圓錐曲線綜合題的解題分析與優(yōu)化運(yùn)算

摘 要：圓錐曲線綜合題方法靈活多變，運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，許多學(xué)生解題思路受阻，處理關(guān)鍵點(diǎn)的能力有所欠缺，因此，掌握解題思路的構(gòu)建過(guò)程，積累相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，使用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，就會(huì)有效地突破這一難點(diǎn).

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;邏輯推理;優(yōu)化運(yùn)算

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0019-04

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：胡貴平（1978-），男，甘肅省天水人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

圓錐曲線綜合題涉及知識(shí)點(diǎn)多，對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高，許多學(xué)生對(duì)含參代數(shù)式的運(yùn)算缺乏預(yù)判，盲目機(jī)械地運(yùn)算，算理存在理解上的偏差.如何從題目中的一些已知條件突破，將結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，尋找到最簡(jiǎn)便的解題思路和技巧呢？

一、強(qiáng)化邏輯推理

充分理解圓錐曲線圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從揭示幾何規(guī)律入手，以幾何推理為基礎(chǔ)，借助幾何直觀，建立條件與結(jié)論之間可操作的算法，形成解題的思維路線圖，通過(guò)數(shù)值的合理運(yùn)算探尋到量的關(guān)系，從而突破求解.

1.從結(jié)論著手，執(zhí)果索因

探索結(jié)論成立所滿足的條件，即結(jié)論成立意味著什么，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，還可以得出什么，結(jié)論與條件之間又有怎樣的聯(lián)系，轉(zhuǎn)變?yōu)閷で笞兞恐g的關(guān)系，通過(guò)邏輯推理找到問(wèn)題的切入點(diǎn)，把結(jié)論和已知條件逐步接近.

例1 已知橢圓C：x216+y212=1的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為e，點(diǎn)P（m，0）（m>4）滿足條件FAAP=e.

（1）求m的值;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，記△PMF和△PNF的面積分別為S1，S2，求證：S1S2=PMPN.

分析 （1）m=8;

（2）如圖1，著眼于問(wèn)題，要證S1S2=PMPN，這是一個(gè)幾何特征，怎么轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系？注意到S1S2=12PFPMsin∠MPF12PFPNsin∠NPF，所以只需證sin∠MPF=sin∠NPF，即只需證∠MPF=∠NPF，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證kMP=-kNP.這樣新的目標(biāo)就是證明kMP+kNP=0.由于直線l的方程是y=k（x-2），變成了證明k（xM-2）xM-8+k（xN-2）xN-8=0，將式子化簡(jiǎn)得kxMxN-10k（xM+xN）+32k（xM-8）（xN-8）=0，直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得xM+xN，xMxN.因?yàn)橹本€l斜率是否存在不確定，所以還應(yīng)該考慮斜率不存在的情況.

2.從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?/p>

準(zhǔn)確把握條件中的信息，即條件意味著什么，這些條件通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，還可以得出什么，幾個(gè)條件之間又有怎樣的聯(lián)系，多角度地用代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)幾何關(guān)系，通過(guò)邏輯推理有效提煉整合解題信息.

例2 （2018全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ卷文）已知斜率為k的直線l與橢圓C：x24+y23=1交于A，B兩點(diǎn).線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m>0）.

（1）證明：k<-12;

（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且

FP+FA+FB=0.

證明：2|FP|=|FA|+|FB|.

分析 （1）從條件出發(fā)，斜率為k的直線l與橢圓C：x24+y23=1交于A，B兩點(diǎn).通過(guò)聯(lián)立方程，根據(jù)Δ>0以及韋達(dá)定理得出xA+xB=2，yA+yB=2m，化歸成斜率k的不等式，從而求得斜率k的范圍.挖掘兩個(gè)條件之間的關(guān)系，涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，很容易想到點(diǎn)差法，根據(jù)M（1，m）在橢圓內(nèi)，可求得斜率k范圍.除這兩種通法外，還可以應(yīng)用直線的參數(shù)方程.（2）FP+FA+FB=0可轉(zhuǎn)換為FP+2FM=0，由

M（1，m），F(xiàn)（1，0），可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2m）.從另一個(gè)角度看

FP+FA+FB=0，顯然點(diǎn)F為△ABP的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2m）.由點(diǎn)P在橢圓上，得出m=34，進(jìn)而求得斜率k，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)距離公式求得.

圓錐曲線綜合題解題思路的構(gòu)建，一定要引導(dǎo)學(xué)生分析不同表征形式的特點(diǎn)和它們之間的聯(lián)系，將條件或結(jié)論中的幾何特征（線段長(zhǎng)度、面積、角、斜率）轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，而轉(zhuǎn)化需要全方位、多角度地理解相關(guān)知識(shí)，更需要強(qiáng)化邏輯推理，提高一類(lèi)問(wèn)題的可辨別性和穩(wěn)定性.

幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，具體來(lái)說(shuō)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，直線AB與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，等價(jià)于OA⊥OB，坐標(biāo)表示為x1x2+y1y2=0;遇到A，B，M三點(diǎn)共線，等價(jià)于kMA=kMB;共線線段比例問(wèn)題，通過(guò)向量坐標(biāo)表示出共線成比例的關(guān)系，找到參量的關(guān)系式;共線線段乘積問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式或直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義;遇到三角形面積的計(jì)算，高用點(diǎn)到直線的距離公式表示，底用弦長(zhǎng)公式表示，盡量將底選在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的直線上;四邊形面積的計(jì)算，可分割成兩個(gè)三角形，特殊的四邊形，如對(duì)角線互相垂直或菱形，可以轉(zhuǎn)化成對(duì)角線乘積的一半，再用弦長(zhǎng)公式. 積累常見(jiàn)幾何特征代數(shù)化方法，無(wú)疑可化解入手難的障礙.

二、優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

學(xué)生對(duì)運(yùn)算能力的重要性認(rèn)識(shí)不夠，遇到計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，心理脆弱，不敢算、也不愿意去算，選取的方法不得當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，數(shù)學(xué)運(yùn)算一定要明確算什么，怎么算，掌握一些計(jì)算技巧，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力.

1.數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，但是解析幾何歸根結(jié)底解決的是幾何問(wèn)題，借助形的幾何直觀來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，不但可以拓寬解題思路，而且還能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

例3 直線l：y=k（x-2）與雙曲線x2-y2=1（x>0）的右支交于A，B兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的范圍是.

解法1 由y=k（x-2），x2-y2=1，得（1-k2）x2+22k2x-2k2-1=0.因?yàn)橹本€l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，所以Δ=（22k2）2+4（1-k2）（2k2+1）>0，x1+x2=-22k21-k2>0，x1x2=-2k2-11-k2>0，

即k2+1>0，k2-1>0，k2-1>0，解得k>1或k<-1.所以直線l的傾斜角的范圍是（π4，π2）∪（π2，3π4）.圖2

解法2 直線l：y=k（x-2）恒過(guò)定點(diǎn)（2，0），但不垂直于x軸，雙曲線x2-y2=1（x>0）漸近線為y=±x，如圖2，數(shù)形結(jié)合可得k>1或k<-1.所以直線l的傾斜角的范圍是（π4，π2）∪（π2，3π4）.

2.應(yīng)用定義，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

圓錐曲線的定義不僅是推導(dǎo)圓錐曲線方程及性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且也是解題的重要工具，可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解題效率.

例4 （2015年浙江文）橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0）關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是.

解法1 設(shè)Q（x0，y0），則y0x0-c·bc=-1，y02=bc·x0-c2，解得x0=c（c2-b2）a2，y0=2bc2a2.點(diǎn)Q在橢圓上，所以c（c2-b2）a22a2+2bc2a22b2=1，即a4=c2（c2-b2）2a2+4c4.

整理得（a2-2c2）（a4+a2c2+2c4）=0，所以a2=2c2，e=22.

解法2 記右焦點(diǎn)為F′，因?yàn)辄c(diǎn)Q是點(diǎn)F關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以直線y=bcx垂直平分線段MF.又因?yàn)辄c(diǎn)O是FF′的中點(diǎn)，所以直線MF平行于直線y=bcx，所以tan∠QF′F=bc，∠F′QF=90°，不妨設(shè)QF=bt，QF′=ct（t>0），所以點(diǎn)M在橢圓上，2a=QF+QF′=（b+c）t，2c=F′F=（bt）2+（ct）2=at，所以ca=ac+b，即a2=c2+bc，b=c，所以e=22.

3.二級(jí)結(jié)論，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

圓錐曲線的二級(jí)結(jié)論很多，靈活運(yùn)用一些簡(jiǎn)單的結(jié)論，如圓錐曲線中的垂徑定理，拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)等，一方面可以提高分析推理能力， 另一方面可以減少運(yùn)算步驟，使解題思路簡(jiǎn)明，更加合理化.

例5 （2014年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷理） 設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則ΔOAB的面積為（）.

A. 334B.938C.6332D.94

解法1因?yàn)閽佄锞€y2=3x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（34，0）， 所以直線AB的方程為y=tan30°（x-34）.

由y=33（x-34），y2=3x，得16x2-168x+9=0，所以x1+x2=212.所以弦長(zhǎng)AB=x1+x2+32=12.

又點(diǎn)O到直線AB：4x-43y-3=0的距離d=

342+（43）2=38， 所以SΔOAB=12×12×38=94，故選D.

解法2 根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)S△OAB=p22sinα，其中α為直線l的傾斜角，S△OAB=（32）22sin30°=94，故選D.

4.平面幾何，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

解析幾何的本質(zhì)特性是“幾何性”，要善于捕捉曲線的幾何特征，靈活應(yīng)用平面幾何的性質(zhì)，如三角形的中位線性質(zhì)、內(nèi)角平分線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)定理等，不僅能簡(jiǎn)化運(yùn)算，還能充分感受到平面幾何的魅力，收到事半功倍的效果.

例6 （2019年江蘇文） 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.過(guò)點(diǎn)F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2： （x-1）2+y2=4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連接DF1.已知DF1=52.求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖3

解法1由題知，橢圓C：x24+y23=1，a=2，因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程x-12+y2=16，解得y=±4.

因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A（1，4）.又F1（-1，0），所以直線AF1的方程為y=2x+2.

由y=2x+2，x-12+y2=16，得5x2+6x-11=0，解得x=1或x=-115.

將x=-115代入y=2x+2，得y=-125，因此B（-115，-125）.又F2（1，0），所以直線BF2的方程為y=

34（x-1）.由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0，解得x=-1或x=137.

又因?yàn)辄c(diǎn)E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以x=-1.

將x=-1代入y=34（x-1），得y=-32.因此E（-1，-32）.

圖4解法2如圖4，連接EF1，由于BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，∠B=∠BF1E，

又BF2=AF2，∠B=∠BAF2，所以∠BF1E=∠BAF2，所以EF1∥AF2，所以EF1⊥x軸，

因?yàn)镕1（-1，0），由x=-1，x24+y23=1，得y=±32.又因?yàn)辄c(diǎn)E是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以y=-32.所以E（-1，-32）.

5.點(diǎn)乘雙根，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

二次函數(shù)的雙根式y(tǒng)=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，通過(guò)雙根式來(lái)解決解析幾何中涉及向量數(shù)量積為定值（MA·MB=λ）的問(wèn)題，可以減少計(jì)算量，提高解題效率.

例7 （2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文）設(shè)A，B為曲線C：y=x24上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

（1）求直線AB的斜率;

（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

解析 （1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1≠x2，y1=x214，y2=x224，x1+x2=4，于是直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.

（2）由y=x24，得y′=x2.設(shè)M（x3，y3），由題設(shè)知x32=1，解得x3=2，于是M（2，1）.設(shè)直線AB的方程為y=x+m，故線段AB的中點(diǎn)為N（2，2+m），MN=m+1.由y=x+m，y=x24，得x2-4x-4m=0.當(dāng)Δ=16（m+1）>0，即m>-1時(shí)，x1，2=2±2m+1.從而|AB|=2|x1-x2|=42（m+1）.

由題設(shè)知|AB|=2|MN|，即42（m+1）=2（m+1），解得m=7.

所以直線AB的方程為y=x+7.

許多學(xué)生解決圓錐曲線綜合問(wèn)題信心不足，其中很重要的原因是對(duì)問(wèn)題無(wú)從著手，對(duì)繁雜的計(jì)算恐懼，幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，是坐標(biāo)法實(shí)施的關(guān)鍵，應(yīng)成為圓錐曲線學(xué)習(xí)必備的解題經(jīng)驗(yàn).課堂教學(xué)中普遍重視解題策略的尋找，輕視計(jì)算的做法要改變，計(jì)算的重要環(huán)節(jié)必須得到充分訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到相應(yīng)提升，實(shí)現(xiàn)圓錐曲線綜合問(wèn)題的有效突破.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉增利.高考五年真題[M].北京：開(kāi)明出版社，2020.

[2]毛良忠.加強(qiáng)思維邏輯分析優(yōu)化解析幾何運(yùn)算[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（34）：21-24.

[責(zé)任編輯：李 璟]