向量在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

摘 要：向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，分為平面向量和空間向量?jī)纱箢?lèi)，常作為解答相關(guān)習(xí)題的工具.教學(xué)中為提高學(xué)生的解題能力應(yīng)注重為學(xué)生講解向量在不同題型中的應(yīng)用，使其掌握相關(guān)的應(yīng)用思路與技巧.

關(guān)鍵詞：向量;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0046-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：潘敏（1983.11-），男，廣西百色人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

向量在解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題中有著廣泛的應(yīng)用.因高中數(shù)學(xué)題型靈活多變，應(yīng)用向量解題的思路千差萬(wàn)別.為提高學(xué)生應(yīng)用向量解答數(shù)學(xué)習(xí)題的能力，應(yīng)做好向量基礎(chǔ)知識(shí)的講解，本文將結(jié)合具體的習(xí)題，展示向量的有效應(yīng)用.

一、用于解答向量習(xí)題運(yùn)用向量知識(shí)解答相關(guān)的向量習(xí)題時(shí)應(yīng)根據(jù)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)的情境合理的設(shè)出相關(guān)參數(shù)，結(jié)合向量的幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算法則構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系.同時(shí)還應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)與方程知識(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到順利解題的目的.如下題：

已知平面向量a、b、c，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，則c·b的最大值為（）.

A.2B.94 C.174D.5

∵a、b、c為平面向量，且|a|=|b|=2，不妨設(shè)b=（2，0），a=（2cosα，2sinα）（α∈[0，2π]），c=（x，y），則c·b=2x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x的最大值.

∵2c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

又∵（2c-a）·（c-b）=0

∴（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0，

整理得到：y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0

要想該方程有解，則

Δ=（sinα）2-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0，

令t=cosα，t∈[-1，1]，則4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0，

解得t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.令5-4t=m，m∈[1，3]，則t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178，

∴x的最大值為178，則c·b的最大值為2×178=174，選擇C項(xiàng).

二、用于解答三角形習(xí)題

運(yùn)用向量解答三角形相關(guān)的習(xí)題時(shí)不僅要注重向量幾何運(yùn)算法則的正確應(yīng)用，而且應(yīng)注意幾何知識(shí)，包括角度與角度的代換，線(xiàn)段與線(xiàn)段的代換，正弦與余弦定理等的靈活應(yīng)用，以順利破題.如下題：

已知O是△ABC的外心，且A=π3，cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，則m的值為（）.

A.12B.32C.52D.72

∵cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，兩邊同乘以AO，得到：

cosBsinCAB·AO+cosCsinBAC·AO=2mAO2

又∵O為△ABC的外心，

∴AO=BO=CO，設(shè)θ1、θ2為AB和AO，AC和AO的夾角，

∴AB·AO=|AB||AO|cosθ1=|AB|22，AC·AO=|AC||AO|cosθ2=|AC|22.

又∵2AO=BCsinπ3，

∴cosBsinCAB2+cosCsinBAC2=4mBC23，

由正弦定理得到：

sin2C×cosBsinC+sin2B×cosCsinB=4msin2A3，

又∵sinA=32，

∴sinCcosB+sinBcosC=m，

∴sin（B+C）=sinA=m，∴m=32，選擇B項(xiàng).

三、用于解答立體幾何習(xí)題

空間向量是解答立體幾何習(xí)題的重要工具.利用空間向量解題時(shí)為提高運(yùn)算效率，應(yīng)注重選擇合適的角度建立空間直角坐標(biāo)系，而后根據(jù)題干給出的已知條件，通過(guò)計(jì)算準(zhǔn)確的找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.如下題：

已知三棱錐A-BCD中，底面BCD為等邊三角形，且AB=AC=AD=3，BC=23，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N為空間中的兩動(dòng)點(diǎn)，且MBMF=NBNF=2，MN=2，則AM·AN的值為（）.

A.3B.4C.6D.8

根據(jù)題意，設(shè)底面△BCD的中心為O，以過(guò)O點(diǎn)平行于BC的直線(xiàn)為x軸，以O(shè)D所在直線(xiàn)為y軸，以O(shè)A所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題中的已知條件可知B（-3，-1，0），D（0，2，0），C（3，-1，0），∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴E（32，12，0），F(xiàn)（-34，-14，0），設(shè)M（x，y，z），∵M(jìn)BMF=NBNF=2，則MB=2MF，∴（-3-x，-1-y，-z）=2（-34-x，-14-y，-z），∴x=32，y=12，z=0，∴x2+y2+z2=1，表明點(diǎn)M在以O(shè)為球心，以1為半徑的球面上.同理N也在這個(gè)球上.

∵M(jìn)N=2，∴MN為球的直徑.

∴AM·AN=（AO+OM）·（AO+ON）=（AO+OM）·（AO-OM）=AO2-OM2=5-1=4，選擇B項(xiàng).

四、用于解答圓錐曲線(xiàn)習(xí)題

運(yùn)用向量解答圓錐曲線(xiàn)相關(guān)習(xí)題時(shí)既要根據(jù)給出的向量關(guān)系準(zhǔn)確的判斷角度、線(xiàn)段之間的隱含關(guān)系，又要注重運(yùn)用傳統(tǒng)的解題思路，注重根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，順利的突破要求解的問(wèn)題.如下題：

已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F斜率為-1的直線(xiàn)和拋物線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)相切，且l∥MN，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，則PM·PN的最小值為（）.

A.-12 B.-14 C.-16 D.-18

根據(jù)題意可知拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為（0，1），過(guò)點(diǎn)M、N的直線(xiàn)方程為：y=-x+1.將其和拋物線(xiàn)C：y2=4x聯(lián)立，整理得到x2-6x+1=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=6，x1x2=1.設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=-x+b，將直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得到：x2-（2b+4）x+b2=0，∵l和拋物線(xiàn)相切，∴Δ=（2b+4）2-4b2=0，解得b=-1，直線(xiàn)l的方程為y=-x-1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m-1），PM=（x1-m，y1+m+1），PN=（x2-m，y2+m+1），則PM·PN=x1x2-m（x1+x2）+m2+y1y2+（m+1）（y1+y2）+（m+1）2，∵（y1y2）2=16x1x2=16，則y1y2=-4，y12-y22=4（x1-x2），∴y1+y2=4（x1-x2）y1-y2=-4，∴PM·PN=1-6m+m2-4-4（m+1）+（m+1）2=2[（m-2）2-7]≥-14，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）時(shí)，PM·PN取得最小值-14，選擇B項(xiàng).

向量在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位.相關(guān)情境既可以圍繞向量知識(shí)單獨(dú)出題，也可以與其他知識(shí)融合起來(lái)設(shè)問(wèn).但是無(wú)論何種情境的習(xí)題，要求學(xué)生解題時(shí)具備靈活的思維，提高向量幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用意識(shí).同時(shí)，做好向量在解題中的應(yīng)用總結(jié)，不斷的積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)與技巧，提高應(yīng)用水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]王慕華.高中數(shù)學(xué)解題中向量法的應(yīng)用研究[J].數(shù)理化解題研究，2021（16）：22-23.

[2]王春萍.高中數(shù)學(xué)平面向量解題技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（05）：45-46.

[3]周振歡.向量在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用探究[J].中學(xué)生數(shù)理化（自主招生），2020（06）：17.

[4]姚洪兵.高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法運(yùn)用探究[J].名師在線(xiàn)，2020（11）：9-10.

[5]徐波.探討向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].試題與研究，2020（06）：24.

[責(zé)任編輯：李 璟]