視為整體　巧妙解題

薛麗萍

面對一些分式求值題，我們會發(fā)現(xiàn)用常規(guī)方法很難計(jì)算求值，但若從整體出發(fā)，觸及實(shí)質(zhì)，再尋求解題方法，則可化繁為簡，輕松解決。

一、變形搭橋，整體換元

例1 已知[1x]+[1]=3，求[x+2xy+y2x-3xy+2y]的值。

【解析】因?yàn)橐阎獥l件中有兩個未知數(shù)x和y，但只有一個關(guān)于x和y的方程，所以直接求出x、y的值有一定的困難。我們不妨先來觀察已知條件與所求分式之間的聯(lián)系。

方法1：如果將條件變形，在等式兩邊同時乘xy，得到x+y=3xy，建立x+y與xy之間的關(guān)系，將x+y看作一個整體，整體換元，即可輕松求值。

[x+2xy+y2x-3xy+2y]=[（x+y）+2xy2（x+y）-3xy]

=[3xy+2xy6xy-3xy]=[53]。

方法2：如果將所求的分式變形，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時除以xy，即可將所求分式轉(zhuǎn)化為與條件相關(guān)的式子，再將[1x]+[1y]看作一個整體，代入求值。

[x+2xy+y2x-3xy+2y]=[（x+2xy+y）÷xy（2x-3xy+2y）÷xy]

=[1y+2+1x2y-3+2x]=[53]。

【點(diǎn)評】在對一些分式進(jìn)行求值時，我們可以通過變形條件或所求分式，建立兩者之間的橋梁，整體代入求值。

二、借助公式，整體平方

例2 已知m-[1m]=3 ，求m+[1m]的值。

【分析】要求m+[1m]的值，可將m+[1m]作為一個整體，求出[m+1m2]即可解決問題。而[m+1m2]=[m-1m2] +4=9+4=13，則m+[1m]=±[13]。

【點(diǎn)評】靈活運(yùn)用完全平方公式及其變形，整體平方求值，是解決此類分式求值問題的關(guān)鍵。

三、巧求倒數(shù)，整體顛倒

例3 已知[xx2-3x+1]=[15]，求

[x2x4+x2+1]的值。

【解析】觀察已知條件和所求分式，我們不難發(fā)現(xiàn)分子都是單項(xiàng)式，分母是多項(xiàng)式。如若將分子、分母整體顛倒，便可得原分式的倒數(shù)，再變形整理?xiàng)l件即可求出分式的值。

由[xx2-3x+1]=[15]知x≠0，

∴[x2-3x+1x]=5，即x-3+[1x]=5，故可得x+[1x]=8。

我們想要求分式[x2x4+x2+1]的值，可先求出其倒數(shù)[x4+x2+1x2]的值，

即[x4+x2+1x2]=x2+1+[1x2]=[x+1x2]-1

=82-1=63。

從而[x2x4+x2+1]=[163]。

【點(diǎn)評】通過探尋分式分子、分母之間的內(nèi)在特性，將分子、分母整體顛倒，也是我們解決復(fù)雜分式求值問題的常用方法。

同學(xué)們，我們要善于觀察、挖掘問題中隱含的信息，運(yùn)用整體思想簡化分式求值問題，提高正確率，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）