發(fā)揮“圖形語言”功能提升數(shù)學(xué)建模能力

張姝晗 黃蓮花

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從千頭萬緒的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升建模能力。這個過程，“圖形語言”發(fā)揮著重要的功能作用，它可以為正確思維與客觀現(xiàn)實(shí)搭起一座橋梁。

一、從復(fù)雜到簡潔：發(fā)揮“圖形語言”的簡化功能

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以具體形象思維為主，但往往因文字語言的抽象性或情境本身的復(fù)雜性給學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型帶來不小的挑戰(zhàn)。而“圖形語言”在將“復(fù)雜問題簡單化”的過程中發(fā)揮了一定的作用。因此，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維方式，重視引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題或繁雜情境借用圖形進(jìn)行思考，以降低難度，幫助學(xué)生順利把握概念本質(zhì)，并予以清晰表達(dá)。

如在“長方形面積計(jì)算”的拓展運(yùn)用環(huán)節(jié)，筆者創(chuàng)設(shè)了問題情境：“希望小學(xué)的操場是一個長方形，原來長60米，寬30米，擴(kuò)建后，寬將增加10米。擴(kuò)建后的操場面積有多大？”僅從文字語言的描述，要清晰地理解擴(kuò)建后的操場面積如何計(jì)算，對于大部分學(xué)生而言還是有一定難度的。筆者啟發(fā)思考：“擴(kuò)建后的操場是什么形狀？你能不能畫圖清晰地呈現(xiàn)出來？”然后指導(dǎo)學(xué)生按如下步驟畫出圖形，重點(diǎn)指導(dǎo)“寬將增加10米”如何在圖上畫出。

動態(tài)呈現(xiàn)出直觀圖后，學(xué)生的思路一下子清晰起來了，不僅理解了擴(kuò)建后的操場是一個長不變、寬為“30+10”米的長方形，而且發(fā)現(xiàn)了一種新的思路，那就是擴(kuò)建后的操場面積還可以看成是由“原來的長方形與增加后的長方形的面積之和”。打開了思路，問題的解決就變得簡單容易了?？梢?，圖形語言在這里起到了簡化的功能。

教師在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)感悟“圖形語言”的簡化功能后，要及時幫助學(xué)生進(jìn)行梳理，以獲得一定的成就感，使之成為學(xué)生后續(xù)解決復(fù)雜問題的有效策略。這個過程能促進(jìn)學(xué)生建模能力的提升。

二、從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)：發(fā)揮“圖形語言”的媒介功能

模型思想的核心在于建模，而建立模型思想的關(guān)鍵在于學(xué)生具有將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行構(gòu)建關(guān)聯(lián)的主動意識和操作能力。這個關(guān)聯(lián)的過程，對小學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和綜合運(yùn)用知識能力是一個極大的考驗(yàn)。發(fā)揮“圖形語言”作為媒介功能，能夠幫助學(xué)生順利完成從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)知識的躍進(jìn)，進(jìn)而不斷提升學(xué)生問題解決的能力。

如在一年級學(xué)生學(xué)習(xí)了總數(shù)與部分?jǐn)?shù)之間的數(shù)量關(guān)系后，筆者設(shè)置了一道練習(xí)：體育室里有45個足球，上午借走了9個，下午借了一些后，總共還剩10個，一共借走了幾個足球？筆者讓學(xué)生先嘗試自己解決，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生無從下手。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖幫助解決后，出現(xiàn)了如下幾種答案：（1）45-9-10=26（個）;（2）45-9-10=26（個），26+9=35（個）;（3）45-10=35（個）。

然后，筆者組織學(xué)生結(jié)合圖示對各自算法進(jìn)行說理后，提問：“第二種和第三種兩種方法，你喜歡哪種？為什么？”生：“我喜歡第三種，一步就能解決問題，太簡單了?！鄙骸拔乙蚕矚g第三種，不過這個算式，要畫圖后我才明白呢?！惫P者：“為什么畫圖后你才明白呢？”生：“畫圖后，我發(fā)現(xiàn)原來的45個足球可以分成兩部分，一部分是‘剩下的10個，另一部分就是‘一共借了幾個。要求一共借了幾個，只要用總數(shù)45個減去剩下的10個就行了?！鄙骸拔矣?5-9-10=26，只是求出了下午借了幾個。還得跟上午借出的9個合并，才能求出一共借出的足球個數(shù)。”生：“我發(fā)現(xiàn)了一個秘密，原來我們都是根據(jù)信息一步一步列出算式解決問題的，畫圖后，我發(fā)現(xiàn)了從要解決的問題去想，需要的信息就比較簡單了?！惫P者：“是啊，解決問題有兩種思路，可以從已知信息中一步一步解決問題，也可以從問題入手，找需要的信息?？磥韴D形很有用處，不僅能幫助理解題意、講清道理，還讓我們發(fā)現(xiàn)了更簡單快捷的算法?！?/p>

面對抽象的數(shù)量關(guān)系，借助圖形表征能降低理解的難度。這個過程，學(xué)生既實(shí)現(xiàn)了思維從具象到抽象的轉(zhuǎn)化，也進(jìn)行了數(shù)學(xué)發(fā)散思維與建模的實(shí)踐。

三、從數(shù)量到關(guān)系：發(fā)揮“圖形語言”的遷移功能

數(shù)學(xué)基本概念包括數(shù)學(xué)研究對象的定義、刻畫研究對象關(guān)系的術(shù)語和計(jì)算方法等，是基于現(xiàn)實(shí)抽象的基礎(chǔ)上形成的。那么，在教學(xué)這些基本概念的過程中，不僅要重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注研究對象本身，還要關(guān)注研究對象之間的關(guān)系。這個過程，可以充分發(fā)揮“圖形語言”的助推遷移功能。

如教學(xué)人教版二下“除法的初步認(rèn)識”時，筆者通過圖片（圖略）設(shè)置問題情境：20個竹筍每4個放一盤，能放幾盤。引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作，呈現(xiàn)出能放5盤這一結(jié)果后，引出除法算式20÷4=5，然后結(jié)合圖示引導(dǎo)學(xué)生理解算理，知道算式中每個數(shù)所表示的含義。隨后，筆者變換不同情境圖讓學(xué)生分一分、填一填，并列式15÷3=5、15÷5=3。到此，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較三個算式，及時抽象出“包含”除法的含義，即“求一個數(shù)里面包含著幾個另一個數(shù)”可以用除法計(jì)算，讓學(xué)生對“包含除”這一概念有較為深刻的認(rèn)識。

教學(xué)到此，看似完成任務(wù)了。其實(shí)，不妨繼續(xù)往下思考：“包含除”與“平均除”有著怎樣的聯(lián)系？除法又與乘法有著怎樣的關(guān)系？作為教師，如何引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，從中獲得感悟？筆者是這樣進(jìn)行的，先出示如下（1）（2）兩個圖式，要求先分一分，然后寫出除法算式。反饋交流后，筆者提問：“兩個圖的解答都用除法計(jì)算，有什么不同？”接著，出示如下第（3）圖，提問：“你能看圖列出幾個算式？”學(xué)生列出12÷4=3、12÷3=4、3×4=12后，筆者提問為什么可以這樣列式。

通過互動，學(xué)生初步理解這三個算式中的三個數(shù)分別表示圓圈的總個數(shù)、每份的圓圈個數(shù)和分成的份數(shù)。如果知道了總個數(shù)和每份的個數(shù)或者分成的份數(shù)，求分成的份數(shù)或者每份的個數(shù)，都可以用除法算式表示;反過來，如果知道了每份的個數(shù)和分成的份數(shù)，求總個數(shù)就可以用乘法計(jì)算。緊接著，引導(dǎo)學(xué)生觀察三個算式，依據(jù)各部分名稱，學(xué)生感受到“除數(shù)4和商3相乘正好得到被除數(shù)12”“除法算式中的除數(shù)和商相當(dāng)于乘法算式中的兩個因數(shù)，被除數(shù)相當(dāng)于積”。在后面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生自然地從除法算式聯(lián)想到乘法算式，在解釋運(yùn)用中理解了乘除法之間的關(guān)系，建構(gòu)了認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)，提升了建模的意識和能力。

（作者單位：福建省廈門第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建省廈門市文安小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王振輝）