試論分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

梁鵬

【摘 要】分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想和解題策略，反映了整體分解的思想和分類整理的方法。發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，組織知識，提高思維的條理性和概括能力。運用分類討論法進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)，能提高學(xué)生解決問題的效率，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】分類探討思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué);應(yīng)用

學(xué)生從小學(xué)進(jìn)入初中后，在學(xué)習(xí)內(nèi)容、方法和思維方式等方面都發(fā)生了很大的變化。類別討論是數(shù)學(xué)中的一個重要概念。解題分類要正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)，能極大地簡化復(fù)雜的問題，達(dá)到簡化復(fù)雜問題、化難為易的目的。

一、分類討論思想的概述

近年來，在中考中，經(jīng)常出現(xiàn)分類討論題的問題。分類討論題不僅考察了學(xué)生運用知識點的靈活性和計算的能力，而且還考察了學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時能否在各種可能情況下綜合分析不同結(jié)果。分類討論是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點和難點，為更好地選拔初中生，中考常以分類討論題作為結(jié)尾來考驗學(xué)生的能力。通過復(fù)習(xí)，筆者發(fā)現(xiàn)分類思維方法主要體現(xiàn)在以下幾個方面：概念的分類;實數(shù)法、有理法、絕對值法;點（線、圓）與圓（圓）的位置關(guān)系法;兩圓（圓）的正切法;在分析歷年中考試題的基礎(chǔ)上，作者認(rèn)為分類討論的思想滲透在以下幾個方面：（1）滲透到與函數(shù)相關(guān)的分類問題中去;（2）滲透到與幾何相關(guān)的分類討論中去;（3）對數(shù)論和公式論分類問題進(jìn)行了深入探討。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)況

雖然新課程改革逐步推動了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，但一些教師仍然受傳統(tǒng)教學(xué)理念的束縛，那是傳統(tǒng)的教法，把書本知識生搬硬套，把術(shù)語灌輸給學(xué)生，學(xué)生很難主動思考和解決問題，導(dǎo)致學(xué)生創(chuàng)新意識淡薄，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率難以提高，不利于未來的成長和發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類探討思想，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生獨立分析問題。運用分類討論的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探索，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。

三、思想內(nèi)容的分類探討

分類探討思想方法能把完整的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為零散的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，實現(xiàn)可靠的歸納分析。分類探討思想是指根據(jù)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)是否相同，將其分為不同的類別。素質(zhì)教育的改革與發(fā)展，使初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系逐步向素質(zhì)教育過渡，分類探討思想有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)度和數(shù)學(xué)知識的實踐性，幫助學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)。根據(jù)應(yīng)試教育的要求，運用分類討論法，可以提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。分類探討思想符合初中生的思維方式。運用分類探討思想，有利于學(xué)生理清思路，提高數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和實踐能力。

四、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用策略

（一）培養(yǎng)分類討論思想

教師在日常教學(xué)中應(yīng)注重對學(xué)生分類討論思維的培養(yǎng)，并將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真觀察與思考。學(xué)好數(shù)學(xué)分類討論技巧，學(xué)生在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不能不分門別類，老師講解數(shù)學(xué)內(nèi)容時，一定要區(qū)分不同的類型和模塊。在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入分類討論思想;如在講解數(shù)的知識點時，老師可以把數(shù)字分成正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零分類法，然后再把它們分類探討。分類探討思想在教學(xué)中的不斷運用，使學(xué)生感受到分類探討思想的核心內(nèi)容，有利于強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，形成以數(shù)學(xué)問題為核心的分類處理意識。同時還可以模仿教師的方法掌握日常的學(xué)習(xí)過程，掌握數(shù)學(xué)分類的原則。劃分的基本條件對象，按照劃分標(biāo)準(zhǔn)對對象進(jìn)行統(tǒng)一，只有這樣，分類討論思想才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮更大的作用。

（二）指導(dǎo)學(xué)生簡化數(shù)學(xué)分類法要求

初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維還不夠完善，在不斷提高的過程中，所以學(xué)生對這種數(shù)學(xué)思維概念的分類、討論和探討也只是處于接觸之中，難免會思維過于復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不好。對此，教師應(yīng)注意觀察、了解學(xué)生近期的學(xué)習(xí)情況，學(xué)生采用的分類討論法是否正確，討論法是否簡化等問題，有助于提高教學(xué)效率?！稊?shù)學(xué)教材》在學(xué)習(xí)絕對值這一部分知識時，起到了很好的指導(dǎo)作用，比如教材中有關(guān)絕對值的三種情況。教科書中的絕對值分為三類，主要用于分類討論。所以，教師還應(yīng)將自己的思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類研究的同時，做到簡明扼要、全面，避免因分類過于復(fù)雜而在討論中出現(xiàn)錯誤。

（三）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力，使學(xué)生在分類討論問題的時候能夠認(rèn)真思考，以身作則。解題時還要綜合考慮問題，以保證解題的全面性和完整性。教學(xué)過程中，教師應(yīng)理清復(fù)雜的問題解決過程，理清數(shù)學(xué)問題解決的思路，培養(yǎng)學(xué)生的精細(xì)思維，引導(dǎo)學(xué)生多做習(xí)題，在實踐中讓學(xué)生認(rèn)識分類原則，做到有求必應(yīng)，有錯必糾。

（四）運用分類討論思想提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力

運用分類討論思想開展數(shù)學(xué)教育，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教材內(nèi)容，確定教學(xué)目標(biāo)，有效地開展課堂教學(xué)，將有效的公式和定理公之于眾，引導(dǎo)學(xué)生自己探索論證和分類。采用分門別類的討論方法。教師應(yīng)幫助學(xué)生整理分類、討論思考、運用原則，幫助學(xué)生全面提高答題能力，使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)技能，這也是新課程的具體要求。

五、分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實例

（一）幾何學(xué)應(yīng)用

初中幾何知識中包含了大量的圖形知識，運用分類討論方法，可以對這類數(shù)學(xué)問題的幾何知識進(jìn)行更全面的探討。比如，圓與直線之間的關(guān)系，按照圓與直線之間距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系，可以劃分為相交、相切和距離位置關(guān)系。這顯然是一種典型的分類討論思想。另外，分類器的思想可以用來計算直角三角形的邊長。例如，如果你知道直角三角形的邊是4和6，那么你可以找到另外一條邊。先看一下，題目很簡單。但也有很多同學(xué)不夠全面，畢竟題目并沒有說明這兩條邊是斜還是直。有兩種情況，我們可以討論并解決這個問題：6是斜邊長，4是直邊長，4和6都是直邊長。分門別類的討論實際上是一種數(shù)學(xué)思維方式。這種教學(xué)方法，滲透了分類討論的思想，對學(xué)生學(xué)習(xí)很有幫助。本文認(rèn)為，在幾何圖形問題解決的教學(xué)中，教師應(yīng)注意將討論式思維進(jìn)行適當(dāng)整合，以提高問題解決的教學(xué)質(zhì)量。

（二）代數(shù)的應(yīng)用

分類討論數(shù)學(xué)問題對幾何學(xué)和代數(shù)的研究具有重要意義。代數(shù)知識是非常有邏輯和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，解決代數(shù)數(shù)學(xué)問題，不僅需要高效而充分的推理能力，而且需要綜合的思維能力。解法的多重性是代數(shù)問題的一個顯著特征，研究解的分類十分重要。例如，一個關(guān)于一維線性不等式的數(shù)學(xué)問題：一個公司決定購買5臺機(jī)器來生產(chǎn)一些活塞，以擴(kuò)大經(jīng)營。目前有兩種機(jī)器可供選擇。每臺機(jī)器的價格是50，100美元，每天生產(chǎn)活塞的數(shù)量是80個和50個，根據(jù)預(yù)算，購買這臺機(jī)器的花費不會超過22萬元。如公司購買的5臺機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能少于280臺，應(yīng)選擇哪一種來節(jié)約成本？經(jīng)過仔細(xì)分析，公司采購可按以下三種方案進(jìn)行：方案1：不買a型機(jī)，買B型機(jī)5臺;方案2：買a型機(jī)，1臺，買B型機(jī)4臺;方案3：買2臺A型機(jī)，買3臺B型機(jī)，從實例中看，解決這類問題必須分兩步走，否則就容易出現(xiàn)解決方案不完善的情況。分類討論通常對函數(shù)、方程等問題的求解具有重要意義。解決問題要寓教于樂，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生分類討論意識，進(jìn)一步提高學(xué)生分類討論能力。

（三）適用于實際問題

在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)需要學(xué)生具有較強(qiáng)的思維能力、學(xué)習(xí)能力、理解能力，尤其是解題邏輯能力和綜合分析能力。但畢竟初中生學(xué)習(xí)經(jīng)驗不足，能力有限。新課改后，數(shù)學(xué)教材還增加了研究性學(xué)習(xí)等實踐活動，增強(qiáng)了學(xué)生的綜合分析能力和學(xué)習(xí)能力。因此，初中數(shù)學(xué)教師要注意把討論思維分類，科學(xué)地運用到實際課題中去，幫助學(xué)生有條不紊地開展課題活動。例如，在八年級第二卷中，老師可以創(chuàng)造這樣的題目：一家牛奶加工廠生產(chǎn)9噸鮮奶。如果直接在市場上銷售，則每噸利潤500元;如果直接銷售，則每噸利潤1200元;如果銷售奶片，則每噸利潤2000元，加工3噸;如果生產(chǎn)奶片，則每天加工1噸，由于人力有限，不能同時進(jìn)行兩種加工方式，溫度也有限，這批奶必須在4天內(nèi)出售或加工。同時，指導(dǎo)學(xué)生從提高企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的角度出發(fā)，設(shè)計出相應(yīng)的方案。只有這樣，才能真正提高學(xué)生分類討論的思維能力，同時又能培養(yǎng)他們的綜合思維能力，從而真正提高他們的綜合實踐能力。因此，初中數(shù)學(xué)教師可以采取合理的教學(xué)方法，將分類討論的思想充分滲透到實踐活動和課堂知識教學(xué)中，不斷提高學(xué)生的解題能力。

六、結(jié)束語

若能清晰、安全地掌握日常學(xué)習(xí)生活中分類討論的理由與標(biāo)準(zhǔn)，則能很好地運用分類討論的思想。數(shù)學(xué)學(xué)研究的重點是分類討論，它也是一個難題，它使許多學(xué)生討厭數(shù)學(xué)，要消除這些問題，需要教師客觀地講，不要給學(xué)生太多壓力，要讓學(xué)生平靜地接受，不要過分依賴分類討論的思維方式。簡而言之，就是以簡單為基礎(chǔ)的，為了從不同的角度審視資料，我們必須探究問題的特殊性。總之，在解決問題的過程中，我們應(yīng)該仔細(xì)觀察問題，找到最好的解決辦法。如果把數(shù)學(xué)進(jìn)行分類討論，就會使人的思想被接受，數(shù)學(xué)能力得到培養(yǎng)，科學(xué)性大大提高，這種思維習(xí)慣就會對學(xué)生將來的學(xué)習(xí)和生活產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

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