實踐推理：從信念和愿望應(yīng)該形成什么目標

張炎

1 引言

實踐推理是關(guān)于如何行動的推理。日常生活實踐給我們提供了成百上千的這類例子，比如，考慮這個周末該做什么，是去公園散步還是在家寫文章。相比理論推理一般需要經(jīng)過長期訓(xùn)練才能良好的掌握，實踐推理似乎是人們與生俱來的，可以說它是人們最擅長的推理形式。盡管如此，至今為止卻仍沒有一個完整的實踐推理理論。導(dǎo)致這種現(xiàn)象的部分原因可能是多個學(xué)科，比如，哲學(xué)、邏輯、人工智能等，從不同的視角研究實踐推理，類似于盲人摸象，盡管每個學(xué)科都獲得了部分真理，但卻無法把它們綜合整理成一個完整的理論。鑒于實踐推理的復(fù)雜度及其涉及范圍的廣度，在[22]中，Thomason 把實踐推理研究劃分成為了六個子問題，包括目標推理、從目的到手段的推理、偏好推理等。

本文探討實踐推理中目標推理的問題，試圖發(fā)現(xiàn)一個理性的主體從她的信念和愿望應(yīng)該形成什么目標。盡管當今學(xué)界有很多探討實踐推理的工作，比如[2,9,13] 等，但研究目標推理問題的工作卻為數(shù)不多。[20] 和[21] 是在這方面非常有趣的嘗試，它們以缺省邏輯（[12,18]）為基礎(chǔ)，并試圖用缺省規(guī)則表示愿望，用缺省規(guī)則上的優(yōu)先序表示愿望間的偏好。1傳統(tǒng)的缺省邏輯是為了表示信念而設(shè)計的邏輯，而命令、愿望上的優(yōu)先序與信念上的優(yōu)先序是存在區(qū)別的。這使得把傳統(tǒng)缺省邏輯直接運用于實踐推理會導(dǎo)致的次序之謎（the Order Puzzle）。在[6,7]中，Horty 通過修改傳統(tǒng)缺省邏輯優(yōu)先序的應(yīng)用方式，從而嘗試解決次序之謎，但其解決方案仍存在爭議。除了次序之謎外，缺省邏輯直接運用于實踐推理還存在其它的問題。在現(xiàn)實場景中，時常存在多個較弱的理由合在一起強過一個比它們單獨更強的理由，但缺省邏輯卻沒法很好地表示這種情景。因為它總是選擇優(yōu)先的缺省規(guī)則，即使存在多個次優(yōu)先的規(guī)則與它矛盾。這個問題在[7]中被稱作理由聚合（Reason amalgamation）問題，它在這篇文章中帶數(shù)值函數(shù)的模型上可以得到部分的解決。本文從更基本的視角出發(fā)，討論一個理性主體從信念和愿望形成目標的基本邏輯標準，并非預(yù)設(shè)缺省邏輯機制對該問題的合理性而直接加以應(yīng)用。本文由簡到繁、循序漸進地分析目標形成的基本標準，并根據(jù)這些標準構(gòu)造出形式化的目標形成理論。這項工作的意義至少有以下兩個方面：第一、通過討論基于信念和愿望的目標形成的標準，為將來設(shè)計信念、愿望和目標的邏輯奠定了理論基礎(chǔ)；第二、把目標作為衍生的而非原始給定，有助于人工智能中設(shè)計基于愿望的自主智能體，而非只是基于給定目標的人工智能體。

在本文余下的部分中，第2 節(jié)給出了由信念和愿望構(gòu)成的基礎(chǔ)模型，并探討了基于它們形成目標的基本標準。因為一個主體不同愿望可能存在強度和等級的差別，所以接下來在基礎(chǔ)模型之上引入了采用數(shù)值和排序這兩種方式表示主體愿望的差別。第3、4 節(jié)分別探討增加了采用數(shù)值方式表示愿望強度的數(shù)值拓展模型和增加了采用排序方式表示愿望等級的排序拓展模型。第5 節(jié)把這兩種表示愿望強度方式融合到一起構(gòu)成混合拓展模型。第6 節(jié)證明了混合拓展模型中目標形成的兩個基本定理。最后一節(jié)總結(jié)全文并給出進一步的研究方向。

2 基礎(chǔ)模型

這節(jié)中的基礎(chǔ)模型由信念集和愿望集構(gòu)成。前者表示主體的信念，它通常是一致的，即不包含矛盾。后者愿望集由主體的愿望構(gòu)成，它與信念集不同，在給定的信念下通常是不一致的。比如，一個主體可能既想減肥，卻又不愿意做運動且實行合理的飲食。盡管愿望集通常是不一致的，但基于它們形成的目標集卻必須是一致的，因為不一致的目標是無法完成的。因此，這里的主要任務(wù)是，如何從給定的信念集和通常不一致的愿望集，獲得合理的一致目標集。

為了弄清楚什么是合理的目標集，我們來看一看下面這個例子。

例1.張三的愿望和信念：

· 張三有三個愿望，分別是看電影、美餐一頓和買一本書。

· 但是，他身上的錢只夠看電影和美餐一頓，或者只是買書。

在這個例子中，張三無法實現(xiàn)所有的愿望，從而只能退而求其次，要么選擇看電影和美餐一頓為他的目標，要么單獨選擇買書為他的目標。無論最終選擇的目標是看電影和美餐一頓還是買書，它們都是最初愿望集的子集。也就是說，目標是從愿望中挑選出來的。然后，之所以張三不應(yīng)該同時選擇三個愿望為目標，是因為根據(jù)他的信念，這是不可能實現(xiàn)的。換而言之，所有目標在背景信念下是可能實現(xiàn)的，即實現(xiàn)目標與背景信念一致。在[2]中3.4 節(jié)，Bratman 在探討意圖和信念之間的關(guān)系時做出了類似的要求，一個主體的意圖與背景信念需要是一致的，否則她是不理性的。最后，張三為什么沒有只選擇看電影或是美餐一頓為目標呢？因為通過同時選擇看電影和美餐一頓為目標，張三能實現(xiàn)更多的愿望。因此，根據(jù)這里的分析可以得到下述標準。

標準1.目標形成至少要遵守下述三個條件：

1.目標是對愿望有選擇的實現(xiàn)。

2.實現(xiàn)目標與背景信念是一致的。

3.在不違反條件1 和2 的前提下，要盡可能多的實現(xiàn)愿望，即目標集要相對于1 和2 是極大的。

這里的基本想法與[23]中最后一節(jié)中道義邏輯的想法非常類似。那里是從一系列祈使句生成應(yīng)該，祈使句之間允許沖突而無法同時實現(xiàn)，而這里從一系列愿望形成目標，且愿望之間可能有沖突而無法都實現(xiàn)。前者要求被滿足的祈使句是極大一致的，而相對應(yīng)地，這里要求被滿足的愿望是極大一致的。2不過，[23]中應(yīng)該算子是對邏輯后承封閉的，從而并非初始祈使句的子集，而此處的目標集是愿望的子集而不對邏輯后承封閉。因為區(qū)分目標和它們的邏輯后承有時是重要的，比如，前者可以作為規(guī)劃的輸入，而后者卻不行。

為了把上述想法形式化，我們引入一種形式語言L，并用它中的公式表達信念和愿望。因為之后的討論不依賴于語言L的具體形式，所以這里不確定具體的形式語言，但要求語言L中推演關(guān)系?是有定義的。鑒于推演是邏輯中最基本的概念，所有常見的邏輯語言都滿足這個要求，比如，命題語言、一階語言以及模態(tài)語言等。L中的一個公式集A是一致的當且僅當并非A ?⊥，即從A不能推演出矛盾命題。根據(jù)上述的標準，目標形成可以如下形式化。

定義1.一個基礎(chǔ)模型是一個有序?qū)Α碆,D〉，其中B是表示信念的L中公式集且D是表示愿望的L中公式集。對L中任意公式集G，G是基礎(chǔ)模型〈B,D〉的一個目標集當且僅當

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；3嚴格地說，這里形式化的是“目標與背景信念一致”，而并非“實現(xiàn)目標與背景信念一致”。這兩者并不完全相同，因為有時一個主體相信可能的卻是不能實現(xiàn)的，比如，我可能相信明天會下雨，但明天下雨并不是我可實現(xiàn)的。若要更精確地形式化“實現(xiàn)目標與信念一致”，可以考慮在形式語言中引入cstit 算子，然后把“實現(xiàn)目標與信念一致”形式化為“B ∪{[α : cstit]φ : φ ∈G}是一致的”，這里的α 表示形成目標的主體。有關(guān)cstit 算子的介紹，參見[5]中第二章。

3.不存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。

上述定義中值得注意的一個特點是，如果信念集B自身是不一致的，那么條件2 則無法滿足，從而無法產(chǎn)生任何目標集。從直觀上看，這是非常合理的，因為若主體自身信念不一致，那么她對現(xiàn)實的理解則是存在偏差的，從而不應(yīng)該基于該信念去設(shè)定任何目標。另一個值得注意的是目標集可能并不唯一，比如上述例子張三的愿望。對于這種情況，若這些目標集都是同等可接受的，那么主體只需從中任意挑選一個即可；若它們不是同等可接受的，那么就需要她從中選出最好的目標集。在這些目標集中進行選擇，需要主體能區(qū)分它們的好壞。但基礎(chǔ)模型中并不包含愿望間偏好的信息，所以下面對基礎(chǔ)模型進行擴充以增加主體對愿望的偏好，并采用數(shù)值和排序的兩種方式來表示。最后，若主體無法獲得更多的偏好信息但又必須做出選擇時，那么她能做的只能是從中任意挑選一個，這種思考方式對應(yīng)常識推理中的大膽推理（brave reasoning）模式。

在進一步拓展基礎(chǔ)模型之前，這里需要對這篇文章中信念與愿望模型刻畫的對象先做三點說明：一、這篇文章刻畫的是一個理性的主體4這里假定理性的主體都是理想的推理者。對這一假定的辯護，參見[19]。根據(jù)她當下的信念和愿望應(yīng)該選擇哪些愿望作為目標，也就是說，本文探討目標形成的規(guī)范性理論，而非描述性理論。規(guī)范性理論規(guī)定一個理性的主體應(yīng)該如何選擇，而描述性理論描述現(xiàn)實中的主體是如何選擇的。它們通常并不重合，因為現(xiàn)實中的人們并非理想的推理者，可能無法發(fā)現(xiàn)信念、愿望之間的矛盾，并時常做出非理性的選擇。二、這篇文章中的形式模型預(yù)設(shè)一個理性主體在當下的信念和愿望是事先確定不變的，并不刻畫信念和愿望的動態(tài)變化。從這個角度來說，這篇文章中的模型類似于決策論中的決策模型和博弈論中的靜態(tài)博弈模型，并不直接考慮時間次序的因素。盡管文中模型表示的信念和愿望都是主體當下的，但如果形式語言L可以表達時間，比如，時態(tài)語言、一階語言等5實際上，最簡單的命題語言也可以表達關(guān)于將來的命題，盡管它不能直接表達關(guān)于時間的概念。例如，可以約定p0,q0,...表示關(guān)于當下的命題，而p1,q1,...表示關(guān)于明天的命題等等。，那么主體當下的信念和愿望可以是關(guān)于未來的并有時間次序的，比如，我明天不需要去學(xué)校，但后天需要去學(xué)校，我想今天休息，而明天寫文章等。不僅如此，一個主體對她愿望的偏好可以隱含地涉及實現(xiàn)愿望的方式和實現(xiàn)愿望之后的事態(tài)。例如，我偏好買100 元的鼠標超過買500 元的鼠標，因為它們對我來說功能類似，但后者卻要花費更多；我偏好今晚寫文章超過休息，因為明天是文章提交的截止日期，但如果我考慮的時間維度不超過今天，那么會偏好今晚休息超過寫文章，因為工作一天后已經(jīng)很累了。最后，這里考慮的愿望是相對獨立的，一個主體完成一個愿望不是為了完成她當下其他的愿望。三、遵循[22]中把實踐推理劃分為子問題的研究方案，這里只考慮目標推理問題，即從信念和愿望應(yīng)該形成什么目標，而不考慮從目的到手段的推理問題，即完成目標應(yīng)該采用什么手段。這種分開單獨考慮目標推理和從目的到手段推理的研究方案，不僅簡化了理論研究，而且一定程度上是符合人類實踐的。在[2]中，Bratman 認為人們會盡可能地減少或是推遲進行從目標到手段的推理，因為該過程通常是十分耗時耗力的，同時，外部環(huán)境的不斷變化使得過早定下的計劃之后可能并不適用。因此，我們時常會進行較為抽象的目標推理，卻不進行細致的從目標到手段的推理。例如，在周四時，我思考這個周末如何度過，是在家工作還是去景點散心放松？考慮到這周工作已經(jīng)很累了，我更偏好去景點散心，因此選擇周末散心為目標。當做出這個選擇時，我既未考慮具體去什么景點散心，什么時間出發(fā)，采用什么交通方式，也未考慮如果選擇工作的話，我具體做什么工作，是寫文章還是備課等等。

根據(jù)上文的說明，這篇文章探討的信念和愿望模型與規(guī)范決策論中的決策模型有著重要的幾點相似之處，都屬于規(guī)范性理論且都不直接表示時間上的次序關(guān)系；另外，這里的模型不考慮完成目標的具體手段，而決策論模型盡管包含了行動，但是它們只是被抽象地看成從狀態(tài)到結(jié)果的函數(shù)，也不考慮實施行動的具體方案。這篇文章中形式模型與決策論模型不同的是，它們將采用數(shù)值和排序的方法共同表示主體的偏好，而非如決策論模型中僅有數(shù)值的方式。在[24]中，Weisberg 認為人們在實踐推理中極少采用決策論中最大期望效益規(guī)則，而是采用更加經(jīng)濟的定性原則來比較不同的選擇，比如字典序比較。這篇文章在一定程度上可以看成是對此類想法的嚴格形式化表達的一種嘗試。

3 數(shù)值拓展模型

本文余下部分討論如何擴充基礎(chǔ)模型，從而包含主體對愿望的偏好以便在基礎(chǔ)模型的目標集中進一步地選擇。表示愿望偏好的方式主要有兩種：第一種是數(shù)值的方式，給每個愿望賦予一個數(shù)值以表示主體對它的愿望強度，愿望強度越高的愿望賦予的數(shù)值越大；第二種是采用排序的方式，對所有的愿望根據(jù)它們的優(yōu)先等級進行一個排序，排序中優(yōu)先的愿望等級更高。

這節(jié)先討論如何進行數(shù)值方式的擴展，然后下一節(jié)討論如何進行排序方式的擴展。類似于決策論中采用效用函數(shù)表達結(jié)果的效用，這里的數(shù)值擴展在基礎(chǔ)模型上增加一個愿望函數(shù)u，它給每個愿望d賦予一個正實數(shù)6愿望是主體想到達成的，這里不是進行利弊權(quán)衡，而是在不同愿望間選擇最好的，即“在好的中挑最好的”，所以只用正數(shù)代表主體愿望的強度。u(d)表示主體對d的愿望強度。7[10]探討了如何采用數(shù)值方式表達偏好，但與這里不同的是[10]中的數(shù)值是賦給可能世界和事件，而非這里的公式。除此之外，它還探討了偏好的動態(tài)變化等其它一些有趣的問題。如果主體需要在多個愿望之間進行選擇，那么她應(yīng)該選擇愿望值大的那個愿望。對于愿望集D的愿望值的計算，這里采用相加規(guī)則8此處的相加規(guī)則預(yù)設(shè)主體的愿望滿足一些基本前提，比如，愿望的獨立性、愿望間不存在嚴格的等級差別等，參見[15]中5.4 節(jié)。：令它為D中所有元素的愿望值之和，即u(D)=u(d)。當主體需要在多個愿望集之間進行選擇時，她應(yīng)該選擇愿望值最大的那個愿望集。因此，我們可以總結(jié)為下列標準。

標準2.目標形成需要遵守下述條件：

1.目標是對愿望有選擇的實現(xiàn)。

2.實現(xiàn)目標與背景信念必須是一致的。

3.不存在比目標集的愿望值更大的愿望子集與信念是一致的。9一個更完善的條件除了考慮愿望值外，也許還需要考慮完成愿望的代價。比如，一個主體有換電腦和換鼠標兩個愿望，盡管她更想換電腦，但她卻很可能選擇換鼠標，因為換電腦的花費要比換鼠標高很多。若要完整地引入關(guān)于代價的計算，則需要進一步擴充模型，比如，增加完成愿望的行動、相應(yīng)的公式表示行動的結(jié)果以及對行動賦值的代價函數(shù)等。但這將使得形式模型復(fù)雜許多，超過了本文的探討范圍，有興趣的讀者可參考[21]，之中Thomason 嘗試設(shè)計了結(jié)合信念、愿望和規(guī)劃的形式系統(tǒng)。對于這篇文章中的模型，可以考慮采用如下方式部分地刻畫代價：若完成愿望d 的代價是c，那么把它的否定?c 放到愿望集D 中，并對?c 賦予適當?shù)脑竿凳沟?，對愿望d 和代價c 的比較，可以轉(zhuǎn)換成比較u(d)和u(?c)的大小。

下面我們舉例說明如何得到滿足上述標準的目標集。

例2.張三的愿望和信念：

· 張三有三個愿望，分別是看電影、美餐一頓和買一本書。

· 他對這三個愿望的賦值分別是5，7 和10。

· 但是，他身上的錢只夠看電影和美餐一頓，或者只是買書。

與例子1 類似，這個例子中張三仍然無法實現(xiàn)所有的愿望，只能要么選擇看電影和美餐一頓為他的目標，要么單獨選擇買書的愿望為他的目標。但與例子1不同的是，此時根據(jù)張三對這三個愿望的賦值和相加規(guī)則，實現(xiàn)看電影和美餐的愿望值是12，而單獨實現(xiàn)買書的愿望值是10。因此，他應(yīng)該選擇看電影和每餐一頓為他的目標。

下面把上述想法形式化，給出數(shù)值拓展模型和它之上目標集的嚴格定義。

定義2.一個數(shù)值拓展模型是一個三元組〈B,D,u〉，其中〈B,D〉是一個基礎(chǔ)模型，且u是一個從D到正實數(shù)集R+的愿望函數(shù)滿足。對任意。對L中任意公式集G，G是數(shù)值拓展模型〈B,D,u〉的一個目標集當且僅當

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ?D使得u(G)＜u(G′)且B ∪G′是一致的。

盡管上述定義沒要求G是滿足條件1 和2 中相對子集關(guān)系極大的，但從上述定義中條件3 可以證明它是成立，從而數(shù)值拓展模型的目標集是它中基礎(chǔ)模型的目標集。注意，下列命題依賴于愿望值是正數(shù)和相加規(guī)則。

命題1.如果G是〈B,D,u〉的目標集，那么G是〈B,D〉的目標集。證明.假設(shè)G是〈B,D,u〉的目標集。顯然有G是D的子集且B ∪G是一致的。下面反證法證明定義1 中條件3：設(shè)存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。那么G′-G/?,從而u(G′-G)＞0,所以u(G′)=u(G)+u(G′-G)＞u(G)。因此，存在G′ ?D使得u(G)＜u(G′)且B ∪G′是一致的。根據(jù)定義2 中條件3，這與G是〈B,D,u〉的目標集矛盾，故反證法假設(shè)不成立，即不存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。所以G是〈B,D〉的目標集。

4 排序拓展模型

雖然采用愿望函數(shù)的數(shù)值拓展方式簡單明了，但卻不適用于愿望間存在等級區(qū)分的情況，即無論完成多少低等級愿望都無法取代一個高等級愿望。對于這種情況，這節(jié)引入排序拓展模型，它在基礎(chǔ)模型上增加一個優(yōu)先序來表示愿望間的等級區(qū)分，優(yōu)先序越高的愿望等級越高。當主體需要在愿望間選擇時，她應(yīng)當選擇優(yōu)先序高的愿望。但當主體形成目標時，她通常需要在愿望集之間而非愿望之間做出選擇，所以這里需要一個類似上節(jié)中加法規(guī)則的方法，從愿望間的優(yōu)先序生成愿望集間的優(yōu)先序。當主體需要在愿望集間進行選擇時，她應(yīng)該根據(jù)生成的優(yōu)先序選擇更優(yōu)的愿望集。也就是說，排序拓展模型中形成目標應(yīng)該遵循下列標準。

標準3.目標形成需要遵守下述條件：

1.目標集是愿望集的子集。

2.實現(xiàn)目標集與背景信念是一致的。

3.不存在比目標集更優(yōu)的愿望子集是與信念一致的。

下面舉例說明如何得到滿足上述標準的目標集，并對上述標準中第3 條中“更優(yōu)”概念進行進一步地闡述。

例3.張三的愿望和信念：

· 張三有三個愿望，分別是看電影、美餐一頓和買一本書。

· 不過，張三是一個特別愛讀書的人，把買書愿望排在最優(yōu)先，之后才是美餐和看電影且它們屬于同等級別。

· 張三身上的錢只夠看電影和美餐一頓，或者只是買書。

與例子1 類似，這個例子中張三也只能要么選擇看電影和美餐一頓為他的目標，要么單獨選擇買書的愿望為他的目標。但與之前例子1 不同的是，此時根據(jù)張三對愿望的優(yōu)先級，實現(xiàn)買書嚴格優(yōu)于美餐和看電影。也就是說，對于張三，單獨實現(xiàn)高級別愿望買書比同時現(xiàn)實兩個低級別的愿望看電影和美餐更好。因此，他應(yīng)該選擇買書為他的目標。

一般地說，一個優(yōu)先序高的愿望要好過任意多個優(yōu)先序低的愿望之和。這意味著，一個愿望集D中某些愿望E，被不在D中的某些愿望E′替換后得到D′=(D-E)∪E′，如果E′中某個愿望的級別高于E中所有的愿望，那么替換后的愿望集D′則優(yōu)于原始愿望集D。這個從愿望間優(yōu)先序生成愿望集間優(yōu)先序的方式是對[4]中在優(yōu)先序為有窮線序情況下字典序定義的一種擴展。這里只要求愿望間的優(yōu)先序是一個弱線序關(guān)系，從而允許存在無窮個愿望等級且每個等級的愿望不唯一。同等級愿望不唯一是常見的情況，同時也給予了下一節(jié)中數(shù)值擴展的空間和必要性。下面把上述想法形式化，給出排序拓展模型和它之上目標集的嚴格定義。

定義3.一個排序拓展模型是一個三元組，其中〈B,D〉是一個基礎(chǔ)模型，且是D上的優(yōu)先序，它是一個弱線序關(guān)系10一個關(guān)系是弱線序當且僅當它滿足自返性、傳遞性和可比較性。。

對任意d,d′ ∈D，d～d′表示且d′ d，d ?d′表示且并非d～d′。即：～是D上的等價關(guān)系，而?是嚴格偏序。對任意E,E′ ?D，E?E′當且僅當存在e′ ∈E′使得對所有e ∈E,e ?e′。下面的定義把愿望間的優(yōu)先序擴展到愿望集間的優(yōu)先序。注意，這個定義并不依賴于模型中的信念集B。

定義4.對任意排序拓展模型和任意E,E′ ?D，E ?E′當且僅當存在F ?E ∩E′使得E-F?E′-F。

根據(jù)上述定義易見，d ?d′當且僅當j5i0abt0b ?{d′}。這表明上述定義把愿望間的優(yōu)先序擴展愿望集間時，對愿望間的優(yōu)先序關(guān)系是保持不變的。[11]中的第四節(jié)定義了如何從命題間的優(yōu)先序生成可能世界之間的好壞關(guān)系，而這里是從命題間的優(yōu)先序生成命題集間的優(yōu)先序。因為命題集不一定是與可能世界相對應(yīng)的極大一致理論，所以兩者的表達形式并不相同。另一個區(qū)別是[11]中優(yōu)先序是嚴格偏序，不同于此處的弱線序。盡管如此，在線序上這里的定義與[11]中第四節(jié)的定義是可以相互轉(zhuǎn)換的。11令G 為[11]中定義在可能世界上的關(guān)系且定義?G 如下：對任意可能世界w,u，w ?G u 當且僅當w G u ∧?(u G w)。對于任意可能世界w，令V(w)為w 上為真的公式構(gòu)成的集合。我們可以如下轉(zhuǎn)換這兩種定義：w ?G u 當且僅當V(w) ?V(u)；D ?E 當且僅當存在可能世界w,u 使得V(w)= D，V(u)= E 且w ?G u。下面根據(jù)這節(jié)中目標形成標準形式化排序拓展模型上目標集的概念。

定義5.對L中任意公式集G，G是的一個目標集當且僅當

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。12此處的目標集和帶優(yōu)先序的缺省理論的擴張（extension）存在下列對應(yīng)關(guān)系。對任意排序拓展模型〈B,D,〉，如果?是一個具有良基性的嚴格線序，構(gòu)造帶優(yōu)先序的缺省理論〈W,D,?〉如下：· W= B，· D= {: φ ∈D}，

· ?={:〈φ,ψ〉 ∈?}。

我們有，對任意公式集G，如果G是的目標集，那么{φ:B ∪G ?φ}是〈W,D,?〉的一致的擴張；對任意公式集E，如果E是〈W,D,?〉的一致的擴張，那么E ∩D是的目標集。有關(guān)帶優(yōu)先序的缺省理論的擴張定義，參見[12]的第3.8 節(jié)。

類似于數(shù)值拓展模型，上述條件3 可以推出G是相對條件1 和2 極大的，從而排序拓展模型的目標集是它中基礎(chǔ)模型的目標集。

命題2.如果G是的目標集，那么G是〈B,D〉的目標集。

證明.設(shè)G是的目標集。顯然G是D的子集且B ∪G是一致的。下面反證法證明定義1 中條件3：設(shè)存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。那么G′-G/=?,從而G-G=? ?G′-G，根據(jù)定義4，G ?G′。所以存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。根據(jù)定義5 中條件3，這與G是的目標集矛盾，故反證法假設(shè)不成立，即不存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。因此，G是〈B,D〉的目標集。

5 混合拓展模型

前面兩節(jié)分別探討了數(shù)值和排序拓展這兩種方式，前者適用于愿望間無等級差別的情況，而后者適用于愿望間存在等級差別的情況。因為這兩種方式適用的情景恰好是互補的，所以它們可以很自然地結(jié)合在一起。這節(jié)探討這兩種方式結(jié)合后產(chǎn)生的混合拓展模型，它在基礎(chǔ)模型之上同時增加了愿望函數(shù)和優(yōu)先序關(guān)系，前者表示愿望強度，而后者表示愿望間的等級。盡管混合拓展模型由愿望函數(shù)和優(yōu)先序關(guān)系簡單地結(jié)合產(chǎn)生，但它之上目標集概念卻不能由數(shù)值拓展模型和排序拓展模型上目標集概念的簡單組合而構(gòu)成。這是因為數(shù)值拓展模型中使用的相加規(guī)則，即u(D)=，不適用于包含不同等級愿望的愿望集，從而無法通過數(shù)值的方式直接比較它們。盡管如此，這里仍然可以采用標準3：

1.目標集是愿望集的子集。

2.實現(xiàn)目標集與背景信念是一致的。

3.不存在比目標集更優(yōu)的愿望子集是與信念一致的。

不過，這里需要對“更優(yōu)”的概念做出一定的修改，融入愿望函數(shù)中的強度信息，從而可以對同等級愿望根據(jù)愿望函數(shù)進行比較。

例4.張三的愿望和信念：

· 張三有三個愿望，分別是看電影、美餐一頓和買一本書。

· 他對這三個愿望的賦值分別是5，7 和3。

· 不過，張三是一個特別愛看書的人，把買書愿望排在最優(yōu)先，之后才是美餐和看電影且它們屬于同等級別。

· 張三身上的錢只夠滿足之中任意兩個愿望：看電影和美餐一頓，或者買書和看電影，或者買書和美餐一頓。

在這個例中，因為張三把買書愿望排在最優(yōu)，所以他不應(yīng)該犧牲買書的愿望而去選擇看電影和美餐，從而看電影和美餐就不應(yīng)該是他的目標。值得注意的是，盡管此處美餐的愿望值是7，大于買書的愿望值3，但此時并不能根據(jù)愿望值的大小對它們進行比較，因為它們不是同一個等級的愿望。對于后面兩種選擇，它們都包括了買書，不同之處在前一種選擇了看電影和后一種選擇了美餐。但看電影和美餐屬于同等級別的，可以根據(jù)它們的愿望值進行比較，因為看電影的值是5而美餐的值是7，所以美餐好過看電影。綜合考慮，張三最終應(yīng)該選擇買書和美餐作為他的目標。從這個例子可以看出，此處“更優(yōu)”的概念應(yīng)該是對上一節(jié)中“更優(yōu)”的概念擴展，從而包括同等級愿望間愿望值大小比較，但卻又不允許不同等級愿望根據(jù)愿望值大小進行比較。

在[24]中，Weisberg 探討了實踐推理，認為人們在實踐中時常采用字典序比較不同選擇的好壞。對于字典序比較，他說道：“依次（根據(jù)重要性的遞降序）比較相關(guān)性質(zhì)直到在某個性質(zhì)時其中一個選項要顯著超過另一個選項。”這句話中的“顯著超過”顯然是一個程度的概念，而非僅僅是排序的，所以隱含了字典序可以融入數(shù)值表示程度的想法。上面依次比較的方法預(yù)設(shè)了優(yōu)先序的逆是良序，因為我們并不假定這一條，所以需要采用類似上一節(jié)的方式給出更一般的定義。一個愿望集E′比另一個愿望集E更優(yōu)當且僅當對于某個等級，E′中該等級愿望的愿望值之和超過E中該等級愿望的愿望值之和，同時，對任意更高的等級，E′中該等級愿望的愿望值之和都不會小于E中該等級愿望的愿望值之和。下面把上述想法形式化，給出混合拓展模型和它之上目標集的嚴格定義。注意，那么u(?)=0；對任意d,d′ ∈D，d～d′表示且d′ d。對任意d ∈D，[d]表示包含d的等價類{d′ ∈D:d′～d}。

定義6.一個混合拓展模型是一個四元組，其中是一個排序拓展模型，且u是一個從D到正實數(shù)集R+的愿望函數(shù)滿足對任意d ∈D，

下面根據(jù)愿望間的優(yōu)先序和愿望函數(shù)定義愿望集間的優(yōu)先序。注意，下面的定義并不依賴于模型中的信念集B。

定義7.對任意混合拓展模型和任意E,E′ ?D，E～E′當且僅當對任意d ∈D，u(E ∩[d])=u(E′ ∩[d])；E?E′當且僅當存在e′ ∈E′使得u(E ∩[e′])＜u(E′∩[e′])且對任意d ?e′，u(E ∩[d])≤u(E′∩[d])；E ?E′當且僅當E?E′或E～E′。

根據(jù)上述定義易見，如果d ?d′，那么j5i0abt0b?{d′}。另外在命題3 中，我們證明：如果E ?E′，那么E?E′。這說明混合拓展模型中愿望集間優(yōu)先序?的確是對排序拓展模型中愿望集間優(yōu)先序?的擴充。下面根據(jù)目標形成標準給出混合拓展模型上目標集的定義。

定義8.對L中任意公式集G，G是的一個目標集當且僅當

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ?D使得G?G′且B ∪G′是一致的。

上述定義的第3 條可以推出排序拓展模型的目標集定義中的第3 條成立，從而可以得出混合拓展模型的目標集是它中排序拓展模型的目標集。但在證明該命題之前，我們先證明混合拓展模型中愿望集間優(yōu)先序?是對排序拓展模型中愿望集間優(yōu)先序?的擴充。注意，下面兩個命題都依賴于愿望值是正數(shù)和相加規(guī)則，但是，定理3 并不依賴于信念集中B的內(nèi)容，因為序關(guān)系?和?的定義并不涉及B。

命題3.令為任意混合拓展模型。對任意E,E′ ?D，如果E ?E′，那么E?E′。

下面證明混合拓展模型的目標集是它中排序拓展模型的目標集，進而根據(jù)命題2 得出，混合拓展模型的目標集也是它中基礎(chǔ)模型的目標集。

命題4.如果G是的目標集，那么

1.G是的目標集；

2.G是〈B,D〉的目標集。證明.1.假設(shè)G是的目標集。顯然有G是D的子集且B ∪G是一致的。下面采用反證法證明定義5 中條件3 成立：設(shè)存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。從而由命題3 得出，存在G′ ?D使得G?G′且B ∪G′是一致的。根據(jù)定義8 中條件3，這與G是的目標集矛盾，故反證法假設(shè)不成立，即不存在G′ ?D使得G ?G′且B ∪G′是一致的。因此，G是的目標集。

2.根據(jù)上述1 和命題2 直接得出。

值得注意的是，就算G是的目標集，也不一定有G是〈B,D,u〉的目標集。比如，在例4 中，同時看電影和美餐的愿望值是12，大于最終選擇的目標集買書和美餐的愿望值10。

6 兩個基本定理

這節(jié)證明關(guān)于混合拓展模型的兩個基本定理。下面的定理1 說，如果一個混合拓展模型中愿望間優(yōu)先序?的逆是良基的，那么它中愿望集間的優(yōu)先序?則是一個弱線序。這意味著，通常情況下混合拓展模型的確包含了足夠的偏好信息，即使最終目標集有多個，它們也必定都是等同可接受的，所以可以從中隨意挑選。最后的定理2 是關(guān)于混合拓展模型上目標集存在性的。

在[1] 中，Andréka 等人探討了如何根據(jù)一集偏好關(guān)系和它之上的優(yōu)先序去生成一個整體的偏好關(guān)系，并證明了在何種條件下生成的關(guān)系是線序或是良基的；但[1]中采用的優(yōu)先序是嚴格偏序，從而無法表示同等級包含多個元素的情況并融入數(shù)值函數(shù)；最后，[1]中良基性的證明預(yù)設(shè)了優(yōu)先序的有窮性。注意，定理1并不依賴于信念集B中的內(nèi)容，因為序關(guān)系?的定義并不涉及信念集B。

定理1.令為任意混合拓展模型。

1.?是自返且傳遞的，

2.如果?的逆是良基的，那么?是可比較的。

證明.1.?滿足自返性是顯然的。這里只證明?是傳遞的。假設(shè)E1?E2且E2?E3。下面我們分情況討論：

值得注意的是，上述可比較性的證明中對良基性的要求是必須的，否則我們可以構(gòu)造下面這個反例。

這節(jié)下面的部分證明關(guān)于混合拓展模型上目標集存在性的定理。為此需要用到K?nig 引理，下面給出一些必備的術(shù)語。一棵樹是一個有序?qū)Α碩,＜〉，其中T是一個非空集合，＜是T上一個嚴格偏序且滿足存在最小元樹根和向下可比較，即?x?y?z(x ＜z ∧y ＜z ?x ＜y ∨x=y ∨y ＜x)。我們用x ≤y表示x ＜y或x=y；y是x的直接后繼當且僅x ＜y ∧??z(x ＜z ＜y)。一棵樹是有窮的當且僅當它包含有窮個點，否則它是無窮的；一棵樹是有窮分支當且僅當它中每個點的直接后繼是有窮的；樹中的歷史是它中極大的鏈，一個歷史是無窮的當且僅當它包含無窮個點。令T=〈T,＜〉是一棵樹。對任意t ∈T，它的等級level(t)=|{t′ ∈T:t′ ＜t}|。根據(jù)該定義，樹根的等級是0。對任意T′ ?T，我們用[T′]n表示{t ∈T′:level(t)=n}。T 中點組成的序列s=〈t0,...,tn〉是一個初始段當且僅當t0是樹根且對任意0≤i ＜n，ti+1是ti的直接后繼。一棵標簽樹是一個三元組〈T,＜,v〉，其中〈T,＜〉是樹且v是一個標簽函數(shù)把每個t ∈T映射到一個公式集。關(guān)于樹的各種術(shù)語，可以直接推廣到標簽樹上，這里不再定義。

引理1(K?nig 引理).如果一棵無窮的樹是有窮分支的，那么它中存在無窮的歷史。

令M=為一個混合拓展模型。對任意d,d′ ∈D，[d]?s[d′]當且僅當d ?d′。語言L中的推演關(guān)系?是緊致的當且僅當對任意公式集Γ 和公式φ，如果Γ?φ，那么存在Γ 的有窮子集△使得△?φ。一個序是ω-型的如果它與〈ω,∈〉同構(gòu)，一個序最多是ω-型的如果它可以同構(gòu)嵌入到〈ω,∈〉。

定理2.令M=為一個混合拓展模型。假設(shè)

1.?是緊致的，

2.B是一致的，

3.?s的逆最多是ω-型的，

4.對任意d ∈D，[d]是有窮的。

那么存在G是M 的目標集。

值得注意的是，盡管這篇文章中的愿望值是都正數(shù)且采用相加規(guī)則計算愿望集的值，但定理1 和2 的證明都不預(yù)設(shè)這一點，它們適用于愿望值是任何實數(shù)且采用任何規(guī)則計算集合愿望值的情況。

7 總結(jié)

這篇文章討論實踐推理中目標推理問題，分析了理性主體根據(jù)她的信念和愿望應(yīng)該形成什么目標，并總結(jié)成為目標形成的基本標準：目標集是與信念一致的愿望子集，并且不存在比目標集更優(yōu)的愿望子集是與信念一致的。然后，根據(jù)基本標準構(gòu)造了目標形成的形式化理論，探討了不同模型間目標集的關(guān)系，并證明了拓展模型的目標集都是基礎(chǔ)模型的目標集，也就是說，愿望偏好的效果是從基礎(chǔ)模型的目標集中進一步篩選。另外，我們還證明了在愿望間優(yōu)先序的逆滿足良基性時，混合拓展模型中愿望集間的優(yōu)先序是一個弱線序。這意味著混合拓展模型通常包含了足夠的偏好信息決定愿望集間的好壞。最后，我們得到了混合拓展模型上目標集存在的一個充分性定理。

盡管這篇文章給予文中形式模型的解釋是信念、愿望和偏好，但是我們還可以嘗試賦予它們以下三種不同的解釋。令為一個混合拓展模型。一、祈使句解釋：B表示主體當下的信念，D表示主體當下接收的祈使句，而和u表示不同祈使句之間的權(quán)威性和重要程度，那么目標集則表示主體應(yīng)該完成的祈使句。在這種解釋下，本文的模型可以看成是對[23]中從允許沖突的祈使句生成應(yīng)該的道義邏輯的一種擴張。二、倫理職責(zé)解釋：B表示主體當下的信念，D表示主體當下考慮的顯見義務(wù)13顯見義務(wù)，又稱表面義務(wù)，是羅斯義務(wù)論倫理學(xué)中的一個概念。顯見義務(wù)之間可以有沖突，但綜合考慮顯見義務(wù)得出的真實義務(wù)（duty proper）之間不能有沖突。有關(guān)羅斯義務(wù)論倫理學(xué)的介紹，參見[3]。（prima facie duty），而和u表示不同顯見義務(wù)之間的優(yōu)先性和重要程度，那么目標集則表示主體應(yīng)該完成的真實義務(wù)（duty proper）。三、可廢止推理14可廢止推理是一種非單調(diào)的推理模式，一個可廢止論證的前提支持結(jié)論，但卻不保證結(jié)論一定成立，之后增加新的前提或論證可能廢止之前得出的結(jié)論。有關(guān)可廢止推理的探討，參見[16,17]。（defeasible reasoning）解釋：B表示主體當下確定接受的信念，D表示是可廢止理由（defeasible reasons），且和u表示可廢止理由之間的優(yōu)先序和強度，那么目標集和信念集共同的后承則是理性主體應(yīng)該接受的信念。

這篇文章給出了目標形成的基本理論框架，接下來的工作可以此為基礎(chǔ)進行擴展。下面簡要地提出五點：第一、文中考慮的愿望都是主體在當下?lián)碛械模词且呀?jīng)觸發(fā)了的愿望，但主體的愿望經(jīng)常是以有觸發(fā)條件的方式表示的，所以包含條件愿望的目標形成理論是非常值得研究的問題。第二、基于數(shù)值拓展模型形成目標的標準采用了加法規(guī)則，這要求主體的愿望是相互獨立的，但主體的愿望可能是不獨立的，所以我們需要不獨立愿望的愿望值計算規(guī)則。第三、排序拓展模型中的優(yōu)先序是固定的，可以考慮采用[7]第五章中類似想法，設(shè)計依據(jù)所選的愿望而變化的優(yōu)先序。第四、排序拓展模型中優(yōu)先序滿足的弱線序條件可以考慮放弱為傳遞性，這會要求對文中愿望集“更優(yōu)”的定義進行相應(yīng)的修訂。第五、采用類似于[8,14]中道義邏輯的想法，以文中拓展模型為語義模型設(shè)計關(guān)于理性主體的規(guī)范性邏輯。