用坐標(biāo)軸平移妙解斜率和(或積)為定值問(wèn)題

摘 要：本文根據(jù)斜率是平移變換下的不變量，舉例示范如何利用坐標(biāo)軸巧妙平移解決斜率和（或積）為定值問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)軸平移;圓錐曲線;定點(diǎn);定值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2021）34-0008-02

收稿日期：2021-09-05

作者簡(jiǎn)介：劉大鵬（1971.10-），男，遼寧省黑山人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

一、用坐標(biāo)軸平移解已知斜率和為定值問(wèn)題

定理1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定點(diǎn)A（x0，y0）∈C，（點(diǎn)A不是雙曲線頂點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)

Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當(dāng)γ=0時(shí)，kPQ=-b2x0a2y0為定值，且等于雙曲線在點(diǎn)A處切線斜率的相反數(shù);②當(dāng)γ≠0時(shí)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且Dx0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

證明 以Ax0，y0為原點(diǎn)，建立新坐標(biāo)系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標(biāo)系下的方程

x′+x02a2-y′+y02b2=1，mx′+ny′=1，所以b2x′2-a2y′2+2x0b2x′-2y0a2y′mx′+ny′=0-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0+b2+2mb2x0=0.

1°當(dāng)k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=0時(shí)，kPQ=-mn=-b2x0a2y0，把雙曲線方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得2xa2-2yy′b2=0.所以y′=b2x0a2y0.

2°當(dāng)k1+k2=2nb2x0-2ma2y0a2+2ny0a2=γ時(shí)，n=a2γ+2ma2y02b2x0-2a2γy0，PQ在新系下的方程mx′+a2y0b2x0-a2γy0y′+a2γ2b2x0-2a2γy0y′-1=0，直線過(guò)定點(diǎn)D-2y0γ，2b2x0a2γ-2y0，點(diǎn)D在原坐標(biāo)系的坐標(biāo)為x0-2y0γ，-y0+2b2x0a2γ.

二、用坐標(biāo)軸平移解已知斜率積為定值問(wèn)題

定理2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，a>0，b>0，定點(diǎn)A（x0，y0）∈C，動(dòng)點(diǎn)Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若

kAP·kAQ=γ，①當(dāng)γ=-b2a2時(shí)，kPQ=-y0x0為定值;②當(dāng)γ≠-b2a2時(shí)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且Da2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

證明 由定理1的證明，得-a2+2ny0a22+2nb2x0-2ma2y0y′x′+b2+2mb2x0=0.

①當(dāng)k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=-b2a2時(shí)，kPQ=-mn=-y0x0;

②當(dāng)k1k2=-b21+2mx0a21+2ny0=γ≠-b2a2時(shí)，n=-b2+a2γ+2mb2x02y0γa2，直線PQ在新系下的方程：

mx′-b2x0y0γa2y′=a2γ+b22y0γa2y′+1，過(guò)定點(diǎn)D-2b2x0a2γ+b2，-2y0γa2a2γ+b2，點(diǎn)D在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為a2γ-b2a2γ+b2x0，-a2γ+b2a2γ+b2y0.

三、用坐標(biāo)軸平移解結(jié)論為斜率和是定值問(wèn)題

定理3 已知定點(diǎn)Pa，0，Qa，-mm≠0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N兩點(diǎn)，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值2b2am.

證明 以Pa，0為原點(diǎn)，建立新坐標(biāo)系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標(biāo)系下的方程x′+a2a2+y′2b2=1，y′=kx′-m，所以b2x′2+a2y′2+2ab2x′kx′-y′m=0.

所以a2y′x′2-2ab2my′x′+b2+2akb2m=0.所以k1+k2=2b2ma為定值.

四、用坐標(biāo)軸平移解結(jié)論為斜率的倒數(shù)和為定值問(wèn)題

定理4 已知定點(diǎn)P0，b，Q-m，bm≠0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）交于M，N兩點(diǎn)，則直線PM，PN的斜率的倒數(shù)之和為定值2a2bm.

證明 以P0，b為原點(diǎn)，建立新坐標(biāo)系X′O′Y′，聯(lián)立新坐標(biāo)系下的方程x′2a2+y′+b2b2=1，x′=ty′-m，所以b2x′2+a2y′2+2a2by′ty′-x′m=0.所以b2x′y′2-2a2bmx′y′+a2+2a2tbm=0.所以1k1+1k2=2a2mb為定值.

五、強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，a>b>0定點(diǎn)A（x0，y0）∈C，（點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當(dāng)γ=0時(shí)，kPQ=b2x0a2y0為定值，且等于橢圓在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);②當(dāng)γ≠0時(shí)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且Dx0-2y0γ，-y0-2b2x0a2γ.

證明見(jiàn)文[3].

2.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，a>b>0 定點(diǎn)A（x0，y0）∈C，（點(diǎn)A不是橢圓頂點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，①當(dāng)γ=b2a2時(shí)，kPQ=-y0x0為定值，②當(dāng)γ≠b2a2時(shí)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且Da2γ+b2a2γ-b2x0，-a2γ+b2a2γ-b2y0.

證明見(jiàn)文[4].

3.已知拋物線C：y2=2px，定點(diǎn)A（a，b）∈C，，動(dòng)點(diǎn)Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γ，①當(dāng)γ=0時(shí)，kPQ為定值，且等于拋物線在A點(diǎn)處切線斜率的相反數(shù);

②當(dāng)γ≠0時(shí)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且

D b22p-2bγ，2pγ-b.

4.已知拋物線C：y2=2px，定點(diǎn)A（x0，y0）∈C，，動(dòng)點(diǎn)Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP·kAQ=γ，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)D，且Dx0-2pγ，-y0.

5.已知定點(diǎn)P-a，0，Q-a，-mm≠0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與橢圓x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N兩點(diǎn)，則直線PM與直線PN的斜率的和為定值-2b2am.

6.已知定點(diǎn)P0，-b，Q-m，-bm≠0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與橢圓x2a2+y2b2=1

（a>b>0）交于M，N兩點(diǎn)，則直線PM，PN的斜率的倒數(shù)之和為定值-2a2bm.

更多的練習(xí)題見(jiàn)文[5].

參考文獻(xiàn)：

[1]劉大鵬.斜率和（或積）為定值條件下圓錐曲線的性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（05）：44-45.

[2]耿曉紅，郭守靜.基于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生變式探究——以一類圓錐曲線定值問(wèn)題探究為例 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（10）：60-63.

[3]徐道.一道高考題思考后的思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（09）：46-48.

[4]劉大鵬. 對(duì)2020年高考山東22題的推廣與解法的研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（03）：8-10.

[5]姚良玲，楊列敏.一個(gè)優(yōu)美結(jié)論的再推廣[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2018（19）：54-55.

[責(zé)任編輯：李 璟]