由一道2021年高考?？?jí)狠S題引發(fā)的研究

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要的基本量，求離心率的值或取值范圍是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)和高頻點(diǎn). 該知識(shí)點(diǎn)的考查緊緊依托教材，源于課本，高于課本.往往由若干基本知識(shí)，經(jīng)過(guò)類比、引申、改編而成.

關(guān)鍵詞：雙曲線;漸近線;離心率

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0022-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：

李昌成（1977.9-），男，四川省資陽(yáng)人，本科，中學(xué)正高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、題目呈現(xiàn)

題目 （2021年新高考一模試卷第12題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且AF2=13F2B，則該雙曲線的離心率為（）.

A.62B. 3C. 362D.33

二、總體分析

本題是新高考一模試卷中多選題的壓軸題，著重考查雙曲線的幾何性質(zhì)和離心率. 該試題新穎而又有創(chuàng)造性，解法更是多樣化. 教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生理解由離心率的變化帶來(lái)的雙曲線的變化，在解題過(guò)程中選擇正確的方法，這樣才能夠快速準(zhǔn)確地求出雙曲線的離心率.

王尚志教授曾提出開(kāi)展主題教學(xué)的主張——教師應(yīng)以“章”或數(shù)學(xué)中的重要主題或選擇通性通法作為學(xué)習(xí)主題，防止學(xué)習(xí)內(nèi)容的“碎片化”，使學(xué)習(xí)過(guò)程具有全局觀念下的連貫性，在主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

筆者試著遵循以上的求解思路和學(xué)習(xí)主張，由具體推及一般，找到解決此類問(wèn)題的通性通法，以期達(dá)到拋磚引玉之功效.

三、試題解答

題設(shè)中給出的是兩線段的長(zhǎng)度關(guān)系，并不明確點(diǎn)F2是內(nèi)比分點(diǎn)還是外比分點(diǎn)，因此需要分AF2=13F2B和AF2=-13F2B兩種情況求解.

情況1即AF2=13F2B.

解法1 利用平面解析幾何知識(shí)結(jié)合雙曲線的性質(zhì)推理求解.

設(shè)OA所在的直線方程為y=bax，即bx-ay=0，則AF2=bcb2+a2=bcc=b.又OF2=c，所以O(shè)A=OF22-AF22=c2-b2=a.

由題及圖1，易得F2為AB的內(nèi)比分點(diǎn)，所以F2B=3AF2=3b.

設(shè)∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan2α=4ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，

所以2·ba1-（ba）2=4ba，化簡(jiǎn)整理，得b2a2=12，結(jié)合b2=c2-a2，以及e=ca，解得e=62.

解法2利用向量條件中所含的幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系，借助直線的方程推理運(yùn)算求解.

由已知條件得，直線OA方程為y=bax，①

直線OB方程為y=-bax，②

直線AB方程為y=-ab（x-c），③

聯(lián)立①③得xA=a2c，聯(lián)立②③得xB=a2ca2-b2.

由AF2=13F2B，有c-xA=13（xB-c），

所以3（c-a2c）=a2ca2-b2-c.（*）

整理，得2c4-5a2c2+3a4=0，所以2e4-5e2+3=0，即（2e2-3）（e2-1）=0.

又e>1，所以e=62.

情況2即 AF2=-13F2B.

結(jié)合解法1，AF2=b，OF2=c，所以O(shè)A=OF22-AF22=a.

由題及圖2，易得F2為AB的外比分點(diǎn)，所以F2B=3AF2=3b，AB=F2B-AF2=2b.

設(shè)∠AOF2=α，則∠AOB=π-2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan（π-2α）=2ba，tan2α=-2ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=-2ba，化簡(jiǎn)整理，得b2a2=2，解得e=3.

綜合以上兩種情況，本題正確選項(xiàng)為AB.

評(píng)析 解法1本質(zhì)上是幾何法，以垂直為切入點(diǎn)，又因?yàn)閮蓷l漸近線關(guān)于x軸對(duì)稱，所以存在二倍角關(guān)系，將這些要素結(jié)合起來(lái)，建立雙曲線中基本量之間的關(guān)系式，從而順利求解;而解法2則是聯(lián)立直線方程，求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量間的關(guān)系求解，思路自然，解題過(guò)程并不復(fù)雜. 在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師要有意識(shí)地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，同時(shí)鼓勵(lì)大家嘗試不同的解題思路和方法，逐步提高學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力.

四、一般推廣

結(jié)論 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且AF2=λF2B，則該雙曲線的離心率為e=2λ+1 .

解析 此處不明確點(diǎn)F2是內(nèi)比分點(diǎn)還是外比分點(diǎn)，因此需要分兩種情況討論.

以下重點(diǎn)結(jié)合解法1求解，得出一般結(jié)論.

（1）若λ>0，即點(diǎn)F2為AB的內(nèi)比分點(diǎn)（如圖1），可求得AF2=b，F(xiàn)2B=1λb，OA=c2-a2=b.

設(shè)∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

由已知條件易得tanα=ba，tan2α=b+1λba=（λ+1）bλa.

又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=（λ+1）bλa.

結(jié)合b2=c2-a2，化簡(jiǎn)，整理得λ=2a2-c2c2=2e2-1，所以e2=2λ+1，即e=2λ+1.

（2）若λ<0，顯然λ>-1，即點(diǎn)F2為AB的外比分點(diǎn)（如圖2），易求得AF2=b，F(xiàn)2B=-1λb，OA=c2-a2=b.

設(shè)∠AOF2=α，則∠AOB=π-2α.

由已知條件及圖可得AB=F2B-AF2=-1λb-b=-λ+1λb，因此tanα=ba，tan（π-2α）=-λ+1λba=-（λ+1）bλa.

又tan（π-2α）=-tan2α，所以tan2α=（λ+1）bλa.以下同（1），求得e=2λ+1 .

評(píng)析 本題是此類問(wèn)題的一般推廣，因?yàn)閰?shù)的正負(fù)不明確，所以在研究時(shí)需要討論.根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系畫出對(duì)應(yīng)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，找到基本量之間的關(guān)系式，通過(guò)整理、變形、化簡(jiǎn)，最終得到離心率. 通過(guò)求解的最終結(jié)果，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F2無(wú)論是線段AB的內(nèi)比分點(diǎn)還是外比分點(diǎn)，（注：垂足A為起點(diǎn)，F(xiàn)2為分點(diǎn)，B為終點(diǎn)）都可以得出統(tǒng)一的結(jié)論，即e=2λ+1. 而這種類型的題，基本上是以選擇題的壓軸題出現(xiàn). 只要大家理清了問(wèn)題的本質(zhì)，可以直接帶值求解，這樣既節(jié)省解題時(shí)間，又提高了解題效率.（有興趣的讀者可以針對(duì)文首的壓軸題分別代入λ=13和λ=-13進(jìn)行求解驗(yàn)證）

五、解題反思

本文是專門探討一類求解雙曲線的離心率的經(jīng)典題型，即經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的直線與其中一條漸近線垂直，與另一條漸近線相交，在明確長(zhǎng)度關(guān)系的條件下，求離心率的問(wèn)題.求解方案通常有兩類：一類是綜合幾何法，以直觀想象為基礎(chǔ)，以曲線的定義及幾何性質(zhì)為抓手推理運(yùn)算求解;另一類是解析幾何法，以數(shù)學(xué)運(yùn)算為基礎(chǔ)，依托曲線的方程為切入點(diǎn)，通過(guò)運(yùn)算推理求解. 直觀想象素養(yǎng)為第一方案的思路產(chǎn)生提供了保障，而數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)為第二類方案的思路產(chǎn)生提供了支撐.同時(shí)邏輯推理素養(yǎng)是兩種方案中不可缺少的共同基礎(chǔ).

通過(guò)研究近幾年的考題，發(fā)現(xiàn)題目中基本沒(méi)有給出圖形，因此這就需要解題者結(jié)合題意，快速準(zhǔn)確地畫出圖形，并從中找出幾何關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系求解. 有時(shí)也可以借助幾何直觀助力思考，從而不斷提高解題者的直觀想象能力和邏輯推理能力. 同時(shí)還可以借助向量、三角函數(shù)等知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和思維能力.基于新課程改革的要求，如何在解題教學(xué)中落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，是每一位教育工作者需要深入思考的問(wèn)題. 在教學(xué)中注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，在對(duì)圓錐曲線等解析幾何問(wèn)題的解答過(guò)程中，需要將幾何問(wèn)題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，切實(shí)將數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)落到實(shí)處.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳言.基于數(shù)學(xué)教學(xué)主題 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以“再探圓錐曲線的離心率”教學(xué)為例[J].福建基礎(chǔ)教育研究，2019（07）：57-58.

[2]王尚志.如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中國(guó)教師，2016（09）：33-38.

[責(zé)任編輯：李 璟]