三角函數(shù)的六邊形關(guān)系在不定積分中的應(yīng)用

師光華 季澤儀

【摘要】 三角函數(shù)六邊形給出了三角函數(shù)間的一些重要關(guān)系，易于記憶，便于使用.本文研究三角函數(shù)的六邊形關(guān)系在不定積分中的應(yīng)用，為初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生提供一套有效的處理不定積分問題的解題思路，幫助學(xué)生較好地理解和運(yùn)用三角換元法.

【關(guān)鍵詞】不定積分;三角函數(shù);三角換元法;反三角函數(shù)

【基金項(xiàng)目】江蘇省自然科學(xué)基金（BK20190874）

1 引言

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，積分的三角換元法是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，關(guān)于三角函數(shù)的公式也最為豐富.對(duì)于初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生而言，正確使用三角換元法求解積分問題是比較困難的.三角函數(shù)公式的六邊形記憶法將六個(gè)三角函數(shù)之間的常用關(guān)系通過圖形清晰地展示了出來，本文研究三角函數(shù)六邊形關(guān)系在求解不定積分中的應(yīng)用，以及從新的角度處理不定積分的三角換元法，以期給學(xué)生提供一種行之有效的解題思路.

2 三角函數(shù)六邊形公式

2.1 三角函數(shù)六邊形

如圖為三角函數(shù)六邊形，六個(gè)三角函數(shù)的位置依次如圖所示，利用該圖形能更好地記憶三角函數(shù)公式.

三角函數(shù)六邊形

2.1.1 三角函數(shù)六邊形所包含的公式

（ⅰ）三角函數(shù)六邊形的對(duì)角線互為倒數(shù)，即：

sin xcsc x=1， cos xsec x=1， tan xcot x=1.

（ⅱ）六邊形里每個(gè)倒三角形（陰影部分）底端函數(shù)的平方等于兩肩上函數(shù)平方的和，即：

sin2x+cos? 2x=1， tan2x+1=sec2x， 1+cot2x=csc2x.

（ⅲ）三角函數(shù)六邊形上任何一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)等于相鄰兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)的乘積，即：

sin x=tan xcos x， cos x=sin xcot x， tan x=sin xsec x，

cot x=cos xcsc x， sec x=tan xcsc x， csc x=cot xsec x.

2.1.2 三角函數(shù)六邊形公式的記憶口訣

（?。?duì)角線倒數(shù)，（ⅱ） 倒三角平方和，（ⅲ） 鄰點(diǎn)積.

此外，六邊形中還蘊(yùn)含了三角函數(shù)的求導(dǎo)法則.

（ⅳ）求導(dǎo)規(guī)則記憶口訣：左正右負(fù)，上互反，中下方，下中下.

其代表的含義為：位于六邊形左邊的三個(gè)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是正的，而位于六邊形右邊的三個(gè)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)是負(fù)的.在此基礎(chǔ)上，六邊形上面兩個(gè)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互反的，即（sin x）′=cos x，（cos x）′=-sin x;六邊形中間的兩個(gè)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是下方三角函數(shù)的平方，即（tan x）′=sec2x，（cot x）′=-csc2x;六邊形下方的兩個(gè)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為中間三角函數(shù)與下方三角函數(shù)的乘積，即（sec x）′=tan xsec x，（csc x）′=-cot xcsc x.

學(xué)生可根據(jù)三角函數(shù)六邊形的圖形和上述記憶口訣快速理解并記憶一系列三角函數(shù)公式.在做題的過程中，學(xué)生可簡(jiǎn)單畫出該六邊形或三個(gè)倒三角形，并將中間的交叉點(diǎn)看作1，即可快速、方便地使用此套公式.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，六邊形中包含了高等數(shù)學(xué)所需的關(guān)于三角函數(shù)的部分最常用公式.

2.2 運(yùn)用三角函數(shù)六邊形求解不定積分

對(duì)于被積函數(shù)中含有a2-x2， a2+x2，以及x2-a2的積分問題，我們可以使用三角換元法.一般教材中直接給出了換元規(guī)律：

（?。┍环e函數(shù)中含有a2-x2，可作代換x=asin t或x=acos t;

（ⅱ）被積函數(shù)中含有a2+x2，可作代換x=atan t或x=acot t;

（ⅲ）被積函數(shù)中含有x2-a2，可作代換x=asec t或x=acsc t.

但是學(xué)生很難記住這些規(guī)律.針對(duì)這類問題，我們通過如下幾類典型例題給出新的解題思路，幫助學(xué)生更好地理解上述換元規(guī)律，并在解題過程中為學(xué)生提供一套行之有效的處理方式.

例1 求∫1x2+a2dx（a>0）.

我們首先觀察一下該不定積分，其求解困難在于對(duì)無理式a2+x2的處理，我們需要想辦法去除根號(hào)，這就要求根號(hào)下的式子可以通過換元法寫成某一函數(shù)的平方式的形式.為此，我們將a理解為1，根據(jù)三角函數(shù)六邊形中倒三角形所蘊(yùn)含的公式進(jìn)行處理.通過觀察，我們使用公式tan2t+1=sec2t進(jìn)行換元：令x=atan t-π2

令x=atan t，則dx=asec2tdt，x2+a2=a2tan2t+a2=asec t，因此

∫1x2+a2dx=∫asec2tasec tdt=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

接下來我們需要進(jìn)行變量回代.一般的做法是根據(jù)邊角關(guān)系和勾股定理建立一個(gè)直角三角形模型，從而確定三角函數(shù)的回代關(guān)系式.此方法可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，但不利于操作.在此，我們給出一種更加簡(jiǎn)便的方法，直接利用三角函數(shù)六邊形中的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換.首先，已知tan t=xa， 為了確定sec t，我們運(yùn)用六邊形中左下角的倒三角形所蘊(yùn)含的公式：tan2t+1=sec2t，得到sec t=tan2t+1=x2+a2a， 因此

∫1x2+a2dx=lnx2+a2a+xa+C′

=ln（x2+a2+x）+C.

例2 求∫a2-x2dx（a>0）.

我們需要處理無理式a2-x2， 這就要求根號(hào)下的式子可以通過換元寫成某一函數(shù)的平方式的形式，從而去除根號(hào).為此，我們將a理解為1，根據(jù)三角函數(shù)六邊形中的關(guān)系式，我們采用上方倒三角形所蘊(yùn)含的公式，即1-sin2x=cos 2x.令x=asin t -π2

于是，

∫a2-x2dx=∫acos t·acos tdt=a2∫1+cos 2t2dt

=a22t+12sin 2t+C.

為了將sin 2t轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)，我們可以根據(jù)六邊形上方的倒三角形所蘊(yùn)含的公式，即cos t=1-sin2t，得

sin 2t=2sin tcos t=2·xa·1-xa2，

因此

∫a2-x2dx=a22arcsin xa+x2a2-x2+C.

例3 求∫1x2-a2dx（a>0）.

該問題中，被積函數(shù)含有根式x2-a2，其解題難點(diǎn)依舊是無理式的處理，所以我們要想辦法去除根號(hào)，此時(shí)就需要進(jìn)行換元.只有根號(hào)下的式子構(gòu)成某一函數(shù)的平方式時(shí)，才能去掉根號(hào).根據(jù)三角函數(shù)六邊形公式的規(guī)律（ⅱ），我們可以運(yùn)用左下倒三角形中蘊(yùn)含的公式：tan2t+1=sec2t，經(jīng)過移項(xiàng)得到tan2t=sec2t-1.因此，我們自然想到令x=asec t0

令x=asec t， 則dx=d（asec t）=atan tsec tdt，x2-a2=a2sec2t-a2=atan t，因此

∫1x2-a2dx=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

注意，上述過程中的求導(dǎo)或求微分的公式亦可從六邊形公式記憶口訣（ⅳ）中快速獲得.接下來我們進(jìn)行變量回代.由x=asec t，得sec t=xa，再根據(jù)tan2t+1=sec2t得

tan t=sec2t-1=xa2-1=x2-a2a，

因此，

∫1x2-a2dx=lnxa+x2-a2a+C′=ln（x+x2-a2）+C.

通過三角函數(shù)六邊形公式和記憶口訣，學(xué)生可以很快地確定正確的三角換元關(guān)系，并在做題過程中輕松應(yīng)對(duì)各種公式變形問題，從而高效地解決不定積分或定積分問題.在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，三角函數(shù)六邊形公式是學(xué)生最喜歡的數(shù)學(xué)公式模型之一.

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞詩秋.三角函數(shù)雙曲函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分公式的六邊形記憶法[J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000（19）：17-19.

[2]劉金林，蔣國(guó)強(qiáng).高等數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.