“人教版”與“北師大版”初中二次函數(shù)內(nèi)容的比較研究

李欣

【摘 要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合思想主要的知識(shí)點(diǎn)，利用二次函數(shù)建模在生活中隨處可見(jiàn)。二次函數(shù)內(nèi)容不僅是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，同時(shí)也是高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，通過(guò)“人教版”和“北師大版”教材初中二次函數(shù)內(nèi)容的比較研究，教師可更合理、更全面地開(kāi)發(fā)教材資源。本文選取現(xiàn)行“人教版”與“北師大版”教材中的“二次函數(shù)”內(nèi)容作為研究對(duì)象，從教材編排分布、課程章節(jié)課時(shí)安排、設(shè)計(jì)思路、欄目比較等四個(gè)方面進(jìn)行比較和分析，得出“人教版”二次函數(shù)內(nèi)容在素材的選擇、函數(shù)思想的滲透方面優(yōu)于“北師大版”。

【關(guān)鍵詞】教材比較;二次函數(shù);人教版;北師大版

【中圖分類號(hào)】G633..6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0032-02

1 ? 研究的意義和背景

教材、教師、學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)的三大要素。教材，即課本，是連接教師的教和學(xué)生的學(xué)的重要工具，具有橋梁作用;數(shù)學(xué)教材研究在過(guò)去的幾十年中已經(jīng)在國(guó)際數(shù)學(xué)教育界受到越來(lái)越多的關(guān)注[1]。合理地、正確地、科學(xué)地解讀數(shù)學(xué)教材對(duì)促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量提升有著積極意義。

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的重要組成部分，數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法在二次函數(shù)板塊得到了充分體現(xiàn)。二次函數(shù)應(yīng)用廣泛，教師要讓學(xué)生掌握好二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和技能，為學(xué)生后續(xù)的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠基。

2 ? 研究對(duì)象

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（下文簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確表示：為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的靈活性和選擇性，《標(biāo)準(zhǔn)》在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中僅規(guī)定了學(xué)生在相應(yīng)學(xué)段應(yīng)達(dá)到的基本水平，教材編者及各地區(qū)、學(xué)校，特別是教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望及發(fā)展的可能性，因材施教，即“一本多綱”。本文選取現(xiàn)行“人教版”與”北師大版”兩個(gè)版本教材中的二次函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行比較和分析研究。

3 ? 研究思路

本文對(duì)“人教版”與”北師大版”教材中的二次函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行全方位的比較和分析，從整理視角切入，從教材編排分布、課程章節(jié)課時(shí)安排、設(shè)計(jì)思路、欄目比較等四個(gè)方面進(jìn)行比較和分析。

3.1 ?“人教版”與“北師大版”教材編排的比較與分析

課程編排是指按照一定的目的性、邏輯性、學(xué)生的學(xué)習(xí)順序、實(shí)用性安排各章節(jié)的教學(xué)次序，使教材呈現(xiàn)的內(nèi)容更具科學(xué)性，使整個(gè)學(xué)科體系的呈現(xiàn)上下連接，渾然一體。從課程編排上看，“人教版”九年級(jí)上冊(cè)教材分成四個(gè)章節(jié)，“二次函數(shù)”章節(jié)的教學(xué)安排在“一元二次方程”之后。有學(xué)者認(rèn)為“人教版”初中數(shù)學(xué)教材更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)特點(diǎn)、知識(shí)的連貫性、知識(shí)的學(xué)習(xí)效率。放于本文的研究中可知，由于二次函數(shù)的涉及面廣，與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯(lián)系，將一元二次方程的學(xué)習(xí)放于二次函數(shù)前，有利于知識(shí)的遷移和體現(xiàn)連貫性，對(duì)求解二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)有幫助，能使學(xué)生更容易理解和掌握二次函數(shù)和一元二次方程的區(qū)別和聯(lián)系，如一元二次方程未知數(shù)的解便是二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo);二次函數(shù)表示的是x與 y之間的關(guān)系，有無(wú)數(shù)解，而一元二次方程的x的值最多只有兩個(gè)，進(jìn)而有助于學(xué)生實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化，運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題。“人教版”教材在二次函數(shù)的安排上一定程度地體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性，有助于提高學(xué)習(xí)效率。

“北師大版”九年級(jí)上冊(cè)教材分為四個(gè)章節(jié)，“二次函數(shù)”章節(jié)的教學(xué)安排在“反比例函數(shù)”之后。有學(xué)者認(rèn)為“北師大版”初中數(shù)學(xué)教材具有較強(qiáng)的邏輯性和系統(tǒng)性。函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種模型，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一。通過(guò)逐步學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，學(xué)生能對(duì)比、總結(jié)、探索基本初等函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)的思維模式和研究方法。“北師大版”教材的函數(shù)教學(xué)安排確實(shí)具有一定的系統(tǒng)性。

3.2 ?“人教版”與“北師大版”教材課程章節(jié)安排比較與分析

相同點(diǎn)：從頁(yè)數(shù)上初步判斷，“人教版”與“北師大版”教材在篇幅上分別為28頁(yè)、29頁(yè)，不相上下;二次函數(shù)的內(nèi)容涉及三大部分，即圖象、性質(zhì)、應(yīng)用;均有課外閱讀材料;章末有針對(duì)本章知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)和復(fù)習(xí)題。

不同點(diǎn)：整體上，“人教版”教材將二次函數(shù)分成三大板塊，即二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)，其中包含兩個(gè)閱讀材料、一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)?！氨睅煷蟀妗苯滩耐瑯訉⒍魏瘮?shù)分成三個(gè)大方向，即二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用，包含一個(gè)閱讀材料。課時(shí)安排在整體上雖然都分成三個(gè)部分，但是在細(xì)節(jié)上側(cè)重點(diǎn)不一樣。細(xì)節(jié)上，“人教版”教材將二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)作為一個(gè)小節(jié)，且將一個(gè)小節(jié)分成四個(gè)小課時(shí)，從最簡(jiǎn)單的關(guān)于 y軸對(duì)稱的二次函數(shù)開(kāi)始，接著講解二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最后過(guò)渡到一般式，在每一種函數(shù)解析式上都強(qiáng)調(diào)利用函數(shù)圖象推理函數(shù)性質(zhì)，圖象和性質(zhì)作為一個(gè)整體學(xué)習(xí)。“北師大版”教材將二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別作為一個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)，從頁(yè)數(shù)上可以判斷出“北師大”教材更強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)，且利用閱讀材料做了一個(gè)探索二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系的活動(dòng)。由此可知，編者認(rèn)為函數(shù)圖象的掌握程度影響著函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)。

“人教版”教材第2節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”單獨(dú)作為一個(gè)課時(shí)，可見(jiàn)教材更重視前后章節(jié)知識(shí)的緊湊性和承上啟下，真正將方程與函數(shù)思想的運(yùn)用貫徹在教材中。

關(guān)于閱讀材料。“人教版”教材有兩個(gè)閱讀材料，一個(gè)主要是探索二次函數(shù)的性質(zhì)，利用計(jì)算機(jī)畫圖軟件，畫出二次函數(shù)的圖象，觀察坐標(biāo)的變化，探索函數(shù)的開(kāi)口方向、單調(diào)性、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系;另一個(gè)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)，即利用函數(shù)建模解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)函數(shù)是為了更好地服務(wù)于生活實(shí)際?！氨睅煷蟀妗苯滩挠幸粋€(gè)閱讀材料，利用數(shù)學(xué)軟件的繪圖功能，繪制一個(gè)動(dòng)態(tài)函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，通過(guò)改變系數(shù)a、b、c的值來(lái)探索二次函數(shù)系數(shù)a、b、c與圖象的關(guān)系。綜上所述，三個(gè)閱讀材料的側(cè)重點(diǎn)不同，“人教版”教材強(qiáng)調(diào)性質(zhì)和應(yīng)用;“北師大版”教材強(qiáng)調(diào)函數(shù)的圖象。從這一點(diǎn)看，“人教版”教材的二次函數(shù)課外探究?jī)?nèi)容更豐富。

“人教版”有數(shù)學(xué)活動(dòng)課，而“北師大版”沒(méi)有。數(shù)學(xué)活動(dòng)課不僅能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法完成數(shù)學(xué)任務(wù)，而且能對(duì)所學(xué)知識(shí)起到很好的鞏固作用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性。

3.3 ?“人教版”與“北師大版”教材設(shè)計(jì)思路的比較和分析

“人教版”教材設(shè)計(jì)思路：從一幅插圖入手，插圖選用的是帶有各種形狀的噴泉，形似二次函數(shù)的圖象，創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。第一課時(shí)“二次函數(shù)”中，通過(guò)兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的詳細(xì)解答，引出二次函數(shù)的概念、解析式。第二課時(shí)“二次函數(shù) y=ax2的圖象和性質(zhì)”中，通過(guò)列表法得到函數(shù) y=ax2的圖象，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖象學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，如開(kāi)口方向、單調(diào)性、頂點(diǎn)、根的情況、對(duì)稱軸等。第三、四課時(shí)設(shè)計(jì)思路同上。第五課時(shí)“二次函數(shù)與一元二次方程”中，引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題入手，看待一元二次方程，通過(guò)解答該例題得到函數(shù)與方程根的關(guān)系，利用二次函數(shù) y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式。第六課時(shí)“課外活動(dòng)課”中，利用計(jì)算機(jī)畫圖軟件，畫出二次函數(shù)圖象，探索二次函數(shù)的性質(zhì)。第七課時(shí)“實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”中，以豎直向上拋出的小球?yàn)槔榻B生活中的售價(jià)問(wèn)題與二次函數(shù)的應(yīng)用。最后小結(jié)“復(fù)習(xí)題”。

“北師大版”設(shè)計(jì)思路：章頭圖是一扇上部是圓，下部是矩形的窗戶，提出數(shù)學(xué)模型這一概念。第一課時(shí)“二次函數(shù)”中，通過(guò)列出三個(gè)函數(shù)表達(dá)式，闡釋二次函數(shù)的解析式。第二課時(shí)“二次函數(shù)的圖象”中，對(duì)二次函數(shù)不同系數(shù)下的表達(dá)式通過(guò)列表法畫出函數(shù)圖象。第三課時(shí)“二次函數(shù)的圖象”中，通過(guò)不同二次函數(shù)的解析式的圖象探索二次函數(shù)的性質(zhì)。第四課時(shí)“二次函數(shù)的應(yīng)用”中，以章頭圖的窗戶為例子并解答，給出應(yīng)用二次函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的方法。最后小結(jié)“復(fù)習(xí)題”。

“人教版”與“北師大版”教材設(shè)計(jì)思路的共同點(diǎn)：章節(jié)開(kāi)頭都以章頭圖創(chuàng)設(shè)情境，以問(wèn)題導(dǎo)入學(xué)習(xí)，立足生活，降低二次函數(shù)的抽象理解程度;在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)后，對(duì)函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行學(xué)習(xí)。

“人教版”與“北師大版”教材設(shè)計(jì)思路的不同點(diǎn)：“人教版”教材對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是一起授課，“北師大版”對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是分開(kāi)講解?！叭私贪妗苯滩囊肓硕魏瘮?shù)與一元二次方程，“北師大版”教材則沒(méi)有。

3.4 ?“人教版”與“北師大版”教材欄目比較和分析

“人教版”教學(xué)流程如下：以實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)為研究對(duì)象，問(wèn)題引入—解答—探究—分析—復(fù)習(xí)鞏固—綜合運(yùn)用—拓廣探究。“北師大版”教學(xué)流程如下：以二次函數(shù)的應(yīng)用為研究對(duì)象，問(wèn)題引入—解答—課內(nèi)作業(yè)—作業(yè)題—設(shè)計(jì)題。從數(shù)目統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，“人教版”教材多于“北師大版”教材，“人教版”教材的內(nèi)容素材更加豐富。從內(nèi)容上來(lái)看，兩個(gè)版本的教材的每個(gè)章節(jié)的欄目涉及的素材都有知識(shí)點(diǎn)的講解、練習(xí)鞏固、探索。

4 ?研究結(jié)果

從課程的編排分布上，“人教版”教材注重知識(shí)的連貫性和緊湊性;“北師大版”教材強(qiáng)調(diào)知識(shí)的類比推理，更加注重知識(shí)的系統(tǒng)性。

課程章節(jié)安排上，“人教版”教材和“北師大版”教材整體上的安排是一致的，雖然對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的處理順序不一致，但包含的知識(shí)點(diǎn)和邏輯順序很完整?！氨睅煷蟀妗苯滩目梢栽黾右辉畏匠膛c二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，滲透函數(shù)與方程思想;增加數(shù)學(xué)活動(dòng)課，激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲。設(shè)計(jì)思路的比較和分析上，“北師大版”教材可繼續(xù)由章頭圖導(dǎo)入，講解二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)、應(yīng)用，增加函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)。欄目的比較和分析上，“人教版”教材的內(nèi)容素材更豐富。“北師大版”教材可以增加課外閱讀材料，使教材更具有趣味性。研究結(jié)果表明，在二次函數(shù)這一章節(jié)，在素材的選擇、函數(shù)思想的滲透以及課外閱讀材料、教材趣味性等各個(gè)方面，“人教版”教材都優(yōu)于“北師大版”教材。