與“分式方程”有關(guān)的中考題掠影

曹淵

分式方程是方程大家族里特殊而又略顯重要的成員，也是中考考查的熱門知識(shí)點(diǎn)之一。本文對(duì)“分式方程”典型中考題進(jìn)行剖析，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

題型一、解分式方程

例1 （2020·江蘇南京）方程[xx-1]=[x-1x+2]的解是? ? ? ? ? ? ? ?。

解：方程兩邊同乘（x-1）（x+2），得

x2+2x=x2-2x+1，

解得x=[14]。

經(jīng)檢驗(yàn)x=[14]是分式方程的解。

拓展練習(xí)1：當(dāng)x為何值時(shí)，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3？

解：根據(jù)題意，得[3-x2-x]-[1x-2]=3，方程兩邊都乘x-2，得-（3-x）-1=3（x-2），解得x=1。檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x-2≠0，∴x=1是所列分式方程的解。

答：當(dāng)x=1時(shí)，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3。

題型二、求字母系數(shù)

例2 （2019·江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程[1x-2]+[a-22-x]=1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? 。

【解析】直接解分式方程，進(jìn)而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，再結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案。

解：去分母，得1-a+2=x-2，

解得x=5-a，

5-a>0，解得：a<5，又當(dāng)x=5-a=2，即a=3時(shí)，分式方程無意義，

故a<5且a≠3。

拓展練習(xí)2：若關(guān)于x的分式方程[mx-2]=[1-x2-x]-3有增根，則實(shí)數(shù)m的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：去分母，得m=x-1-3（x-2），由分式方程有增根，得x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，得m=1。

題型三、分式方程的應(yīng)用

例3 （2020·江蘇揚(yáng)州）如圖，某公司會(huì)計(jì)欲查詢乙商品的進(jìn)價(jià)，發(fā)現(xiàn)進(jìn)貨單已被墨水污染。

進(jìn)貨單

[商品 進(jìn)價(jià)（元/件） 數(shù)量（件） 總金額（元） 甲 7200 乙 3200 ]

商品采購員李阿姨和倉庫保管員王師傅對(duì)采購情況回憶如下：

李阿姨：我記得甲商品進(jìn)價(jià)比乙商品進(jìn)價(jià)每件高50%。

王師傅：甲商品比乙商品的數(shù)量多40件。

請(qǐng)你求出乙商品的進(jìn)價(jià)，并幫助他們補(bǔ)全進(jìn)貨單。

【解析】設(shè)乙商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，則甲商品的進(jìn)價(jià)為（1+50%）x元/件，

依題意，得[7200（1+50%）x]-[3200x]=40，

解得x=40。

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的解，且符合題意。

∴（1+50%）x=60，[3200x]=80，

[7200（1+50）x]=120。

答：甲商品的進(jìn)價(jià)為60元/件，乙商品的進(jìn)價(jià)為40元/件，購進(jìn)甲商品120件，購進(jìn)乙商品80件。

拓展練習(xí)3：新冠肺炎疫情期間，成都江安河社區(qū)有甲、乙兩個(gè)醫(yī)療用品公司，免費(fèi)為醫(yī)院加工同種型號(hào)的防護(hù)服。甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)量的1.5倍，兩廠各加工600套防護(hù)服，甲廠比乙廠要少用4天。求甲、乙兩廠每天各加工多少套防護(hù)服？

解：設(shè)乙廠每天加工x套防護(hù)服，則甲廠每天加工1.5x套防護(hù)服。

根據(jù)題意，得[600x]-[6001.5x]=4，解得x=50。經(jīng)檢驗(yàn)：x=50是所列方程的解，且符合題意，則1.5x=75。

答：甲廠每天加工75套防護(hù)服，乙廠每天加工50套防護(hù)服。

總之，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程及其應(yīng)用時(shí)，既要注意與整式方程相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比，又要注意兩者的區(qū)別。

（作者單位：江蘇省常州市同濟(jì)中學(xué)）