高中數(shù)學(xué)解題中變量代換法的應(yīng)用研究

鄒小明

【摘? 要】數(shù)學(xué)作為高中教學(xué)階段一種難度較大的學(xué)科，尤其是在解題環(huán)節(jié)，面對(duì)不同題型要運(yùn)用不同的方法，對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、解題能力與思維水平要求更高，學(xué)生很難順暢地完成解題任務(wù)。在解題教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用變量代換法，帶領(lǐng)他們高效解題。筆者針對(duì)高中數(shù)學(xué)解題中怎么應(yīng)用變量代換法進(jìn)行了研究，并列舉部分合理的應(yīng)用方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);變量代換法;教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：0493-2099（2021）13-0137-02

Research on the Application of Variable Substitution Method in High School Mathematics Problem Solving

（The Experimental School Affiliated to Beijing University， Longyan， Fujian Province，China）ZOU Xiaoming

【Abstract】Mathematics is a difficult subject in the high school teaching stage， especially in the problem-solving process. Different methods must be used in the face of different problem types. It requires students to have higher knowledge reserves， problem-solving ability and thinking level. It is difficult for students to complete the problem-solving task smoothly. In problem-solving teaching， high school mathematics teachers can instruct students to apply variable substitution method to lead them to solve problems efficiently. The author studied how to apply variable substitution method in solving high school mathematics problems， and enumerated some reasonable application methods.

【Keywords】High school mathematics; Variable substitution method; Teaching method

變量代換法是一種非常有效的解題方法，尤其是處理一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變?cè)^多的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)效果明顯。合理代換能簡(jiǎn)化題目信息，凸顯隱性條件，溝通量與量之間的關(guān)系，對(duì)發(fā)現(xiàn)解題思路和優(yōu)化解題過(guò)程有著至關(guān)重要的作用。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可引領(lǐng)學(xué)生采用變量代換法，使其引入一些新的變量進(jìn)行代換，幫助他們簡(jiǎn)化題目結(jié)構(gòu)，提高解題技能。

一、運(yùn)用三角變量代換法，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路

三角變量代換法即為利用三角函數(shù)的性質(zhì)，把代數(shù)或者幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，以此尋求題目突破口的一種高效解題方法，而三角變量代換的實(shí)質(zhì)就是換元思想的具體表現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)教師在解題環(huán)節(jié)，可引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)運(yùn)用三角變量代換法降低題目的難度，使其形成清晰的解題思路，找準(zhǔn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)，讓他們的解題步驟變得更加明朗。

比如，在實(shí)施“三角函數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師設(shè)置以下題目：求函數(shù)[y=x-4+15-3x]的值域。解析：學(xué)生在處理該道題目時(shí)，通常思路為移向、平方、化簡(jiǎn)、再平方，過(guò)程比較復(fù)雜、不易解決，還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。假如他們把原題轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用三角變量代換法來(lái)求解，將會(huì)變得容易一些。解答：根據(jù)題目信息得知x-4≥0和15-3x≥0同時(shí)成立，將它們兩個(gè)聯(lián)立起來(lái)成為一個(gè)不等式組，解得4≤x≤5，觀察x的解集，令x=4+sin2θ，（0≤θ≤π/2），則y=sinθ+[3]cosθ=2sin（θ+π/3），因?yàn)?≤θ≤π/2，所以θ+π/3∈[π/3，5π/6]，那么當(dāng)θ=π/2時(shí)，y有最小值1，當(dāng)θ=π/6時(shí)，y有最大值2，則y的值域是[1，2]。

二、采用函數(shù)變量代換法，真正達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的

函數(shù)在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要性不言而喻，貫穿于初中與高中。其中初中階段學(xué)習(xí)基本的函數(shù)知識(shí)，如正反比例函數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)等，步入高中階段后，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行重新升級(jí)，學(xué)生能接觸到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程等知識(shí)。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)環(huán)節(jié)，教師可引領(lǐng)學(xué)生采用函數(shù)變量代換法解決函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代換把復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子變得簡(jiǎn)單化，使其快速求出函數(shù)值，解決難點(diǎn)，還能用以處理一些復(fù)雜的函數(shù)證明題。

在這里，以“函數(shù)”教學(xué)為例，教師設(shè)計(jì)以下例題：已知f（x）是奇函數(shù)，x∈R，且f（x-2）=-f（x），f（1）=-1，（1）證明f（x+2）=f（x-2）;（2）求f（2001）的值。解析：（1）像這樣的證明題可采用函數(shù)變量代換法，根據(jù)題目信息f（x-2）=-f（x），得出f（x）=-f（x-2），此時(shí)把x轉(zhuǎn)變成x+2，把其帶入式子f（x）=-f（x-2），就能輕松求出f（x+2）=-f（x），又因?yàn)閒（x-2）=-f（x），所以f（x+2）=f（x-2）;（2）可以使用（1）的結(jié)論來(lái)解題，采用變量代換法把x換成x-2重新帶入式子，能夠得到f（x-2+2）=f（x-2-2），即為f（x）=f（x-4），那么f（2001）=f（1997）=……=f（1）=-1。這樣解題不僅省時(shí)省力，而且正確率也比較高。

三、使用導(dǎo)數(shù)變量代換法，輔助學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)環(huán)節(jié)，列出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵和核心所在，不過(guò)在實(shí)際解題中，由于受到多個(gè)方面因素的影響，學(xué)生難以順利寫(xiě)出表達(dá)式。這時(shí)，教師可使用變量代換法，幫助他們處理復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，順利列出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，使其解題能力得到鍛煉與改善。

在展開(kāi)“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”教學(xué)時(shí)，教師出示題目：已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2，a∈R，如果在x∈（0，2]上，g（x）=exf（x）是單調(diào)減函數(shù)，那么a的取值范圍是什么？解析：根據(jù)題目中的已知條件對(duì)g（x）展開(kāi)求導(dǎo)，又因?yàn)閑x>0，原式能夠轉(zhuǎn)化成ax3-3x2+3ax2-6x≤0在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，即a≤[3x2+6xx3+3x2]=[3x+6x2+3x] 在x∈（0，2]上恒成立，這時(shí)采用h（x）代換成 [3x+6x2+3x]后再研究。接著，對(duì)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)，在給定的區(qū)間內(nèi)h（x）是單調(diào)減函數(shù)，可以輕松求出該函數(shù)的最小值是h（2）=6/5，所以a的取值范圍為（-∞，6/5]。

四、利用不等式的變量代換法，促使學(xué)生簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程

變量代換法，顧名思義是通過(guò)變量來(lái)進(jìn)行代換，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題加以轉(zhuǎn)化，目的是便于求解，應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，涉及證明計(jì)算、化簡(jiǎn)求值等各類題目。在處理不等式問(wèn)題時(shí)同樣能應(yīng)用變量代換法，讓學(xué)生簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，實(shí)現(xiàn)化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果。

在“不等式”教學(xué)中，教師可以呈現(xiàn)題目：已知m>1，n>1，p>1，證明[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。解析：這是一道典型的不等式證明題，通過(guò)觀察、分析發(fā)現(xiàn)，如果直接展開(kāi)證明難度較大，這就要把題目中復(fù)雜的信息通過(guò)變量代換法轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單的式子，再采用均值不等式慢慢解決。

證明：設(shè)x=m-1，y=n-1，z=p-1，那么m=x+1，n=y+1，p=z+1，由于m>1，n>1，p>1，則x>0，y>0，z>0，把x=m-1，y=n-1，z=p-1，m=x+1，n=y+1，p=z+1帶入不等式的左邊得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥ [（2x）2y]+[（2y）2z]+[（2z）2x]=[4xy+4yz+4zx]=4（[xy+yz4zx+zx]）≥4×3[xy?yz?zx]=12，得到[（x+1）2y+（y+1）2z+（z+1）2x]≥12，即為[m2n-1+n2p-1+p2m-1]≥12。由于本題無(wú)法直接使用均值不等式進(jìn)行求解，所以解題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，利用變量代換法把原式轉(zhuǎn)變成一個(gè)新的式子，由此借助均值不等式處理問(wèn)題，優(yōu)化解題步驟和流程。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要意識(shí)到變量代換法是一種既常用又高效的解題方法，可以利用它指導(dǎo)學(xué)生處理一些難度較大、復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助他們掌握變量代換法的精髓，使其靈活自如地處理題目，做到游刃有余和得心應(yīng)手，逐步提高數(shù)學(xué)解題水平。

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（責(zé)任編輯? 王小飛）