一種SEIR傳染病模型及其應(yīng)用

◇成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 李 卓 代月紅 楊曉芳

本文將人群分成易感者、暴露者、感染者、康復(fù)者四類，建立SEIR模型，并用MATALB進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和靈敏度探究，得到傳染病分析的幾大著手點(diǎn)，借助模型預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)，并提出相應(yīng)的抑制措施和有力的防控建議。

因其固有的廣泛應(yīng)用性，傳染病的數(shù)學(xué)模型一直是研究熱點(diǎn)之一。例如文獻(xiàn)1借助數(shù)學(xué)模型分別研究了疫苗接種、媒體報(bào)道及治療措施對(duì)傳染病傳播影響，文獻(xiàn)2分析了一類SIR型傳染病模糊控制數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。現(xiàn)目前，國(guó)際上普遍都遭受新型冠狀病毒肺炎疫情的嚴(yán)重打擊，國(guó)內(nèi)也還或多或少受此疫情的影響。這引起了人們對(duì)傳染病更空前的研究熱情。例如，文獻(xiàn)3就建立了合適的數(shù)學(xué)模型，并借助模型對(duì)重慶市新型冠狀病毒肺炎（NCP）疫情分析與趨勢(shì)進(jìn)行了早期的一些應(yīng)用SEIR模型對(duì)新型冠狀肺炎的研究，數(shù)據(jù)在一定程度上有限，本文有效的克服了這一不足。本文先闡述SEIR模型，提出適當(dāng)?shù)男拚?，通過應(yīng)用SEIR模型對(duì)四川省內(nèi)的新冠肺炎疫情進(jìn)行具體的分析，對(duì)國(guó)內(nèi)外一些地區(qū)對(duì)于新冠肺炎疫情的防控安排、醫(yī)療物質(zhì)分配等的具體措施提供一定的參考價(jià)值。

1 模型分析

SEIR模型具有很高的代表性，考慮也比前三個(gè)模型全面，此模型主要考慮易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康復(fù)者（R）這四大人群，這四個(gè)量都隨著時(shí)間的變化而變化，在達(dá)到一定的時(shí)間后，各個(gè)群體都將趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值。

1.1 模型假設(shè)

在建立模型前，進(jìn)行如下假設(shè)：

（1）暫時(shí)不考慮本地人口的出生和死亡，人口數(shù)量在研究時(shí)間段內(nèi)保持不變。

（2）感病者在治愈后的有一定的免疫能力，但是不排除再被感染的情況。

（3）模型中的感染者一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就會(huì)進(jìn)行及時(shí)的隔離和治療，沒有與外界人員接觸的能力；

（4）在達(dá)到一定的時(shí)間后，各個(gè)群體都將趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值。

1.2 SEIR模型的建立

經(jīng)典的SEIR模型[4]將人群分為四大類，其中S為易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；E為暴露者（Exposed），指接觸過感染者，但暫無能力傳染給其他人的人，對(duì)潛伏期長(zhǎng)的傳染病適用；I為感病者（Infective），指染上傳染病的人，可以傳播給S類成員，將其變?yōu)镋類或I類成員；R為康復(fù)者（Recovered），指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R類成員可以重新變?yōu)镾類。隨著時(shí)間的推移，所有的人群都將成為康復(fù)的人群。表示感染率，為潛伏期的康復(fù)率，為患者康復(fù)率，為潛伏期的發(fā)病率。人群的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖1所示。

圖1

2 實(shí)證分析

2.1 新型冠狀病毒疫情簡(jiǎn)介

四川省新型冠狀肺炎疫情的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，該省最嚴(yán)峻的時(shí)間段是2020年1月到4月，但樣本總體不大，后期經(jīng)過嚴(yán)密部署，得到了很好的控制，現(xiàn)階段四川省內(nèi)疫情逐漸于平穩(wěn)，隨著復(fù)工復(fù)產(chǎn)等相關(guān)工作的開展，疫情防控工作依舊嚴(yán)峻。

2.2 數(shù)據(jù)來源

本文數(shù)據(jù)均來自四川省衛(wèi)生健康委員會(huì)，從1月22日至4月30日每日發(fā)布的疫情官方數(shù)據(jù)[4]。

2.3 數(shù)值模擬

根據(jù)四川省衛(wèi)生健康委員會(huì)每日發(fā)布的疫情官方數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)感染者、康復(fù)者、暴露者的數(shù)據(jù)，根據(jù)實(shí)際情況考慮易感者。四川省1月22日至4月30日每日發(fā)布的疫情官方數(shù)據(jù)，包括新冠肺炎確診病例、醫(yī)學(xué)觀察病例、治愈病例。這些數(shù)據(jù)均為每日新增加人數(shù)，計(jì)算累計(jì)確診的人數(shù)，得出相關(guān)的治愈比率。在對(duì)四川省新冠肺炎疫情現(xiàn)狀進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析之后，對(duì)該問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對(duì)比了幾大傳染病的數(shù)學(xué)模型：SI模型、SIS模型、SIRS模型和SEIR模型，在該模型中初始感染人口占比取0.01，初始健康人口占比取0.98，初始潛伏人口占比0.01，初始治愈人口占比取0，在疫情爆發(fā)后的一周內(nèi)，四川省內(nèi)暫無治愈病例，而且感染的人數(shù)和密切接觸的人數(shù)還沒有完全確定，因此初始各項(xiàng)數(shù)值占比例皆為暫時(shí)取值。根據(jù)四川省1月22日至4月30日每日發(fā)布的疫情官方數(shù)據(jù)，可以得到治愈人口占比達(dá)到0.99。感染的人口所占比例也在逐步減小，至2月份以來許多城市和地方的采取了一定的措施，封閉小區(qū)、暫時(shí)關(guān)閉超市等商鋪，在一定程度上影響了上述四大群體的變化。SEIR模型在理想環(huán)境下會(huì)有一個(gè)更好的應(yīng)用效果，理想環(huán)境是感染人群和普通群眾充分混合的環(huán)境[5]，當(dāng)下環(huán)境及時(shí)采取了小區(qū)封閉、商鋪停業(yè)、區(qū)域隔離等相關(guān)措施，感染者群體（I）與易感者群體（S）接觸機(jī)會(huì)較小，因此不能使用全省的人口進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)處理以及數(shù)據(jù)分析。為了使SEIR模型同樣的達(dá)到較好效果，該模型需要估計(jì)易感者（S）群體的所占比值 。通過數(shù)據(jù)分析、靈敏度探究并且考慮到四川省內(nèi)新冠肺炎疫情防控近狀，將[0 300],[0.01 0.98 0.01 0]帶入，使用MATLAB編寫SEIR模型的微分方程進(jìn)行求解，最后作出可視化的結(jié)果。隨著時(shí)間推移感染者（I）群體所占比例越來越小，最終會(huì)趨近于零，這是因?yàn)樵跐摲趦?nèi)暴露者從康復(fù)者在變?yōu)楦腥菊呷后w過程中所占的比例遠(yuǎn)小于暴露者變?yōu)楦腥菊叩谋壤?/p>

3 結(jié)語

本文運(yùn)用四川省1月22日至4月30日每日發(fā)布的疫情官方數(shù)據(jù)，為了更好地展現(xiàn)SEIR模型的實(shí)際價(jià)值，將時(shí)間擴(kuò)展到了300天，利用MATLAB進(jìn)行圖像繪制，能夠更直觀看到易感者（S）、暴露者（E）、感染者（I）、康復(fù)者（R）這四大群體所占比例的變化及相關(guān)趨勢(shì)，從而可以為一些國(guó)家和地區(qū)提供新冠肺炎疫情防控措施相關(guān)的建議。從SEIR模型中，可以限制感染者（I）出行，減少或者隔絕與易感者（S）的接觸；易感者（S）在正常的出行中應(yīng)當(dāng)做好相應(yīng)的防護(hù)措施，避免成為暴露者（E）群體；感染者（I）變?yōu)榭祻?fù)者（R），醫(yī)院可加強(qiáng)對(duì)最佳治療方案的探究與論證，提高治愈率，定期對(duì)康復(fù)者（R）進(jìn)行回訪和相關(guān)檢查；并且加大對(duì)疫苗研究的力度，提高核酸檢測(cè)準(zhǔn)確度，并且采用最佳的檢測(cè)方案。在政府的大力倡導(dǎo)下，一段時(shí)間居家防控隔離措施，抑制疫情大面積傳播，并且及時(shí)對(duì)感染者所接觸過的人員進(jìn)行密切的追蹤和隔離，有效地防止了疫情的迅速增長(zhǎng)?，F(xiàn)階段四川省內(nèi)的疫情相對(duì)比較穩(wěn)定，還是應(yīng)當(dāng)時(shí)刻警惕疫情反復(fù)，注意外防輸入、內(nèi)防擴(kuò)散，繼續(xù)做好相關(guān)的疫情防控工作。針對(duì)一些國(guó)外疫情波動(dòng)較大的地區(qū)，能夠做到以人為本，向中國(guó)政府學(xué)習(xí)，采取有效的疫情防控措施，為構(gòu)建人類命運(yùn)共同體作出自己的努力。