因果影響與函數(shù)式依賴(lài)：從邏輯的視角分析

謝凱博

1 引言

變量間相互依存的關(guān)系是自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)與哲學(xué)研究中的重要內(nèi)容。變量之間的聯(lián)系是普遍的，同時(shí)也是多樣的，判斷變量之間的聯(lián)系具有怎樣的性質(zhì)在實(shí)踐當(dāng)中具有重要意義。例如，當(dāng)在科學(xué)研究中觀察到行為X與疾病Y之間存在著聯(lián)系（例如X與Y常常相伴而生），但在實(shí)踐當(dāng)中，我們會(huì)不僅僅滿足于X與Y之間“存在聯(lián)系”或“不存在聯(lián)系”這樣的判斷，還需要把握這種聯(lián)系更深層次的性質(zhì)，例如：這種聯(lián)系是否依賴(lài)于X和Y以外的其他變量，還是X單獨(dú)決定了Y；X和Y的聯(lián)系是否是一種因果聯(lián)系？如果忽視這樣的問(wèn)題就無(wú)法將這種聯(lián)系應(yīng)用于實(shí)踐，例如我們不能從行為X與Y的聯(lián)系推出要增加X(jué)還是減少X的結(jié)論，因?yàn)閄與Y的聯(lián)系未必是一種因果聯(lián)系，X對(duì)Y也許根本不存在因果影響，是一個(gè)其他變量Z共同影響X和Y建立起了X和Y表面上的聯(lián)系，而這種表面上的聯(lián)系反而在實(shí)踐當(dāng)中具有欺騙性。因此許多學(xué)科，尤其是計(jì)算機(jī)、哲學(xué)研究，都試圖建構(gòu)處理變量之間聯(lián)系的理論，尤其是關(guān)于因果聯(lián)系的理論。

這些理論當(dāng)中的部分理論（例如[7]）側(cè)重于通過(guò)概率來(lái)研究變量間的聯(lián)系。它們?cè)谌斯ぶ悄茴I(lǐng)域獲得了大量的應(yīng)用。但近年來(lái)在人工智能領(lǐng)域也涌現(xiàn)出一批從結(jié)構(gòu)方程的角度進(jìn)行因果研究的理論。結(jié)構(gòu)方程是一種直接表征因果規(guī)律的函數(shù)，同時(shí)也能夠表達(dá)反事實(shí)結(jié)構(gòu)。相比于概率角度的研究，基于結(jié)構(gòu)方程的因果模型更容易從邏輯學(xué)的角度進(jìn)行研究，其中[9,11,12]等將人工智能領(lǐng)域的因果理論應(yīng)用到了邏輯當(dāng)中，提出以因果模型為語(yǔ)義基礎(chǔ)的經(jīng)典因果邏輯。

而另一方面，在邏輯學(xué)當(dāng)中也誕生了從其他方面探討變量間聯(lián)系的邏輯。例如[1]的函數(shù)式依賴(lài)邏輯（Logic Functional Dependence，以下簡(jiǎn)稱(chēng)LFD 邏輯）通過(guò)函數(shù)式依賴(lài)這一概念研究變量間的決定關(guān)系。

本文首先將對(duì)這些已有成果進(jìn)行介紹，并分析因果邏輯與函數(shù)式依賴(lài)邏輯這兩個(gè)系統(tǒng)之間的區(qū)別。同時(shí)，為了進(jìn)一步探討兩種路徑之間的聯(lián)系，本文將基于[5]的成果對(duì)因果模型進(jìn)行認(rèn)知方面的擴(kuò)充，從而使我們能夠從認(rèn)知的角度發(fā)掘兩者之間的聯(lián)系。

2 基于結(jié)構(gòu)方程的因果關(guān)系

Pearl，Galles 以及Halpern 提出了經(jīng)典的因果模型來(lái)刻畫(huà)變量間的因果關(guān)聯(lián)。（[8,9,12]）因果模型通過(guò)變?cè)獊?lái)描述模型所要刻畫(huà)的基本事實(shí)，并通過(guò)結(jié)構(gòu)方程刻畫(huà)變量之間影響的方式。值得注意的是，盡管Pearl，Galles 以及Halpern 所提出的因果模型在思想上是相似的，但在具體的定義方式上仍有許多細(xì)節(jié)上的差異（即便在同一作者的不同的文章中，對(duì)因果模型的定義方式也有所差異），因此出于簡(jiǎn)潔考慮本文不再進(jìn)行分別介紹，而是在符號(hào)使用和定義的具體方式上結(jié)合了[10]與[6]中對(duì)因果模型的形式化表述。我們對(duì)于因果模型的形式化定義如下：

定義2.1(因果模型).一個(gè)因果模型是一個(gè)三元組〈S,F,A〉，其中：

·S=〈U,V,R〉是該模型的變?cè)址╯ignature），U={U1,...,Um}是外部變?cè)ㄖ覆皇芷渌冊(cè)绊懙淖冊(cè)┑挠懈F集合,V={V1,...,Vn}是內(nèi)部變?cè)ㄖ甘芷渌冊(cè)绊懙淖冊(cè)┑挠懈F集合。函數(shù)R是變?cè)娜≈捣秶瑢?duì)于U ∪V中的每個(gè)變?cè)猉,R(X)是X這個(gè)變?cè)扇〉闹档募稀?/p>

·F={FVj |Vj ∈V}是結(jié)構(gòu)方程的集合。其中對(duì)于每個(gè)Vj ∈V，F(xiàn)Vj ∈F被稱(chēng)為關(guān)于Vj的結(jié)構(gòu)方程，是從對(duì)Vj外所有變?cè)乃锌赡艿馁x值到R(Vj)的映射：若a是對(duì)Vj以外所有變?cè)馁x值1即a 的定義域?yàn)閁 ∪V {Vj}。，則(a)是R(Vj)中的一個(gè)值。

·A是對(duì)變?cè)娜仲x值函數(shù)2因果模型的賦值部分在不同的文獻(xiàn)中表述方式有所差別。關(guān)于因果模型的經(jīng)典定義中，如[9]以及[10]中的定義，因果模型的賦值只需要通過(guò)外部變?cè)馁x值來(lái)表征。而在其他一些文獻(xiàn)中，如[6]則通過(guò)全部變?cè)馁x值來(lái)表征。本文采取后一種表征方式，原因是這種表征方式更方便我們將因果模型與函數(shù)依賴(lài)模型進(jìn)行比較。，對(duì)于U ∪V中的每個(gè)變?cè)猉，A(X)∈R(X)是A對(duì)X的賦值。若A是一個(gè)對(duì)變?cè)猉1,...,Xn的賦值函數(shù)，且A(X1)=x1,...,A(Xn)=xn，可將A記作(X1=x1,...,Xn=xn)，而當(dāng)X1,...,Xn

在上下文中明確時(shí)，它也可被簡(jiǎn)寫(xiě)為(x1,...,xn)。在因果模型中，全局賦值函數(shù)A必須與結(jié)構(gòu)方程F相符合，即對(duì)于任何Xj ∈V，必有

其中AVj是A中的對(duì)Vj以外所有變?cè)馁x值3即對(duì)任意X ∈U ∪V {Vj}，有AVj(X)= A(X)。。

S定義了一個(gè)因果模型所需要考慮的所有變?cè)拿Q(chēng)及其取值范圍

F用以表示在所有可能的情形下，Vj這個(gè)變?cè)谄渌冊(cè)绊懴滤鶓?yīng)具有的值。值得注意的是，在一些關(guān)于因果模型的論述中（如[6,12]），關(guān)于一個(gè)變?cè)慕Y(jié)構(gòu)方程并不是以所有該變?cè)酝獾淖冊(cè)≈捣绞綖槎x域，而是以某幾個(gè)其他變?cè)娜≈捣绞綖槎x域。但這種定義方式與定義2.1所給出的定義方式并不沖突，因?yàn)橹挥心承┳冊(cè)ǘ侨孔冊(cè)Q定一個(gè)變?cè)≈档那闆r也可以看成是所有其他變?cè)餐瑳Q定一個(gè)變?cè)≈档奶厥馇闆r。

在一個(gè)因果模型〈S,F,A〉中，結(jié)構(gòu)方程組F描述了變?cè)g的因果關(guān)系。我們由此可以定義一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的因果影響。

定義2.2(因果影響).若F是一個(gè)關(guān)于內(nèi)部變?cè)疺的結(jié)構(gòu)方程集。對(duì)于V中的每個(gè)變?cè)猇j，不妨設(shè)變?cè)謩e為U1,...,Um,V1,...,Vj-1,Vj+1,...,Vn,為X1,...,Xm+n-1。

給定結(jié)構(gòu)方程集F，我們稱(chēng)一個(gè)變?cè)猉i對(duì)一個(gè)與之不同的內(nèi)部變?cè)猇j具有直接因果影響，記作Xi →F Vj，當(dāng)且僅當(dāng)：存在多元組

許多文獻(xiàn)中對(duì)因果模型的一個(gè)重要假設(shè)是，因果模型中無(wú)循環(huán)的因果影響。無(wú)循環(huán)的因果影響可以通過(guò)+關(guān)系來(lái)定義：我們稱(chēng)一個(gè)因果模型〈S,F,A〉是無(wú)循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于S中任意兩個(gè)變?cè)猉與Y，如果，則。本文中所提及的因果模型，我們都預(yù)設(shè)無(wú)循環(huán)的因果影響。

在[9]所提出的基于因果模型的形式化路徑中，干預(yù)是用以刻畫(huà)因果推理的核心概念。干預(yù)是對(duì)模型中變量的強(qiáng)制調(diào)整。一個(gè)在模型M上將X的值設(shè)置為x的干預(yù)可以看作是一個(gè)將原模型M映射到干預(yù)后的模型MX=x的算子。經(jīng)過(guò)干預(yù)后的新模型MX=x與原有模型M的差別是新模型MX=x中關(guān)于X這個(gè)變量的結(jié)構(gòu)方程（即FX）被替換為一個(gè)輸出始終為x的常函數(shù)（即對(duì)于任意賦值a，?？蓪⑦@一概念從對(duì)單個(gè)變?cè)母深A(yù)推廣到到對(duì)一組變?cè)母深A(yù)，其一般定義如下：

4如前文所述，我們預(yù)設(shè)因果模型M不包含循環(huán)的因果影響。易證當(dāng)F不包含循環(huán)的因果影響時(shí)，也不包含循環(huán)的因果影響。而對(duì)于不包含循環(huán)的因果影響的結(jié)構(gòu)方程集必有唯一解。因此我們可以保證(i)(ii)(iii)所得到的賦值函數(shù)是唯一的。

公式X?Z的直觀含義是“X對(duì)Z具有直接的因果影響”，它表達(dá)了存在一組對(duì)U ∪V{X,V}中這些變?cè)x值的,使得在這種賦值的基礎(chǔ)上，將X的值從x1變動(dòng)到x2（其中x1與x2不同），根據(jù)結(jié)構(gòu)方程將使Z的值由z1變動(dòng)到z2（其中z1與z2不同）。

3 函數(shù)式依賴(lài)邏輯

函數(shù)式依賴(lài)邏輯是在[1]中提出的關(guān)于變量之間的決定關(guān)系的邏輯。其模型由一系列的變量以及對(duì)變量賦值的集合構(gòu)成。

變量之間的決定關(guān)系是生活中常見(jiàn)而且重要的一種關(guān)系，我們可以通過(guò)如下例子來(lái)說(shuō)明什么是變量間的決定關(guān)系：

例1.假設(shè)魚(yú)肉是否被烤熟取決于放在烤箱中加熱的時(shí)間，在烤箱電源接入的情況下烤箱加熱的時(shí)間由人在機(jī)器上預(yù)設(shè)的時(shí)間決定，如果不接電源則烤箱不運(yùn)轉(zhuǎn)。簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們假設(shè)魚(yú)只有熟與不熟兩種狀態(tài)，時(shí)間只有0 分鐘，5 分鐘，10 分鐘，15 分鐘這四檔，只有當(dāng)加熱不少于10 分鐘時(shí)魚(yú)才熟。我們可以用下面這個(gè)表格來(lái)列舉所有可能的情形：

表1:對(duì)烤箱加熱中各變量間關(guān)系的直觀刻畫(huà)

從直觀上看，設(shè)定時(shí)間和電源狀態(tài)決定了魚(yú)肉的狀態(tài)，但反之，魚(yú)肉的狀態(tài)并不決定設(shè)定時(shí)間和電源的狀態(tài)。而這種直觀在表格上所反映出來(lái)的是如果表格中任意兩行設(shè)定時(shí)間和電源的狀態(tài)都是相同的，那么這些行中所對(duì)應(yīng)魚(yú)肉的狀態(tài)就必定相同的。但反之，魚(yú)肉的狀態(tài)相同的行所對(duì)應(yīng)的設(shè)定時(shí)間和電源狀態(tài)不一定相同。

這樣一個(gè)表格可以看作是一個(gè)關(guān)于變量實(shí)際可能情形的集合，即變量所有取值組合的子集。它能夠通過(guò)“如果確定了某些變量的值，則可確定另一些變量的值”的方式反映變量之間的決定關(guān)系。

LFD 邏輯所基于的函數(shù)式依賴(lài)模型就是以這種方式刻畫(huà)的變量間的數(shù)值。

定義3.1.一個(gè)（關(guān)于變量集V的）函數(shù)式依賴(lài)模型M 是一個(gè)二元組(M,A)，其中M=(O,I)是一個(gè)一階關(guān)系模型（O為一階模型的論域而I是一階模型的解釋函數(shù)），而A ?OV是可取變量賦值的集合（對(duì)于任意s ∈A，x ∈V我們稱(chēng)s(x)∈O為變量賦值s 對(duì)x 所賦的值或在s 上x(chóng) 的值）

LFD 邏輯的語(yǔ)言中包含兩種用以表達(dá)函數(shù)式依賴(lài)的算子D與D，分別表達(dá)一組變?cè)獙?duì)一個(gè)變?cè)档臎Q定關(guān)系以及一組變?cè)獙?duì)一個(gè)命題真假的決定關(guān)系。

定義3.2(LFD 的語(yǔ)言).LFD 語(yǔ)言中的公式φ的遞歸定義如下

給定函數(shù)式依賴(lài)模型M=(M,A)，我們稱(chēng)在s上變?cè)疿決定變?cè)獃（或稱(chēng)變?cè)獃依賴(lài)于變?cè)疿），記作s |=DXy，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意t ∈A，若對(duì)任意x ∈X,s(x)=t(x)成立，則s(y)=t(y)；我們稱(chēng)在s上，變?cè)疿決定了命題φ（命題φ依賴(lài)于變?cè)疿），記作s|=DXφ，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意t ∈A，若對(duì)任意x ∈X,s(x)=t(x)成立，則t|=φ。

烤箱加熱的例子可以被形式化為一個(gè)包含四個(gè)變?cè)暮瘮?shù)式依賴(lài)模型M（電源、設(shè)定時(shí)間、加熱時(shí)間、魚(yú)肉狀態(tài)可以看成是四個(gè)變量），在這個(gè)模型中，可取變?cè)x值的集合A就是表1所列的所有組合的集合。假設(shè)在s這個(gè)狀態(tài)上，電源=關(guān)，設(shè)定時(shí)間=加熱時(shí)間=0，魚(yú)肉狀態(tài)=不熟，那么根據(jù)對(duì)函數(shù)式依賴(lài)算子的定義，{電源,設(shè)定時(shí)間}這個(gè)變?cè)瘺Q定了魚(yú)肉狀態(tài)，寫(xiě)作s|=D{電源,設(shè)定時(shí)間}魚(yú)肉狀態(tài)。但反之，根據(jù)函數(shù)式依賴(lài)算子所在公式的真之條件，{魚(yú)肉狀態(tài)}這個(gè)單元集既不決定電源這個(gè)變?cè)?，也不決定設(shè)定時(shí)間這個(gè)變?cè)?。這和我們直觀上對(duì)這個(gè)例子中變量間決定關(guān)系的理解是一致的。

4 因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型的比較

因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型都刻畫(huà)了變量間的相關(guān)性。例如在烤箱的例子當(dāng)中，我們不僅可以用函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系來(lái)刻畫(huà)電源、設(shè)定時(shí)間、加熱時(shí)間、魚(yú)肉狀態(tài)四者之間的關(guān)系，我們也可以通過(guò)建立因果模型來(lái)描述這些變量間的相關(guān)性：

如果我們?yōu)榭鞠涞睦咏⑾鄳?yīng)的因果模型〈S,F,A〉，那么S中包含“電源”、“設(shè)定時(shí)間”、“加熱時(shí)間”、“魚(yú)肉狀態(tài)”這四個(gè)變?cè)渲小凹訜釙r(shí)間”、“魚(yú)肉狀態(tài)”為內(nèi)部變?cè)={F加熱時(shí)間,F魚(yú)肉狀態(tài)}。其中F加熱時(shí)間可以被表達(dá)為：如果電源的狀態(tài)為開(kāi)，則加熱時(shí)間的值與設(shè)定時(shí)間的值相同，如果電源狀態(tài)為關(guān)，則加熱時(shí)間的值為0；F魚(yú)肉狀態(tài)可以表達(dá)為，魚(yú)肉狀態(tài)為“熟”當(dāng)且僅當(dāng)加熱時(shí)間等于10 或15。F加熱時(shí)間與F魚(yú)肉狀態(tài)共同描述了這個(gè)例子中變量間的相互影響。并且不難驗(yàn)證，同時(shí)符合F加熱時(shí)間與F魚(yú)肉狀態(tài)的所有賦值正是表格1中所列舉的值。

本章將著重比較兩種路徑的異同。

4.1 因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型的對(duì)應(yīng)

我們看到，例1所對(duì)應(yīng)的因果模型為〈S,F,A〉，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式依賴(lài)模型M=(M,A)中A等同于所有與F相符合的對(duì)S中變?cè)x值的集合。更一般地，一個(gè)因果模型描述了變量所必須遵循的因果規(guī)律，而所有滿足這些因果規(guī)律的情形反映出了變量之間相互依賴(lài)的關(guān)系。所以很自然地，我們可以將后者看作是這個(gè)因果模型所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式依賴(lài)模型：

定義4.1.我們稱(chēng)一個(gè)以V為變?cè)暮瘮?shù)式依賴(lài)模型M=(M,A)（其中M=(O,I)）是因果模型C=〈S,F,A〉（其中S=〈U,V,R〉）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式依賴(lài)模型當(dāng)且僅當(dāng)：V=U ∪V,∪X∈U∪V R(X)?O，且對(duì)任意a ∈A及任意X ∈U ∪V有a(X)∈R(X)，且A中有且僅有與F相符合的對(duì)S中變?cè)馁x值。

通過(guò)因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以對(duì)在前者基礎(chǔ)上定義的因果影響，與在后者基礎(chǔ)上定義的函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系進(jìn)行比較。

4.2 因果影響與函數(shù)式依賴(lài)的區(qū)別與聯(lián)系

因果模型中所定義的因果影響與LFD 所定義的函數(shù)式依賴(lài)都是對(duì)變量相關(guān)性的描述，但是兩者之間并不等同。因果模型中的因果影響刻畫(huà)了變量之間的“因果上的相關(guān)性”，而函數(shù)式依賴(lài)刻畫(huà)了變量之間“觀察上的相關(guān)性”。所謂觀察上的相關(guān)性指的是變量在觀察結(jié)果上所呈現(xiàn)出來(lái)的相關(guān)性。例如若A 和B 兩個(gè)事件要么同時(shí)發(fā)生，要么同時(shí)不發(fā)生時(shí)，則他們之間存在一種觀察上的聯(lián)系：若觀察到A 發(fā)生或不發(fā)生，則B 的發(fā)生與否就是確定的。這種相關(guān)性可以是因果的，比如:

例2.地面結(jié)冰導(dǎo)致地很滑。所以當(dāng)觀察到地面結(jié)冰時(shí)，“滑”這個(gè)變量的值就是確定的。

但不具有因果關(guān)系的變量之間也可以呈現(xiàn)出觀察上的相關(guān)性。這種相關(guān)性可能來(lái)源于認(rèn)知上的“證據(jù)”，例如：

例3.一起案件中有甲乙兩個(gè)嫌疑人。其他人都有不在場(chǎng)證明。所以若甲是清白的，那么乙就確實(shí)作案了。

在這個(gè)例子中，甲作案與否和乙作案與否并沒(méi)有因果關(guān)系（“甲清白”和“乙作案”的聯(lián)系并不是源于甲的清白會(huì)導(dǎo)致乙作案），而是因?yàn)槠渌说牟辉趫?chǎng)證據(jù)才建立了這種聯(lián)系。

這種差異體現(xiàn)為：一個(gè)變量與另一個(gè)變量滿足函數(shù)式依賴(lài)的條件并不意味著前者對(duì)后者具有直接因果影響。例如考慮以下例子：

例4.在一個(gè)因果模型中僅有A和B兩個(gè)變量，其中A是外部變?cè)鳥(niǎo)是內(nèi)部變?cè)?。結(jié)構(gòu)方程FB的定義方式是FB(a)=x當(dāng)且僅當(dāng)a(A)=x。

顯然在這個(gè)例子中對(duì)于任意與FB相符合的賦值，A與B的賦值必定相同。因此在與該因果模型對(duì)應(yīng)的函數(shù)式依賴(lài)模型中，滿足LFD 中對(duì)函數(shù)式依賴(lài)算子D{B}A的定義（即A依賴(lài)于變?cè)狟,或稱(chēng)變?cè)狟本地決定變?cè)狝）。然而由于A是外部變?cè)?，將FB替換為任意常函數(shù)都無(wú)法使A的值發(fā)生變化，B對(duì)A不具有因果影響。

正如[12] 所強(qiáng)調(diào)的，“觀察上的相關(guān)性”并不等同于“因果的相關(guān)性”。在例4中，A對(duì)B的因果影響在觀察上體現(xiàn)為“A與B的值總是相同”這一變量間的相關(guān)性，但是僅“A與B的值總是相同”這一性質(zhì)出發(fā)不足以區(qū)分到底是A在因果上影響了B還是B在因果上影響了A。

但另一方面，正如“觀察上的相關(guān)性”與“因果的相關(guān)性”是相互關(guān)聯(lián)的（例如雖然不能從觀察上的相關(guān)性推出因果的相關(guān)性,但如果兩個(gè)變?cè)嬖谝蚬绊憚t這種影響往往在觀察上體現(xiàn)為某種相關(guān)性），函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系和因果影響雖不可等同，卻仍具有緊密關(guān)聯(lián)。例如函數(shù)式相關(guān)與因果影響滿足以下性質(zhì)：

該性質(zhì)直觀上反映了，任何一個(gè)變?cè)急黄湟蚬腹?jié)點(diǎn)的集合（所有對(duì)該變?cè)哂幸蚬绊懙淖冊(cè)募希┧鶝Q定。

5 對(duì)因果模型的認(rèn)知擴(kuò)展

如前一章所述因果上的相關(guān)性與觀察上的相關(guān)性既有聯(lián)系又有區(qū)別。因果模型只反映了變?cè)g因果上的相關(guān)性，以及由因果相關(guān)性所帶來(lái)的觀察上的相關(guān)性，但不能反映由因果以外的因素帶來(lái)的觀察上的相關(guān)性。

因此我們將對(duì)因果模型進(jìn)行擴(kuò)展，使之能夠表征認(rèn)知上的相關(guān)性。借鑒認(rèn)知邏輯中對(duì)不確定性的處理，不確定性可以通過(guò)可能世界的集合進(jìn)行刻畫(huà)（[2-4]）。在因果模型中一個(gè)可能世界可以視為一組對(duì)全部變量的賦值，因此我們可以以一個(gè)變?cè)x值的集合來(lái)刻畫(huà)因果模型中變?cè)档牟淮_定性。例如一個(gè)因果模型中有兩個(gè)變?cè)猉1與X2兩個(gè)變?cè)?，其中R(X1)=R(X2)={1,2}。我們可以用T={(1,1),(2,1)}這個(gè)集合來(lái)表達(dá)對(duì)X1,X2的真實(shí)賦值是(1,1)還是(2,1)的不確定性（與經(jīng)典因果模型中的書(shū)寫(xiě)方式一樣我們將一個(gè)把X1賦為1，X2賦為2 的賦值簡(jiǎn)寫(xiě)為(x1,x2)這樣一個(gè)二元組），這樣T就表達(dá)了對(duì)X2為1 的確定性以及對(duì)X1值的不確定性。

因此我們將認(rèn)知因果模型由二元組(S,F)擴(kuò)展為一個(gè)三元組(S,F,T)。我們采用[5]中的定義：

定義5.1(認(rèn)知因果模型).一個(gè)認(rèn)知因果模型是一個(gè)三元組〈S,F,T〉，其中S=〈U,V,R〉是變?cè)址?F是關(guān)于V的（不包含循環(huán)的因果影響的）結(jié)構(gòu)方程集，T是關(guān)于U ∪V的賦值函數(shù)的非空集合，且T中的每個(gè)變?cè)x值都與F相符合。

將經(jīng)典的因果模型擴(kuò)展為認(rèn)知因果模型后，相應(yīng)地，我們也可以定義認(rèn)知因果模型上的干預(yù)：

在將因果模型進(jìn)行認(rèn)知角度擴(kuò)展的同時(shí)，我們也對(duì)其語(yǔ)言做相應(yīng)的擴(kuò)展。在經(jīng)典的因果語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，我們加入了用以表達(dá)知識(shí)的“K”算子和用以表達(dá)信息更新的“!”算子。Kφ表達(dá)了認(rèn)知主體知道φ成立，而[ψ!]φ表達(dá)了在觀察到ψ這一事實(shí)之后，φ這個(gè)命題成立。

同時(shí)[5]證明了因果模型的認(rèn)知擴(kuò)展能夠被公理化，并提供了其完全性證明。

6 認(rèn)知因果模型與函數(shù)式依賴(lài)的關(guān)系

當(dāng)我們將因果模型進(jìn)行了認(rèn)知擴(kuò)充之后，我們可以基于定義4.1得到一個(gè)認(rèn)知因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

定義6.1.我們稱(chēng)一個(gè)以V為變?cè)暮瘮?shù)式依賴(lài)模型M=(M,A)（其中M=(O,I)）是認(rèn)知因果模型〈S,F,T〉所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式依賴(lài)模型當(dāng)且僅當(dāng)：V=U ∪V,R(X)?O，且A=T。

由此我們可以將因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型進(jìn)行比較。但需要注意的是，函數(shù)式依賴(lài)模型并不依賴(lài)變?cè)址怯懈F的，即變?cè)臄?shù)目與變?cè)≈捣秶梢允菬o(wú)窮的。而在因果模型中，變?cè)址仨毷怯懈F的，因此當(dāng)我們比較一個(gè)因果模型與函數(shù)式依賴(lài)模型時(shí)，都只能在變?cè)址懈F的范圍內(nèi)進(jìn)行。

[1]指出，函數(shù)式依賴(lài)也可以從認(rèn)知角度進(jìn)行理解，所謂“一個(gè)變?cè)猋被一個(gè)變?cè)蟂所決定”也可以理解為：只要獲知S中變?cè)娜我馊≈?，就能知道Y這個(gè)變?cè)闹怠?/p>

也就是說(shuō)，當(dāng)我們預(yù)設(shè)變?cè)臄?shù)量及取值范圍有窮時(shí)，我們能將LFD 中帶有函數(shù)式依賴(lài)算子的公式翻譯為L(zhǎng)PAKC中的公式。

7 結(jié)論

在本文中，我們介紹了因果模型、函數(shù)式依賴(lài)模型，并分析了基于因果模型所定義的因果影響與基于函數(shù)式依賴(lài)模型定義的變量間決定關(guān)系的差異與聯(lián)系：因果影響不等于函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系，后者只反映了變量之間在觀察上的相關(guān)性；但同時(shí)我們證明了基于因果模型上的因果影響關(guān)系，任意變量因果母節(jié)點(diǎn)的集合與該變量都存在函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系。

為了從認(rèn)知層面進(jìn)一步比較因果關(guān)系與函數(shù)式依賴(lài)關(guān)系，本文介紹[5]對(duì)因果模型進(jìn)行認(rèn)知擴(kuò)展的工作，從而在認(rèn)知層面找到因果模型的路徑與函數(shù)式依賴(lài)模型的路徑的聯(lián)系。這種聯(lián)系在邏輯上體現(xiàn)為當(dāng)預(yù)設(shè)變量的數(shù)目與取值范圍為有窮時(shí)，存在LFD 語(yǔ)言LPAKC（對(duì)因果邏輯的語(yǔ)言進(jìn)行認(rèn)知擴(kuò)展后的語(yǔ)言）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)然兩種路徑之間的聯(lián)系并不僅限于本文所討論的這些方面，有待于未來(lái)進(jìn)一步的探索。同時(shí)本文對(duì)兩種路徑的比較局限于變?cè)懈F這一范圍內(nèi)（而函數(shù)式依賴(lài)模型本身并不預(yù)設(shè)有窮變?cè)鴮?duì)于無(wú)窮變?cè)闆r下的討論仍然有待研究。