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    基本不等式在解題中的應(yīng)用

    2021-05-30 10:44:00廖永福
    數(shù)理化解題研究·高中版 2021年12期
    關(guān)鍵詞:基本不等式高考條件

    摘 要:本文以應(yīng)用的視角,探討基本不等式在求最值、證明不等式、解決恒成立問題、實際問題以及與其他知識點交匯的問題中的應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:基本不等式;條件;高考;應(yīng)用

    中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)34-0064-03

    收稿日期:2021-09-05

    作者簡介:廖永福(1962-),男,福建省仙游人,本科,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

    基本不等式結(jié)構(gòu)簡單,形式優(yōu)美,它是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考數(shù)學(xué)的重要考點.應(yīng)用時要依次滿足條件:一正、二定、三相等,三者缺一不可.基本不等式是解決最值問題的有力工具,在解題中有著廣泛的應(yīng)用.

    一、求最值

    應(yīng)用基本不等式求最值,關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個正數(shù)之和(積)為定值,常用的方法有拆分法、配湊法、消元法和常數(shù)代換法等.基本不等式常用的變式有:(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R);

    (3)(a+b2)2≥ab(a,b∈R);(4)2(a+b)≥(a+b)2(a,b∈R+)等,靈活應(yīng)用這些變式,有事半功倍之效.

    例1 (2020·江蘇)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是.

    分析 思路一:由條件等式消去x2,可得x2+y2=15y2+45y2,符合兩個正數(shù)15y2、45y2之積為定值,應(yīng)用基本不等式可解.

    思路二:由條件等式可得4=(5x2+y2)·4y2,它表明兩個正數(shù)5x2+y2、4y2之積為定值,根據(jù)基本不等式的變式ab≤(a+b2)2(a,b∈R),可知5x2+y2與4y2之和有最小值.解法一(消元法) 由5x2y2+y4=1,得x2=1-y45y2.∵x2≥0,∴y2∈(0,1].

    ∴x2+y2=1-y45y2+y2=15y2+45y2≥215y2·4y25=45.

    當(dāng)且僅當(dāng)15y2=45y2,即y2=12時,上式取“=”.

    這時x2=1-y45y2=310,x2+y2的最小值為45.

    解法二 (配湊法)∵4=(5x2+y2)·4y2≤(5x2+y2+4y22)2=254(x2+y2)2,∴x2+y2≥45.

    當(dāng)且僅當(dāng)5x2+y2=4y2=2,即y2=12,x2=310時,上式取“=”.

    ∴x2+y2的最小值為45.故答案為45.

    點評 本題考查應(yīng)用基本不等式求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力.解法一思路樸實,過程直接.解題關(guān)鍵是消元.把目標(biāo)代數(shù)式表示成關(guān)于y的函數(shù),直接應(yīng)用基本不等式求解;解法二構(gòu)思巧妙,方法靈活,解題關(guān)鍵是由條件等式構(gòu)造出兩個正數(shù)5x2+y2與4y2之積為定值,進(jìn)而可用基本不等式的變式求解,屬于中檔題.

    二、證明不等式

    應(yīng)用基本不等式證明不等式,常常與分析法、綜合法、作差(商)法等結(jié)合使用,解題關(guān)鍵依然是構(gòu)造兩個正數(shù)之和(積)為定值,使之符合基本不等式的三個條件.

    例2 (2020·全國卷Ⅲ(理))設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

    (1)證明:ab+bc+ca<0;

    (2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,證明:max{a,b,c}≥34.

    分析 (1)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0結(jié)合不等式的性質(zhì),即可得出證明;(2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,由題意得出a>0,b,c<0,由a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc,結(jié)合基本不等式,即可得出證明.

    解答 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,

    ∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2.

    ∵abc=1,∴a,b,c均不為0,則a2+b2+c2>0,

    ∴ab+bc+ca=-12a2+b2+c2<0.

    (2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,由a+b+c=0,abc=1可知,a>0,b<0,c<0.

    ∵a=-b-c,a=1bc,∴a3=a2·a=b+c2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.

    當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,上式取“=”,∴a≥34,即max{a,b,c}≥34.

    點評 本題主要考查不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

    三、恒成立問題

    對于含參數(shù)的不等式恒成立問題,常常將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.常用的結(jié)論有:(1)任意x∈D,f(x)>m恒成立f(x)min>m;(2)對任意x∈D,f(x)

    例3 (2017·天津(理))已知函數(shù)f(x)=x2-x+3,x≤1,x+2x,x>1.設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥|x2+a|在R上恒成立,則a的取值范圍是().

    A.[-4716,2]B.[-4716,3916]C.[-23,2]D.[-23,3916]

    分析 關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等價于-f(x)-x2≤a≤f(x)-x2在R上恒成立,于是問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

    解答 關(guān)于x的不等式f(x)≥x2+a在R上恒成立等價于-f(x)≤a+x2≤f(x),即-f(x)-x2≤a≤f(x)-x2在R上恒成立.

    設(shè)g(x)=-f(x)-x2,h(x)=f(x)-x2,則g(x)max≤a≤h(x)min.

    當(dāng)x≤1時,g(x)=-x2+x2-3=-(x-14)2-4716,當(dāng)x=14時,g(x)max=-4716;

    h(x)=x2-32x+3=(x-34)2+3916,當(dāng)x=34時,h(x)min=3916.所以-4716≤a≤3916.

    當(dāng)x>1時,g(x)=-32x-2x=-(32x+2x)≤-23,當(dāng)且僅當(dāng)32x=2x,即x=233時,“=”成立,故

    g(x)max=-23;

    h(x)=x2+2x≥2x2×2x=2,當(dāng)且僅當(dāng)x2=2x,即x=2時,“=”成立,故h(x)min=2.

    所以-23≤a≤2.

    綜上,-4716≤a≤2.故選A.

    點評 本題考查絕對值不等式,考查不等式恒成立問題的解法,考查二次函數(shù)最值的求法,考查利用基本不等式求函數(shù)的最值.解題關(guān)鍵是如何把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,屬中檔題.

    四、實際問題

    應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,一般把要求最值的變量定義為因變量,根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,利用基本不等式求出函數(shù)的最值,注意檢驗解是否在定義域內(nèi).

    例4 (2017·江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是.

    分析 寫出一年的總運費與總存儲費用之和y=600x×6+4x(0

    解答 依題意,一年的總運費與總存儲費用之和y=600x×6+4x(0

    ∵y=600x×6+4x≥2600x×6×4x=240(萬元),

    ∴當(dāng)且僅當(dāng)600x×6=4x,即x=30時,上式取“=”.故答案為30.

    點評 本題考查基本不等式的實際應(yīng)用,考查推理與運算能力,屬中檔題.

    五、與其它知識點交匯的問題

    與其它知識點交匯的問題是高考的熱點,解決這類問題一般從這些知識點出發(fā),建立變量之間的等量關(guān)系,再選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

    例5 (2018·江蘇)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

    分析 根據(jù)面積關(guān)系建立a,c的方程,再用基本不等式求解.

    解答 由題意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°.

    化簡,得ac=a+c,1a+1c=1.

    因此4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9.

    當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac,即c=2a=3時,上式取“=”.所以4a+c的最小值為9.

    點評 本題考查三角形的面積公式,考查基本不等式的應(yīng)用,利用常數(shù)代換法是解決本題的關(guān)鍵,屬中檔題.

    例6 (2020·全國卷Ⅱ(理))設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點,若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為().

    A.4B.8C.16D.32

    分析 根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點D,E的坐標(biāo),根據(jù)△ODE的面積為8,可得ab的值,再結(jié)合基本不等式,即可求得答案.

    解答 由題意可得雙曲線的漸近線方程是y=±bax,分別將x=a代入上式得y=±b,即D(a,b),E(a,-b).∴△ODE的面積為S△ODE=12a·2b=ab=8.

    ∴C的焦距2c=2a2+b2≥22ab=8.

    當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時,上式取“=”.∴C的焦距的最小值為8.故選B.

    點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和漸近線方程,考查基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是應(yīng)用a2+b2≥2ab建立雙曲線的焦距與△ODE的面積之間的關(guān)系,屬于中檔題.

    從上述例子可以看出,應(yīng)用基本不等式解題要注意以下兩點:一是注意基本不等式成立的條件;二是合理構(gòu)造基本不等式中的和或積.

    練習(xí)

    1.(2020·海南)已知a>0,b>0,且a+b=1,則().

    A.a2+b2≥12 B.2a-b>12

    C.log2a+log2b≥-2D.a+b≤2

    2.(2020·天津)已知a>0,b>0,且ab=1,則12a+12b+8a+b的最小值為.

    3.(2013·上海)設(shè)常數(shù)a>0,若9x+a2x≥a+1對一切正實數(shù)x成立,則a的取值范圍為.

    4.(2014·湖北)某項研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù),單位:輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=76000vv2+18v+20l.

    (1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為輛/小時;

    (2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加輛/小時.

    5.(2020·全國卷Ⅱ(理))△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

    (1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

    答案:1.ABD 2.4 3.[15,+SymboleB@) 4.1900,100

    5.(1)2π3;(2)3+23.

    參考文獻(xiàn):

    [1]鄧清.基本不等式解高中數(shù)學(xué)問題探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2019(19):139.

    [2]葉珊.基本不等式的應(yīng)用問題例談[J].數(shù)理化解題研究,2019(34):31-32.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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