八種方法求解一道希望杯經(jīng)典題

摘 要：一題多解，就是從不同角度、不同思路入手，運用不同的方法解答同一問題的思維活動.本文從一道希望杯試題入手，在解答中滲透一題多解思想的策略，以期培養(yǎng)學生審慎的解題習慣與開闊的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：希望杯;一題多解;思維;廣闊性

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0076-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：余鐵青（1990-），男，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

一、問題提出

一題多解沒有唯一和固定的模式，教師可以通過縱橫對比發(fā)散、知識串聯(lián)、綜合溝通等手段，由一題引發(fā)多種解答方法，為學生構(gòu)建完善的知識體系.教師可以引導學生從不同角度入手，用不同的解答方法完成解題，并以此來幫助同學們更加深刻地理解數(shù)學的本質(zhì)概念，掌握試題解答的思路與方法，幫助學生體會數(shù)學的多樣美感，激發(fā)數(shù)學學習興趣，拓寬學生思維的廣闊度.

二、實例分析

題目（第九屆希望杯全國數(shù)學邀請賽高一試題）若二次函數(shù)fx=ax2+bx，恒有fx1=fx2x1≠x2，求fx1+x2的值.

策略1 利用已知條件，直接帶入化簡，常規(guī)操作.

解法1 一方面：由已知條件fx1=fx2，代入得到ax21+bx1=ax22+bx2，整理，得x1-x2ax1+x2+b=0.又因為x1≠x2，所以ax1+x2+b=0.

另一方面：fx1+x2=ax1+x22+bx1+x2=x1+x2ax1+x2+b，所以fx1+x2=0.

評注 解數(shù)學題是有一定模式的，各種不同類型的題目有相應(yīng)的基本解題策略，這就是常說的“套路”，實際上就是我們講的“通性通法”.當學生在測試中面對一道試題的時候，如果不能很快思考出最優(yōu)的策略，那么切不可忽略本源，即常見常用的解題思路，在時間不充足的情況下快速找到解決問題的策略是關(guān)鍵.畢竟時間有限，先得分，考完之后再進行反思優(yōu)化是提高的必由之路，只會機械記住套路，甚至背套路是萬萬不提倡的，因為這會完全喪失解題的靈性.

策略2 進行代數(shù)運算時，適當進行變形配方.

解法2 當x1+x2=0時，顯然fx1+x2=0; 當x1+x2≠0時，由fx1=fx2，即得 0=fx1-fx2=x1-x2ax1+x2+b=x1-x2x1+x2[ax1+x22+bx1+x2]=x1-x2x1+x2fx1+x2.

又因為x1≠x2，所以fx1+x2=0.

評注 該解法使用配方法改變了代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，從一個要求的結(jié)論出發(fā)，整理配湊出我們希望出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，再利用整體代換的思想直接得出結(jié)果，而這種思維是在日常學習中要著重鞏固的，不僅在該題有著很好的應(yīng)用，在其它不等式等相關(guān)試題中的應(yīng)用也是十分廣泛的，所以工具越多，解題越從容.

策略3 聯(lián)想函數(shù)對稱軸，利用二次函數(shù)性質(zhì).

解法3 由于二次函數(shù)滿足fx1=fx2，則該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=x1+x22對稱，而x1+x2與0也是關(guān)于直線x=x1+x22對稱的，那么fx1+x2=f0=0.

評注 函數(shù)諸多性質(zhì)中，筆者最為推崇對稱性，這是數(shù)學美學的最淺顯的外在表征，當然在此處不過多去討論奇偶性、單調(diào)性、周期性等.此解法有諸多巧合重疊，從函數(shù)對稱軸出發(fā)，結(jié)合離函數(shù)對稱軸距離相等的自變量所對應(yīng)函數(shù)值相等這一結(jié)論使得對稱之美展現(xiàn)得淋漓盡致！其中，在2017年新課標Ⅲ卷理11中的應(yīng)用亦是美妙至極.

策略4 構(gòu)造方程的根結(jié)合韋達定理.

解法4 由已知條件fx1=fx2，不妨令fx1=

fx2=-c，于是有ax21+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0.這樣就可以把x1，x2視作方程ax2+bx+c=0的兩根了，利用韋達定理知x1+x2=-ba，那么fx1+x2=f-ba=0.

評注 實際上，如果不設(shè)fx1=fx2=-c，直接將x1，x2代入fx的解析式得到方程組，亦可求得所要結(jié)果.這樣寫僅僅是為了和學生平時所認知的一元二次方程形式進行統(tǒng)一，做這樣的假設(shè)形式其實就是最近發(fā)展區(qū)理論，這能夠很好地和學生所固有的認知契合，大家很容易接受，能夠有效提高教學效率.

策略5 利用抽象函數(shù)的廣義對稱性質(zhì).

解法5 由于二次函數(shù)滿足fx1=fx2，那么該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=x1+x22對稱，所以f2·x1+x22-x=

fx，將x=0代入，立得fx1+x2=0.

評注 這種解法在于對抽象函數(shù)形式的理解和掌握，是前面解法的升華.因為該類函數(shù)性質(zhì)實際上可以推廣到任意具備對稱性函數(shù)求值問題，這就比直接考慮二次函數(shù)對稱性的思維更加深刻.

策略6 構(gòu)造直線共線向量.

解法6 由已知條件，得fxx=ax+b，不妨令fx1=fx2=t，fx1+x2=c，于

是得Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2.

所以AC=x2，cx1+x2-tx1，BC=x1，cx1+x2-tx2.

再由三點共線，知AC∥BC，所以x2cx1+x2-tx2=

x1cx1+x2-tx1.

整理，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.

又x1≠x2，所以c=0.進而fx1+x2=0.

評注 該解法筆者是基于微分思想的角度聯(lián)想到的，“點線面”，“一維二維三維”是典型的思維遷移的模范！筆者試圖將二次函數(shù)降次理解構(gòu)造共線向量進行理解，試過之后，發(fā)現(xiàn)著實可以這么理解，在講解中注重靈感思路的來源分析，能很好地啟迪學生.

策略7 由外形結(jié)構(gòu)fx=ax2+bx類比等差數(shù)列性質(zhì).

解法7 在等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，若Sm=Snm≠n，那么Sm+n=0.

結(jié)合fx1=fx2x1≠x2，立馬可得fx1+x2=0.

評注 類似思想可以在此處得到最大的恩寵，一時間復雜的問題在此刻得到了瞬間的釋放，這才是真正的秒解！是運氣？是福氣？都不是，是能力的完美體現(xiàn)！

是日積月累的思考與探究！發(fā)現(xiàn)新的事物往往是由所熟悉的事物進行遷移類比產(chǎn)生猜想，然后依賴于嚴謹?shù)耐评碚撟C進行驗證.猜想是做學問和鍛煉創(chuàng)新思維的出發(fā)點，證明則是推理驗證的落腳點與最終歸宿.

策略8 利用行列式三角形面積公式.

解法8 由解法6，Ax1，tx1，Bx2，tx2，

Cx1+x2，cx1+x2，再由三點共線，知x1tx11x2tx21x1+x2cx1+x21=0，行列式展開，得cx2x1+x2=cx1x1+x2.下同解法6.

評注 基于教學實際，筆者認為學生有必要掌握該方法.首先，從高考命題角度與考試大綱要求來看，初等數(shù)學之中融入高等數(shù)學思想是命題的重點方向，類似的還有洛必達法則、端點效應(yīng)、泰勒展開等，這就是其中很好的一例！其次，從考試直接應(yīng)用來看，行列式求解三角形面積還廣泛存在于平面解析幾何之中，通過計算達到思路明晰，解題高效之效果.

縱觀以上八種不同解法，可以說一種更比一種妙！實際上一題多解更能很好地幫助學生構(gòu)建更加完善的知識體系，通過比較分析，會進一步認清哪些只是較為一般的解法，哪些是比較有創(chuàng)新的思路，哪種解法更簡單等，這樣能夠使得學生的思維更開闊、更清晰，從而靈活地把握知識間的橫向關(guān)系與縱向聯(lián)系，提高解決問題的能力，培養(yǎng)學生審慎的解題習慣，發(fā)揮學生的創(chuàng)造性.

參考文獻：

[1]全剛.“一題多解”讓知識更系統(tǒng)[J].理科考試研究，2014，21（21）：91.

[2]廣東省教育考試院.廣東高考年報（2019）[M].廣州：廣東高等教育出版社，2020.

[3]余鐵青.解題要有道 方法更重要——例談利用函數(shù)對稱性解高考題[J].中學數(shù)學，2020（13）：51-52.

[責任編輯：李 璟]