)方式，改變學(xué)生傳統(tǒng)的全盤接受式學(xué)習(xí)方式，開展以學(xué)生主動(dòng)獲得知識(shí)為直接目的的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng). 因?yàn)閿?shù)學(xué)建模探究活動(dòng)比其他任何基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程都更強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)實(shí)際生活的經(jīng)歷與體驗(yàn)，所以通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的開展，為學(xué)生提供一個(gè)積極探索、主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流、選擇工具、收集數(shù)據(jù)、交流分享、檢驗(yàn)反思的機(jī)會(huì)，以此來營(yíng)造積極和諧的學(xué)習(xí)氛圍.

在建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程是按照創(chuàng)設(shè)情境，確定問題，進(jìn)而在學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及合作交流的情況下，抽象出模型并求解的步驟進(jìn)行的，正好與建構(gòu)主義理論的教學(xué)過程一一對(duì)應(yīng)起來落到實(shí)處.

基于建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例設(shè)計(jì)

在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)模式更加具體和清晰，數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的教學(xué)模式將建構(gòu)主義理論對(duì)應(yīng)起來一一落實(shí). 具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示. 本文將在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，從創(chuàng)設(shè)情境、自主學(xué)習(xí)和效果評(píng)價(jià)三個(gè)方面涉及數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例，指導(dǎo)日常數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的教學(xué)活動(dòng).

數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例設(shè)計(jì)示例：

第一步，創(chuàng)設(shè)情境，確定問題. 這一步落實(shí)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，我們稱之為轉(zhuǎn)化，也是學(xué)生需要培養(yǎng)的最重要的一種能力.

實(shí)際問題：被譽(yù)為“飛車第一人”的朱朝輝，在1999年騎摩托車成功飛越母親河——黃河的壺口瀑布，如圖2所示. 他是中國(guó)騎摩托車飛越黃河的第一人. 那么如果還有其他摩托車騎手也想飛越黃河，我們需要為他做哪些數(shù)據(jù)的收集和測(cè)算呢？

師生互動(dòng)：在飛越黃河的過程中需要考慮到哪些因素呢？“飛越黃河”在黃河所在具體位置的高度以及其他幾何方面的數(shù)據(jù)，可以通過實(shí)際測(cè)量，或者在互聯(lián)網(wǎng)上查找資料.

設(shè)計(jì)意圖：教師采用現(xiàn)實(shí)生活中的“飛越黃河”問題進(jìn)行課題引入，拋出問題，進(jìn)而展現(xiàn)照片，吸引學(xué)生的眼球，讓學(xué)生投入課堂，在貫徹了建構(gòu)主義理論下的“情境”教學(xué)原則之下，充分考慮數(shù)學(xué)建模的要求. 所選情境并非簡(jiǎn)單的創(chuàng)設(shè)，而是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，在這一過程中最重要的就是“拋錨”，根據(jù)真實(shí)情境中確定的問題作為學(xué)生研究的中心，從而使得學(xué)生圍繞確定的問題進(jìn)行探究與學(xué)習(xí).

第二步，自主學(xué)習(xí)，合作交流. 這一步落實(shí)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中就是學(xué)生用獨(dú)立思考、合作交流的方式來完成數(shù)學(xué)建模的過程，在這一過程中培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和合作能力.

（1）分組學(xué)習(xí)（每組6人，并確定每位成員的任務(wù)分工）.

（2）小組進(jìn)行學(xué)習(xí)研討，找出影響成功飛越黃河最核心的因素.

學(xué)生活動(dòng)：想要成功飛越黃河，就需要從不同的角度去分析不同的影響因素. 學(xué)生一：從成功與否的角度來看，就必須考慮摩托車的起跳速度，只有知道最低起跳速度的時(shí)候才可能會(huì)成功. 故設(shè)計(jì)合理的起跳速度是這個(gè)問題的目標(biāo)與核心. 學(xué)生二：摩托車想要起跳騰空，就必須借助斜坡面加速起跳，因此，斜坡面的坡度，即摩托車在沿跑道飛出時(shí)，運(yùn)動(dòng)方向與水平方向的夾角，也是需要設(shè)計(jì)的. 學(xué)生三：如果從安全的角度來看，就需要考慮摩托車的減震情況，就是摩托車在飛越過程中，最高點(diǎn)和落地點(diǎn)的高度差. 學(xué)生四：起跳能否成功還會(huì)受到天氣的影響，以及還要考慮空氣阻力.

綜上所述，這個(gè)問題的核心是設(shè)計(jì)駕駛摩托車飛越黃河時(shí)的“起跳速度”，而設(shè)計(jì)起跳速度的核心是需要找到一個(gè)確定的函數(shù)來刻畫飛越黃河的運(yùn)動(dòng)過程，而且，一旦確定了函數(shù)，也就是建立了模型，我們就可以求出特定的函數(shù)值、極值，從而解決這個(gè)問題.

制定相應(yīng)的模型，找出解決方案

合作探究：對(duì)于以上四點(diǎn)問題的考慮，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)涉及了物理中的運(yùn)動(dòng)問題，那么就要求我們通過回憶物理知識(shí)和物理公式，從而建立物理模型. 同樣，想要解答這個(gè)問題，我們可以通過簡(jiǎn)化問題使題目變得易解. 如忽略空氣阻力，摩托車在與跑道分離后，就可以看成是在做斜拋運(yùn)動(dòng)，其軌跡是拋物線，我們可以把“斜拋運(yùn)動(dòng)”模型看成是水平和豎直方向上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，從而就能得到相應(yīng)的數(shù)值解.

設(shè)計(jì)意圖：教師在課堂上不斷鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，在“自主和交流”中完成對(duì)知識(shí)的理解與建構(gòu). 教師為學(xué)生營(yíng)造了自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，這是依據(jù)建構(gòu)主義的教學(xué)原則設(shè)計(jì)的，同時(shí)也完全契合數(shù)學(xué)建模所提倡的觀點(diǎn). 在此環(huán)節(jié)中，教師不是直接告訴學(xué)生如何解題，而是為學(xué)生提供一些相關(guān)的線索，指引學(xué)生通過挖掘線索，獲取信息，并與同伴分享結(jié)果，通過不同觀點(diǎn)的碰撞，形成全面完整的解題思路.

第三步，效果評(píng)價(jià). 這一步落實(shí)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中是指學(xué)生經(jīng)歷了建模過程，并對(duì)所建立的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)反思，進(jìn)而優(yōu)化模型（通過不斷迭代，從而得到最優(yōu)模型），培養(yǎng)學(xué)生反思、探索和創(chuàng)新能力.

（1）首先通過查找資料，對(duì)影響飛越黃河的有關(guān)因素做出合理假設(shè)，進(jìn)行符號(hào)設(shè)定.

（2）其次，根據(jù)前面的分析，將摩托車的運(yùn)動(dòng)看成是斜拋運(yùn)動(dòng)，在不計(jì)空氣阻力的影響下，建立斜拋運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型并求解出摩托車運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：

y=- x2+xtanα？搖

（3）再次，通過求出的軌跡方程，得到摩托車最高點(diǎn)與落地點(diǎn)：？搖？搖？搖？搖？搖？搖

y = ？搖

y =- l2+ltanα

（4）按照題目要求，只要 y -y ≤h？搖即可.

（5）模型驗(yàn)證，根據(jù)實(shí)際分析和查找的數(shù)據(jù)計(jì)算可得，y =0.8334 m，y =-9.1650 m（負(fù)號(hào)表示與坐標(biāo)系中y軸的方向相反），故y -y =0.8334-（-9.1650）=9.9984≤h，符合要求.

（6）模型評(píng)價(jià)與反思.

學(xué)生一：為了簡(jiǎn)化題目，利于理解與建立模型，沒有考慮空氣阻力對(duì)摩托車運(yùn)動(dòng)軌跡的影響. 但是對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)來說，如果物體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么它的運(yùn)動(dòng)速度越大，所受到的空氣阻力也就越大，所以如果實(shí)際中為了得到更精確的結(jié)果，對(duì)于速度很大的物體，不能忽視空氣阻力的影響. 故對(duì)于摩托車飛越黃河，如果能夠考慮到空氣阻力，會(huì)讓模型更加精確. 學(xué)生二：摩托車飛越黃河時(shí)，做的是斜拋運(yùn)動(dòng)，可以計(jì)算得到水平運(yùn)動(dòng)距離，如果考慮到空氣阻力，實(shí)際水平距離就小于計(jì)算的距離，因此只有將實(shí)際起跳速度增大一些，才能增大實(shí)際水平距離.

教師：如果我們考慮到空氣阻力的影響，很多資料中記載，空氣阻力是隨著物體運(yùn)動(dòng)速率變化而變化的，而且很多文獻(xiàn)將這種關(guān)系簡(jiǎn)化為空氣阻力與物體運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比例關(guān)系，如果基于這樣的關(guān)系，我們要建立哪種新的模型來求解，感興趣的同學(xué)可以自己去研究.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)原則，教師始終落實(shí)拋錨式教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生抽象出模型，不斷鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，在“自主探索和交流”中完成模型的求解過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問題的方法. 在解答模型之后，再回到現(xiàn)實(shí)生活中去驗(yàn)證是否符合實(shí)際情況，與建構(gòu)主義不同的是，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)閉合的過程，通過不斷地檢驗(yàn)，得到最終符合實(shí)際情況的結(jié)果.

案例總結(jié)

本案例在建構(gòu)主義拋錨式教學(xué)的具體環(huán)節(jié)中貫徹了數(shù)學(xué)建模的具體實(shí)踐過程，主要從創(chuàng)設(shè)情境、確定問題、自主學(xué)習(xí)、合作交流以及效果評(píng)價(jià)來落實(shí). “飛越黃河”的數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)從創(chuàng)設(shè)情境，分析問題，到設(shè)計(jì)研究方案，再到最終解決問題的過程中，都是以學(xué)生為主體，以解決實(shí)際生活中真實(shí)發(fā)生的事情為主線. 這個(gè)問題涉及的知識(shí)不止數(shù)學(xué)知識(shí)，還包括物理知識(shí)和物理模型，需要研究的變量和因素也比較多，可能學(xué)生在選擇有關(guān)變量和有用的因素時(shí)，會(huì)產(chǎn)生思維障礙，需要教師適時(shí)引導(dǎo). 在數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)的研究中，需要以建構(gòu)主義為指導(dǎo)，幫助學(xué)生確定要研究的具體問題，厘清有關(guān)的變量，并進(jìn)行符號(hào)設(shè)定，在最終建立模型后，可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)信息技術(shù)進(jìn)行求解，再驗(yàn)證實(shí)際情況下是否有意義，模型是否正確，以及建構(gòu)主義理論指導(dǎo)教師從多角度評(píng)價(jià)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的過程.

建構(gòu)主義理論對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的啟示與建議

數(shù)學(xué)建模是在建構(gòu)主義理論的基礎(chǔ)上加以豐富和創(chuàng)新，使其更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的魅力. 建構(gòu)主義理論從創(chuàng)設(shè)情境到解決問題、效果評(píng)價(jià)都是圍繞已有的知識(shí)點(diǎn)展開的，為獲取知識(shí)而創(chuàng)設(shè)情境，而數(shù)學(xué)建模教學(xué)要選擇的是一個(gè)符合學(xué)生身心發(fā)展特點(diǎn)以及生活實(shí)際中真實(shí)存在的問題情境，只有這樣才能在建模的過程中將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)抽象出模型并求解的過程，這樣也能確保學(xué)生的主體地位. 建構(gòu)主義是按其教學(xué)順序依次進(jìn)行的教學(xué)過程，而數(shù)學(xué)建模過程是一個(gè)系統(tǒng)的迭代過程，如果得到的最終結(jié)果與實(shí)際問題不符合，就需要對(duì)假設(shè)條件進(jìn)行修改，進(jìn)入下一個(gè)迭代過程，直到得到與實(shí)際相符合的結(jié)果，停止迭代. 而數(shù)學(xué)建模在建構(gòu)主義的指導(dǎo)下形成了獨(dú)具特色的教學(xué)模式，是發(fā)展，也是創(chuàng)新，故數(shù)學(xué)建模在建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1. 注重?cái)?shù)學(xué)建模課題選擇

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生是發(fā)展中的人，其發(fā)展具有一定的規(guī)律性，所以教學(xué)內(nèi)容的選擇應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，通過了解不同年齡階段學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)，從而選擇合適的教學(xué)內(nèi)容. 而數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生具有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，但對(duì)于高中生來說，不管是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力，還是計(jì)算機(jī)使用能力都不是很高. 因此教師必須選擇適合高中生發(fā)展水平的數(shù)學(xué)建模課題，并且課題應(yīng)該具有實(shí)用性與趣味性，不但要引起學(xué)生的興趣與好奇心，而且要源于實(shí)際生活且不夸張. 比如本文中選擇了“飛越黃河”這一案例，不僅能夠引起學(xué)生的好奇心與積極性，而且是現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)發(fā)生的事情. 最終解決這一問題所用的基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法也是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的，包括所用到的物理知識(shí)——斜拋運(yùn)動(dòng).

2. 轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)建模教學(xué)方式

新課標(biāo)指出，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的合作者、引導(dǎo)者與組織者. 以“教師的教”為主體的教學(xué)方式應(yīng)該轉(zhuǎn)變成以“學(xué)生的學(xué)”為主體，被動(dòng)學(xué)習(xí)應(yīng)該變成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí). 建構(gòu)主義理論也強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)、有意義地建構(gòu)知識(shí). 在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中，教師通過提供問題情境，為學(xué)生營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，消除他們厭惡、畏懼?jǐn)?shù)學(xué)建模的心理，逐步引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，故在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中教師應(yīng)做好學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的引路人.

3. 形成數(shù)學(xué)建模多元評(píng)價(jià)體系

建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的過程性評(píng)價(jià)，包括如何尋找知識(shí)、重構(gòu)知識(shí)，將新的知識(shí)順應(yīng)到自己已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以及在這一過程中獲得能力與思維品質(zhì)等. 新課標(biāo)中提出要建立完整、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系，因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，可以形成一套過程性多元評(píng)價(jià)體系，貫穿在學(xué)生的整個(gè)建模過程. 數(shù)學(xué)建模過程中，有的學(xué)生對(duì)于上網(wǎng)查資料比較擅長(zhǎng)，有的學(xué)生善于使用信息技術(shù)，有的學(xué)生善于撰寫論文，等等，都可以作為評(píng)價(jià)依據(jù)，使學(xué)生受到表揚(yáng)后更加熱衷數(shù)學(xué)建模，并提高自己的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

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[4]? 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì). 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.