一節(jié)公開(kāi)課引發(fā)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

俞標(biāo)

[摘 要]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是領(lǐng)悟、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念教學(xué)很重要.數(shù)學(xué)概念教學(xué)可劃分為三個(gè)階段，即數(shù)學(xué)概念的熟悉認(rèn)知階段、數(shù)學(xué)概念的理解嘗試階段、數(shù)學(xué)概念的掌握活用階段.把好三個(gè)階段，實(shí)施精準(zhǔn)教學(xué)，可有效提高初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);公開(kāi)課

[中圖分類號(hào)]??? G633.6??????? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]??? A??????? [文章編號(hào)] ???1674-6058（2021）02-0010-03

一、由一節(jié)公開(kāi)課的引入引發(fā)的思考

筆者聽(tīng)了一節(jié)《合并同類項(xiàng)》的公開(kāi)課.這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)很清楚：先讓學(xué)生弄清楚“什么叫同類項(xiàng)”，再讓學(xué)生掌握“怎樣合并同類項(xiàng)”和“合并同類項(xiàng)的應(yīng)用”等內(nèi)容.

執(zhí)教老師是這樣教學(xué)的：

第一步，在大屏幕上出示題組（讓學(xué)生自行計(jì)算）：①[500-5003-10003];②[8-32+24-122];③ [12x–3x–12x–8] .

第二步，待學(xué)生自主演算、校對(duì)答案后，提問(wèn)：“通過(guò)這幾個(gè)題目的計(jì)算，你得到了哪些運(yùn)算規(guī)律？”（學(xué)生回答）

第三步，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，在學(xué)生得到“可以相加減”，即生成了“同類項(xiàng)”概念的基礎(chǔ)上，引出“同類項(xiàng)”的定義.

這個(gè)課堂引入，與教材的設(shè)計(jì)大不一樣.執(zhí)教老師認(rèn)為“合并同類項(xiàng)”本身就是針對(duì)數(shù)與式的運(yùn)算，所以要求學(xué)生通過(guò)“代數(shù)式的運(yùn)算”領(lǐng)悟并自然得出“同類項(xiàng)”的概念.

課后交流，發(fā)現(xiàn)其他教師針對(duì)“同類項(xiàng)”概念得出的方法有許多不同的意見(jiàn).有教師認(rèn)為，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，所以“同類項(xiàng)”概念的得出應(yīng)像教材設(shè)計(jì)的那樣，通過(guò)具體生活案例的概括，讓學(xué)生自己去領(lǐng)悟“同類項(xiàng)”的概念.有教師認(rèn)為，有效的導(dǎo)入會(huì)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.開(kāi)始導(dǎo)入時(shí)，只要問(wèn)學(xué)生：①我們班現(xiàn)在在操場(chǎng)上有18個(gè)同學(xué)，在教室里有22個(gè)同學(xué)，我們班一共有多少個(gè)同學(xué)？②2只羊加上5頭牛，可以這樣加嗎？學(xué)生很快就知道，只有“同類型的”才可以相加減.有教師認(rèn)為，“同類項(xiàng)”概念可以直接通過(guò)“分配律”的逆運(yùn)算得出.

綜合不同教師的看法，筆者認(rèn)為以下幾個(gè)問(wèn)題值得思考：①數(shù)學(xué)概念教學(xué)，教師主要教什么？②數(shù)學(xué)概念應(yīng)該通過(guò)怎樣的途徑、方法去“教”才有效？③怎樣使學(xué)生比較熟練地運(yùn)用概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題？

二、數(shù)學(xué)概念的基本類型

數(shù)學(xué)概念大多是用定義的形式來(lái)表述的，不同的概念有不同的側(cè)重點(diǎn)，也有不同的定義形式.按照概念的內(nèi)涵、外延來(lái)分類，除了基礎(chǔ)的原始定義外，一般可分為以下幾類.

（一）發(fā)生性定義

發(fā)生性定義，要使學(xué)生明確定義發(fā)生過(guò)程.如教學(xué)“圓”的定義時(shí)，讓學(xué)生用圓規(guī)畫(huà)圓，在操作過(guò)程中得出定義，然后再深入理解圓心、半徑、直徑、弧、半圓、等圓、等弧等概念.

（二）構(gòu)造性定義

構(gòu)造性定義，要注意定義的形式與構(gòu)造的程序.“三角形的中位線”定義，首先要明確“三角形的中位線”是一條線段，知道它是由“聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)”所得到的線段，這樣就可以將這個(gè)概念延伸到“一個(gè)三角形有3條中位線”.

（三）形成性定義

形成性定義，要抓住定義的模型.這類定義通常采用“形如……叫……”的形式，如“形如[y=ax2+bx+c]（其中[a， b， c]是常數(shù)，[a≠0]）的函數(shù)叫二次函數(shù)”.

（四）規(guī)定性定義

規(guī)定性定義，重點(diǎn)要弄清兩點(diǎn)，一是如何規(guī)定的，二是規(guī)定的形式是怎樣的.如“平方根”的定義：若[x2=a]，則x叫[a]的平方根，記作[x=±a]（[a≥0]），這里規(guī)定[a≥0]既是必要的又是合理的.

（五）描述性定義

描述性定義，通常讓學(xué)生了解即可，不必探究深層次內(nèi)容.例如“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”“整式和分式統(tǒng)稱為有理式”等.

三、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念教學(xué)一般可分為三個(gè)階段：一是數(shù)學(xué)概念的熟悉與認(rèn)知階段;二是數(shù)學(xué)概念的理解與嘗試階段;三是數(shù)學(xué)概念的掌握與應(yīng)用階段.下面就這三個(gè)階段，結(jié)合初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)際，談?wù)剶?shù)學(xué)概念教學(xué)的策略.

（一）認(rèn)知概念，構(gòu)筑學(xué)生內(nèi)化概念的基礎(chǔ)

對(duì)于初中數(shù)學(xué)，幾乎所有新知的出現(xiàn)，都是建立在“概念”的基礎(chǔ)上，所以教師要十分重視數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)概念.

1.吸引學(xué)生參與概念的發(fā)生過(guò)程

在初中數(shù)學(xué)中，多數(shù)概念的提出，基本上都有一定的客觀依據(jù)，即具有一定的“實(shí)際基礎(chǔ)”.因此在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，利用實(shí)際模型來(lái)揭示概念，讓學(xué)生體會(huì)概念的發(fā)生過(guò)程.

例如，《合并同類項(xiàng)》的教學(xué)，教師應(yīng)從“如何清點(diǎn)一堆面值分別為1角、5角、1元的硬幣速度比較快”切入，這樣學(xué)生就會(huì)很自然地將“同類”的硬幣合并，無(wú)形中就總結(jié)出了具有“相同特質(zhì)”的事物叫“同類項(xiàng)”及“同類項(xiàng)可以合并”的“原始結(jié)論”.從學(xué)生感興趣的又切合學(xué)生生活實(shí)際的“模型”引入，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又為學(xué)生構(gòu)筑了“同類項(xiàng)”概念的基礎(chǔ).

又如，“三角形的高”的定義，教師如果直接通過(guò)教材的定義演示，大多數(shù)學(xué)生也是能理解的，但對(duì)于鈍角三角形中兩個(gè)銳角的高線的確定比較模糊.對(duì)此，教師可創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：老師到墻這一邊的距離怎么確定？（問(wèn)題涉及老師，學(xué)生很感興趣）點(diǎn)B到直線AC的距離怎么畫(huà)？如圖1，在△ABC中，AC邊上的高怎么確定？”至此，教師順理成章地讓學(xué)生掌握三角形高的定義：三角形的高，就是過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作它所對(duì)邊的垂線段.

2.聯(lián)系學(xué)生實(shí)際經(jīng)驗(yàn)引發(fā)新概念

數(shù)學(xué)概念來(lái)源于客觀實(shí)際，因此引入概念時(shí)可從學(xué)生了解的知識(shí)實(shí)際出發(fā)，用已有概念來(lái)引進(jìn)新概念.

例如，在教學(xué)“平面內(nèi)的點(diǎn)”和“有序?qū)崝?shù)對(duì)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，不妨先舉一個(gè)電影院座位號(hào)的例子.若票是12排8座，它表示第12排第8個(gè)座位;那么8排12座呢？它表示第8排第12個(gè)座位.這兩個(gè)座位各由一對(duì)實(shí)數(shù)（12，8）與（8，12）來(lái)確定.（12，8）與（8，12）由于順序不同，表示了兩個(gè)不同的座位.反之，只有這兩個(gè)座位才能用這兩個(gè)不同的“實(shí)數(shù)對(duì)”來(lái)表示.為了讓學(xué)生弄清楚“有序”和“實(shí)數(shù)對(duì)”這兩個(gè)概念，除了用實(shí)例說(shuō)明外，還要讓學(xué)生記住，在（x，y）中，x在前，y在后，相當(dāng)于“排”在前，“座”在后.加上括號(hào)才表示一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，x是橫軸上的坐標(biāo)，y是縱軸上的坐標(biāo).與此同時(shí)，要讓學(xué)生能敘述“平面內(nèi)的點(diǎn)”和“有序?qū)崝?shù)對(duì)”是一一對(duì)應(yīng)的，也就是要從兩方面來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，即在建立了平面直角坐標(biāo)系以后，對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)點(diǎn)都有一對(duì)有序?qū)崝?shù)和它對(duì)應(yīng);反之，對(duì)于任意一對(duì)有序?qū)崝?shù)，在坐標(biāo)平面內(nèi)都有一個(gè)確定的“點(diǎn)”和它對(duì)應(yīng).

這樣的引入，從學(xué)生熟悉的生活體驗(yàn)出發(fā)，學(xué)生很容易掌握“平面內(nèi)的點(diǎn)”和“有序?qū)崝?shù)對(duì)”是一一對(duì)應(yīng)的.這樣的概念引入收到了事半功倍的效果.

（二）理解概念，提升學(xué)生掌握概念的能力

1.凸顯關(guān)鍵詞句，加深學(xué)生對(duì)概念的印象

對(duì)于難度較大的、比較復(fù)雜的概念，教師在教學(xué)時(shí)一定要抓住、凸顯其中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，以便于學(xué)生理解和記憶.

例如，《合并同類項(xiàng)》的教學(xué)中，在學(xué)生歸納得到“同類項(xiàng)”概念后，教師提問(wèn)：“這里最關(guān)鍵的是哪幾個(gè)詞或句？”學(xué)生歸納：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同.另外，學(xué)生容易忽視“所有的常數(shù)項(xiàng)也可看作是同類項(xiàng)”，教師要特別予以提醒.

突出關(guān)鍵詞語(yǔ)，講透概念的本質(zhì)，挖掘隱含條件，揭示本質(zhì)屬性，這對(duì)學(xué)生理解、掌握概念的促進(jìn)作用是很明顯的.因此，教師要緊扣關(guān)鍵性詞語(yǔ)分析概念，使學(xué)生理解概念，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

2.逐層剖析語(yǔ)句，提升學(xué)生對(duì)概念的理解能力

初中數(shù)學(xué)中有些概念比較抽象，較難理解.如“絕對(duì)值”概念，教師可從教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生接受能力兩個(gè)方面加以分析，尋找它的難點(diǎn)因素，有目的地各個(gè)擊破，同時(shí)利用直觀例子、圖形，對(duì)概念本身涉及的數(shù)軸上“一個(gè)數(shù)”、“對(duì)應(yīng)的點(diǎn)”、“到原點(diǎn)”、“距離”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)具體化，逐步引申.

①在數(shù)軸上，-6到原點(diǎn)的距離是_________，所以|-6|=_________;5到原點(diǎn)的距離是_________;0到原點(diǎn)的距離是_________? ??.歸納到一般（用文字表述）：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù).

② 鞏固概念.計(jì)算：[x][ =9]，則x=??????? ;當(dāng)[x] =-8時(shí)，則x =_________ ;當(dāng)[a≤0]時(shí)，[a =]_________;當(dāng)[k>2]時(shí)，

[k-2] =_________? .

③化簡(jiǎn)[x-y] [=]_________.（用文字表述一般性結(jié)論）

這樣由淺入深，由表及里，逐層剖析，結(jié)合實(shí)例講解，總結(jié)歸納，形成“絕對(duì)值”概念的描繪性的樸素定義，使學(xué)生加深對(duì)“絕對(duì)值”概念的理解.

3.類比區(qū)分字句，克服學(xué)生對(duì)概念的誤辨

數(shù)學(xué)有很多相通、相關(guān)概念，前后之間聯(lián)系密切，教師應(yīng)將這些概念有機(jī)地聯(lián)系在一起引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，并講清其本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生厘清關(guān)系、區(qū)分異同點(diǎn).

例如，平面幾何中的“角的平分線”與“三角形的內(nèi)角平分線”之間的聯(lián)系，“倒數(shù)”與“相反數(shù)”的異同，三角函數(shù)中的“正弦”和“余弦”的區(qū)別，等等.

有時(shí)學(xué)生對(duì)概念的理解往往帶有一種想當(dāng)然的成見(jiàn)性觀點(diǎn)，或者因?yàn)榕f知識(shí)的負(fù)遷移，導(dǎo)致模仿模糊或錯(cuò)誤.要克服這種現(xiàn)象，可適當(dāng)舉一些反例，讓學(xué)生認(rèn)清異同，辨別真?zhèn)?，及時(shí)糾正.如區(qū)別[abm]和[amn]，[abm]表示m個(gè)ab相乘，[abm= ][ambm]，而[amn]表示n個(gè)[am]相乘，即（am）n=[amn].這里解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是用到乘方的概念.

4.弄清體系文句，讓學(xué)生掌握概念

弄清每一個(gè)概念是概念教學(xué)的基本要求.可以在此基礎(chǔ)上，把各個(gè)彼此相關(guān)聯(lián)、有因果關(guān)系的概念加以整理，進(jìn)一步分析、綜合，讓學(xué)生掌握概念體系，形成知識(shí)鏈，實(shí)現(xiàn)深層次的理解.

例如，“代數(shù)式”“整式”“有理式”“多項(xiàng)式”“單項(xiàng)式”“無(wú)理式”“方程”等，弄清楚這些概念的相互關(guān)聯(lián)，明確每一個(gè)概念在知識(shí)鏈上的地位和作用，就能發(fā)揮知識(shí)的整體功能，利于學(xué)生對(duì)概念的理解和記憶.

又如，對(duì)于“因式分解”概念，許多學(xué)生只知道因式分解等號(hào)的左邊是“加、減”的形式，而右邊是“乘號(hào)”的形式，進(jìn)而把“多項(xiàng)式”這個(gè)關(guān)鍵詞忽略掉，往往會(huì)把代數(shù)式變形[x-y=（x-y）（x+y）]當(dāng)作因式分解.

5.理順本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生研讀概念

人們?cè)谘芯渴挛飼r(shí)，總是先分析這類對(duì)象的共同的本質(zhì)屬性，再把具有這些本質(zhì)屬性的對(duì)象全部加以研究，這樣就出現(xiàn)了概念的內(nèi)涵和外延.在概念系統(tǒng)中進(jìn)行概念教學(xué)，才能對(duì)概念進(jìn)行分析、類比、擴(kuò)充、引申，區(qū)分概念的內(nèi)涵與外延，加深對(duì)概念的理解.

例如，“平行四邊形”這個(gè)概念，教材是這樣定義的：“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.”而矩形、菱形、正方形都具有這樣的性質(zhì)：①兩組對(duì)邊互相平行;②四邊形.這個(gè)本質(zhì)屬性就是平行四邊形的內(nèi)涵，而滿足這些對(duì)象的另外的圖形，就是“平行四邊形”概念的外延.

（三）活用概念，促進(jìn)學(xué)生牢固掌握概念

學(xué)生初步形成概念后，為了鞏固和運(yùn)用概念，教師必須創(chuàng)造機(jī)會(huì)，指導(dǎo)運(yùn)用.

1.由淺入深，形成正確概念，實(shí)現(xiàn)熟練應(yīng)用

在學(xué)生經(jīng)歷概念的熟悉、認(rèn)知、理解和嘗試階段之后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握與應(yīng)用數(shù)學(xué)概念.在練習(xí)與應(yīng)用中加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用概念.

例如，在學(xué)習(xí)“同類項(xiàng)”概念時(shí)，可讓學(xué)生判斷“①[3m2n]和[-4mn2];②[5ab]和[-23ba];③-3.4和[617];④[3xy]和[3x]”是不是同類項(xiàng)，并說(shuō)明理由.然后再進(jìn)一步判斷[-2xy2z3]和[32z3y2x]是否是同類項(xiàng).

這樣由淺入深地引導(dǎo)，可使學(xué)生達(dá)到熟練運(yùn)用概念的目的.

2.突出重點(diǎn)，仔細(xì)辨析概念，厘清知識(shí)脈絡(luò)

每一個(gè)新概念的呈現(xiàn)，教師不要急于取用一些難度較大的題目進(jìn)行練習(xí)，應(yīng)設(shè)計(jì)一些比較簡(jiǎn)單的且能體現(xiàn)概念本質(zhì)的小題目.

例如，在復(fù)習(xí)“代數(shù)式”概念時(shí)，可設(shè)計(jì)以下題目：對(duì)于[2]，下列說(shuō)法哪些是正確的？哪些是不正確的？為什么？

①[2]是整數(shù);②[2]是無(wú)理數(shù);③[2]是小數(shù);④[2]是分?jǐn)?shù);⑤[2]是有理數(shù);⑥[2]是整式;⑦[2]是無(wú)理式;⑧[2]是分式;⑨[2]是有理式;⑩[2]是代數(shù)式.

這里的每一個(gè)小題，都要涉及“代數(shù)式”的概念.學(xué)生通過(guò)每個(gè)小題的仔細(xì)辨析，可準(zhǔn)確掌握“代數(shù)式”的概念.

3.創(chuàng)造機(jī)會(huì)，應(yīng)用深化概念，增強(qiáng)應(yīng)用能力

對(duì)于一些比較抽象的數(shù)學(xué)概念，教師可設(shè)計(jì)一些反面實(shí)例，甚至可以故意“布疑”“設(shè)阱”，誘使學(xué)生“上當(dāng)”.這樣可以使學(xué)生混淆不清的甚至錯(cuò)誤的認(rèn)知得到糾正，進(jìn)而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.

例如，“因式分解”的教學(xué)，在出示概念后，可設(shè)計(jì)以下題目讓學(xué)生鞏固概念.

下列各等式中，從左到右變形，哪些是屬于因式分解的？為什么？

①[mx2+mx+m]=[mx（x+1）];②[x-1=x1-1x];③[x2-2=x-2x+2];④[x2-a=x-ax+a];⑤[ 2x-12=2x2-22x+1];⑥[ x2-1x2=x-1xx+1x ].

這么多個(gè)題目，屬于因式分解的只有③，另外的5個(gè)題目都不屬于因式分解范疇.這里的5個(gè)題目都有“陷阱”，學(xué)生如果能說(shuō)出它們不屬于因式分解的理由，那么他們對(duì)因式分解的概念就基本掌握了.

[參考文獻(xiàn)]

[1]? 范良火.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（九年級(jí)上冊(cè)）[M].杭州：浙江教育出版社，2013.

[2]? 丁爾陛.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]? 王雪琴，成榮強(qiáng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)探究[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018（18）：58-63.

[4]? 曲秀英.數(shù)學(xué)概念和定理的教學(xué)札記[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2017（25）：176.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）