巧用類比　學(xué)好分式

劉春花

類比法也叫“比較類推法”，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法。類比分?jǐn)?shù)研究分式是便捷而有效的學(xué)習(xí)方法。

一、類比法學(xué)習(xí)分式概念

例1 要使分式[12-x]有意義，則x的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】分?jǐn)?shù)的分母不能為0，類比可得分式的分母不能為0，從而x≠2。

例2 化簡：[a-2a-1a]÷[a2-1a]=

。

【解析】類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則和混合運(yùn)算的順序，可得分式的運(yùn)算法則和混合運(yùn)算法則。由此化簡可得：原式=[a2a-2a-1a]÷[a2-1a]=[（a-1）2a]·[a（a+1）（a-1）]=[a-1a+1]。

【點(diǎn)評】用類比分?jǐn)?shù)的方法學(xué)習(xí)分式的定義、性質(zhì)以及運(yùn)算法則，事半功倍。

二、類比法突破解題難點(diǎn)

例3 我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù)，如[12]，[13]，[14]……任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如[12]=[13]+[16]，[13]=[14]+[112]，[14]=[15]+[120]……

（1）根據(jù)對上述式子的觀察，如果，[15]=[1○]+[1◇]，那么請寫出○、◇所表示的數(shù);

（2）進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)[1n]（n≥2且為整數(shù)）=[1△]+[1☆]，請寫出△、☆所表示的式，并加以驗(yàn)證。

【解析】觀察給出的式子的規(guī)律，等號(hào)右邊的第一個(gè)數(shù)的特征明顯，它的分母是左邊第一個(gè)數(shù)的分母加1，因此，第（1）問中，當(dāng)[15]在等號(hào)左邊時(shí)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)是[16]，那么后面的數(shù)可由[15]-[16]得到，即[130]。第（2）問可類比第（1）問的解決方法，先確定[1n]后的第一個(gè)數(shù)[1n+1]，再用[1n]-[1n+1]=[1n（n+1）]得到第二個(gè)數(shù)，從而得△=n+1、☆=n（n+1）。

【點(diǎn)評】類比是數(shù)學(xué)中常用的方法，這種方法往往有“化難為易”的神奇力量，大家今后一定要多留意這一方法。

三、類比思考發(fā)現(xiàn)通法

例4 觀察下列等式：

[11×2]=1-[12]，[12×3]=[12]-[13]，[13×4]=[13]-[14]。

將以上三個(gè)等式的兩邊分別相加，得

[11×2]+[12×3]+[13×4]=1-[12]+[12]-[13]+[13]-[14]=1-[14]=[34]。

（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：

[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+ [1n（n+1）]=

。

（2）根據(jù)（1）的探究過程猜想并寫出： [1n（n+3）]=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3）解方程：[1x（x+3）]+[1（x+3）（x+6）]+[1（x+6）（x+9）]=[32x+18]。

【解析】本題考查分式的運(yùn)算規(guī)律，通過所給等式的計(jì)算方式，可以將（1）展開進(jìn)行計(jì)算。

（1）[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+[1n（n+1）]

=1-[12]+[12]-[13]+[13]-[14]+…+[1n]-[1n+1]

=1-[1n+1]=[nn+1]。

（2）類比（1）的解題過程，我們可以將比式拆成兩個(gè)分式差的形式：[1n]-[1n+3]=[n+3n（n+3）]-[nn（n+3）]=[3n（n+3）]=

3·[1n（n+3）]，所以[1n（n+3）]=[13][1n-1n+3]。

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論將（3）中方程進(jìn)行化簡可得：

[13][1x-1x+3+1x+3-1x+6+][1x+6]

[-1x+9]=[32x+18]，即[13][1x-1x+9]=

[32x+18]，

解得x=2，或x=-9。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原分式方程的解，

∴原分式方程的解x=2。

【點(diǎn)評】該題本身含有類比思想，意在通過類比，發(fā)現(xiàn)解決這一類問題的基本方法。即把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差，前后項(xiàng)抵消，從而達(dá)到化簡的目的。本題還可類比小學(xué)分?jǐn)?shù)學(xué)過的“裂項(xiàng)相消”的方法，從而學(xué)習(xí)分式的“裂項(xiàng)相消”。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）