關(guān)于“現(xiàn)在”算子冗余性的一個注記

孫洋 郭美云

1 引言

指示詞（indexical）在人類語言中普遍存在，像“現(xiàn)在”（now），“這里”，“我”等等。上述列舉的這類指示詞的意義通常依賴于上下文語境，在不同的語境下說出含有這類指示詞的句子，往往意味著不同的時間、地點和人。時間指示詞（temporal indexical）是一類與時態(tài)邏輯關(guān)聯(lián)緊密的指示詞，“現(xiàn)在”是最常見的時間指示詞之一。

早期的基本時態(tài)邏輯只有兩個時態(tài)算子：過去算子P和將來算子F。盡管如此，基本時態(tài)語言卻有著極強的表達力，不僅可以做出豐富的時間論述，還可以對時間的結(jié)構(gòu)做出復(fù)雜的闡述。隨著時態(tài)邏輯研究的深入，一些學者開始考慮只包含P，F(xiàn)算子的時態(tài)邏輯的表達力是否真的足夠?！艾F(xiàn)在”這一最簡單的時態(tài)語詞，進入到邏輯學家視野之中。

1967 年，坎普（H.Kamp）把他在UCLA（University of California,Los Angeles）研討班上關(guān)于“現(xiàn)在”的邏輯筆記發(fā)給了普萊爾（A.Prior），坎普所使用的二維語義方式（two-dimensional approach）對普萊爾帶來了很大的啟示。普萊爾在[13]中用一維的方式，將坎普的工作整合到了時態(tài)邏輯中。他利用混合邏輯，為二維UT演算和包含“現(xiàn)在”算子N的一維時態(tài)邏輯建立了橋梁，而且提出了關(guān)于“現(xiàn)在”的時態(tài)混合邏輯的公理化系統(tǒng)。

坎普在1971 年發(fā)表了他關(guān)于“現(xiàn)在”的論文（[9]），通過分析“現(xiàn)在”在語言中的作用，提出了二維語義（two-dimensional semantics）解釋“現(xiàn)在”算子，同時給出了語境有效的概念。他進而闡述了如何將一般的時態(tài)邏輯的公理系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)椤艾F(xiàn)在”的時態(tài)邏輯公理系統(tǒng)。這篇論文被認為是技術(shù)性地研究指示詞邏輯（logic of indexical）的起點，他引入的二維語義也被廣泛使用于許多領(lǐng)域。

卡普蘭（D.Kaplan）將坎普關(guān)于“現(xiàn)在”算子的工作進一步提煉并推廣到其它指示詞，在[10]引入了特征（character）的概念，一個指示詞的特征是一個將指示詞映射到說話語境的具體事務(wù)的函數(shù)。例如，人稱代詞“我”的特征是把“我”投射到給定語境的說話者上。時間指示詞，“現(xiàn)在”，“昨天”，“明天”也可以應(yīng)用“特征”這一概念進行處理。

坎普和卡普蘭的工作都是基于一般時態(tài)邏輯做的，還可以基于混合邏輯的基礎(chǔ)上去做時間指示詞的研究。近年來，布萊克本（P.Blackburn）和喬根森（K.J?rgensen）等人在這方面有較多的研究，布萊克本在[3]中指出，用混合邏輯去研究時態(tài)指示詞更加自然，因為混合邏輯允許提及時刻。布萊克本和喬根森在[4]中對“現(xiàn)在”的混合時態(tài)邏輯做了深入研究，采用了由卡普蘭推廣了的二維語義學和表格系統(tǒng)（Tableau system），證明了邏輯完全性（Logical Completeness）和語境完全性（Contextual Completeness）,進而證明了“昨天”，“今天”，“明天”的混合時態(tài)邏輯的完全性。他們還發(fā)現(xiàn)時間指示詞“現(xiàn)在”在邏輯有效和語境有效之間扮演著某種演繹橋梁（deductive bridge）的作用。而后他們又在[5]中采用了指示時間語義（designated time sematics），這一語義更加接近混合邏輯的標準語義，還構(gòu)造了“現(xiàn)在”的混合時態(tài)邏輯公理系統(tǒng)，并且證明了邏輯完全性。在證明語境完全性時，引入了坎普規(guī)則：如果?@nowφ，那么?φ。并規(guī)定這個規(guī)則只能在證明中使用一次，而且只能是在倒數(shù)第二步使用。他們認為這一規(guī)則連接了邏輯有效和語境有效。

時間問題是貫穿于哲學史中的一個基本問題，很多哲學理論都依賴于對時間的不同理解或假定，如柏格森和海德格爾等人的哲學。麥克塔加（J.E.McTaggart）將描述時間的概念區(qū)分為A-系列：過去、現(xiàn)在和將來；B-系列：在先、在后和同時。A-系列認為時間總是有一個相對于“現(xiàn)在”的位置，是過去，或者是現(xiàn)在，又或者是將來。因此，A-系列是一種動態(tài)的、局部的時間觀。普萊爾接受了這種動態(tài)時間觀并且認為變化是與事件緊密聯(lián)系在一起的。普萊爾正是基于這樣的時間觀，創(chuàng)立一個用過去、現(xiàn)在和將來等基本時間概念構(gòu)造一個關(guān)于A-理論時間的邏輯系統(tǒng)，即時態(tài)邏輯。A-理論時間哲學家們通常認為只有“現(xiàn)在”才是真實的，過去和將來都不是實在的。所以，他們又常被稱作“現(xiàn)在主義者”（Presentism）。

時態(tài)邏輯的研究，有助于我們厘清時間問題，同時加深我們對時間的理解。從根本上講，時態(tài)邏輯是關(guān)于當前（the present）的討論，它利用時態(tài)算子P、F將當前的信息與過去、將來的信息關(guān)聯(lián)起來，而過去（將來）的信息都曾經(jīng)（未來）是“當前”的信息?！爱斍啊痹跁r態(tài)邏輯中扮演著極為重要的角色，而“現(xiàn)在”又與“當前”有著緊密的聯(lián)系?！艾F(xiàn)在”的研究，正是對時態(tài)邏輯的初始點進行深入的探討。

“現(xiàn)在”算子的冗余性，是關(guān)于“現(xiàn)在”研究的核心問題之一。普萊爾在[12]中認為“現(xiàn)在”算子是冗余的。而后，普萊爾接受了坎普的觀點：“現(xiàn)在”算子是一種二維模態(tài)算子，許多性質(zhì)不同于一維算子?？财赵赱9]中證明了在時態(tài)命題邏輯中，“現(xiàn)在”算子是冗余的，而在時態(tài)謂詞邏輯中該算子不是冗余的。他在研究“現(xiàn)在”算子的冗余性問題時，通過引入J-tense 的概念，把真值聯(lián)結(jié)詞和時態(tài)算子作為一種情形進行處理，造成了證明的晦澀。

本文利用伯吉斯（J.Burgess）證明“現(xiàn)在”算子的冗余性的思路，重新對“現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯中的冗余性定理進行證明，補充了簡化公式存在性這一關(guān)鍵步驟的證明，并利用證明中的處理方式，來分析自然語言中的時態(tài)語句。文章結(jié)構(gòu)安排如下：第二節(jié)將對含有“現(xiàn)在”時態(tài)句子進行分析，從而討論時態(tài)語言的表達力和“現(xiàn)在”算子的冗余性問題；第三節(jié)給出含有“現(xiàn)在”算子的時態(tài)語言和語義，以及“語境有效”等概念，進而嚴格證明“現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯中是冗余的；第四節(jié)介紹“現(xiàn)在”算子的相關(guān)工作并進行了總結(jié)。

2 包含“現(xiàn)在”時態(tài)句子的邏輯分析

在古典命題邏輯中，命題聯(lián)結(jié)詞的完備性問題與語言表達力的問題相關(guān)，所有真值聯(lián)結(jié)詞都可以被具有函數(shù)完備性的聯(lián)結(jié)詞集所表達出來。在時態(tài)邏輯中也有著語言表達力的問題。首先，我們看一下坎普在[9]中給出的兩個句子：

1 一個已經(jīng)出生的小孩，他會統(tǒng)治這個世界。（A child was born that would become ruler of the world.）

2 一個已經(jīng)出生的小孩，他未來會統(tǒng)治這個世界。（A child was born that will become ruler of the world.）

論域限定在小孩上，Bx表示x出生。Rx表示x統(tǒng)治這個世界，用Pφ表示過去發(fā)生過情形φ，F(xiàn)φ表示將來會發(fā)生情形φ?？财罩赋?，句子1 可以用時態(tài)謂詞邏輯形式化為：P?x(Bx ∧FRx)。

當我們試圖去對句子2 進行形式化時，我們失敗了。因為句子1、2 中“出生在過去”都是針對說話者說話的時刻即“現(xiàn)在”，而兩句話的不同之處在于，“他將統(tǒng)治這個世界”所針對的時刻不同：1 表示他在出生之后將會統(tǒng)治這個世界，2表示他將在“現(xiàn)在”之后統(tǒng)治這個世界。正是基于這樣的分析，所以有必要在時態(tài)語言中引入“現(xiàn)在”算子（N），“N”算子把他統(tǒng)治世界的時間規(guī)定到了“現(xiàn)在”之后。使用加入了“N”算子的時態(tài)語言（Nφ表示“現(xiàn)在的情形是φ”），坎普把句子2 可以形式化為：P?x(Bx ∧NFRx)。

有了“現(xiàn)在”算子N之后，時態(tài)謂詞邏輯語言是否就可以表達日常生活中的關(guān)于時間的所有論述？我們看一下范丙申（J.van Benthem）在[1]中給出的兩個句子：

3 有一天，所有現(xiàn)在活著的人都將死去。（One day,all persons alive now will be dead.）

首先使用謂詞邏輯語言，范丙申將句子3 形式化為：?t1(Rtt1∧?x(Axt →Dxt1))，其中t是自由變元，表示當前時刻，Rts表示t早于s，Axt表示在t時刻x是活著的，Dxt表示在t時刻x是死的。在加入了“N”算子的時態(tài)謂詞語言中，范丙申將上述句子形式化為：F?x(NAx →Dx)，其中Ax表示x是活著的，Dx表示x是死的，句子3 的時態(tài)關(guān)系如圖1 所示。含“現(xiàn)在”算子的時態(tài)語言是可以表達句子3 的含義，這是由于句子3 沒有涉及其他更多更復(fù)雜的關(guān)于時間的語詞。而接下的例子較為復(fù)雜：

4 有一天，曾經(jīng)活著的人們會死去。（One day,all persons alive then would be dead.）

范丙申采用謂詞邏輯將句子4 形式化為：?t1(Rt1t ∧?t2(Rt1t2∧?x(Axt1→Dxt2))。如果使用帶“現(xiàn)在”算子的時態(tài)謂詞語言，句子4 只能被形式化為：PF?x(NAx →Dx)，但它表示在過去將來的某一天，現(xiàn)在活著的人都將死去，即：?t1(Rt1t∧?t2(Rt1t2∧?x(Axt →Dxt2))。范丙申指出它與句子4 所要表達的含義不同。

圖1:句子3 的時態(tài)關(guān)系

圖2:句子4 的時態(tài)關(guān)系

在上例中，“N”算子只能將時間拉回到t時刻，而無法表示出t1時刻。弗拉赫（F.Vlach）在[15]中，指出需要引入“那時”算子（E）才能表達這樣的自然語言句子。通過引入“E”算子，可以把時間記錄在到t1時刻，使得t1時刻表示“現(xiàn)在”時刻，用Eφ表示“那時的情形是φ”。范丙申指出，句子4 可以形式化如下：PEF?x(NAx →Dx)，句子4 的時態(tài)關(guān)系如圖2 所示。

句子4 說明，語言表達力不足的問題，在時態(tài)邏輯語言中是常見的。由以上句子的形式化，我們直觀上可以看出“現(xiàn)在”算子在時態(tài)謂詞邏輯中并不是冗余?？财找惨呀?jīng)從技術(shù)上嚴格證明了“現(xiàn)在”算子在時態(tài)謂詞邏輯中并不是冗余的。（[9]）但在時態(tài)命題邏輯中，“現(xiàn)在”算子的冗余問題就變得不那么不明顯。

普萊爾（[13]）曾舉例“現(xiàn)在的情形是我正在坐著”（It is now the case that I am sitting down）和“我正在坐著”（I am sitting down），從日常語言的角度看，這兩句話表達的是同一個含義，所以認為是同一個命題，即在“現(xiàn)在”時刻，Np ?p。這種情況下，N算子顯然是冗余的。

接下來，我們看一下這個句子，“將來，我此時此刻是坐著的”（It will be the case that I am sitting down now）,“now”指的是說出整句話的時刻，而此時will 不起作用?！皀ow”將“我坐著”這個動作發(fā)生的時間限定在了說話者說出這句話的時刻，而不是將來的某個時刻。再看這兩個句子，“將來，我會環(huán)游世界”（It will be the case that I travel round the world）和“將來，我現(xiàn)在正環(huán)游世界”（It will be the case that I travel the world now）。第二個句子有些奇怪，我們在日常生活中不會那樣表述。但是顯然這兩句話表達的含義不同，所以Fp ?FNp是不成立的?！艾F(xiàn)在”算子N在F算子的轄域內(nèi)，這時把Np替換為p，句子含義被改變了。我們通常認為Np ?p是成立的，但是如果在N算子從其他時態(tài)算子X的轄域中，那么XNp ?Xp通常是不成立的。但坎普指出在命題時態(tài)邏輯中，N算子是冗余的。在N算子從其他時態(tài)算子X的轄域中時，我們不能簡單得直接將N算子去掉，我們要先把N算子從其他時態(tài)算子的轄域中提取出來同時不改變句子的意義，這樣再把最外層的N算子去掉，才能達到消除“現(xiàn)在”N算子的目標。第二個句子“將來，我會現(xiàn)在就環(huán)游世界”，這個句子包含兩部分內(nèi)容，首先斷定了將來存在，然后是“我現(xiàn)在正環(huán)游世界”，所以我們認為FNp ?F?∧Np是成立，從而可知FNp ?F?∧p成立。因此，從以上分析可以在直觀上表明，N算子是冗余的。下面我們從技術(shù)上嚴格證明這一結(jié)論，之后我們還會回到這個例子。

3 “現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯的冗余問題

首先，我們給出含有“現(xiàn)在”算子的時態(tài)命題邏輯語言和語義，以及語境有效等概念。

定義1.“現(xiàn)在”的時態(tài)語言Lnt由命題變元集Prop、命題聯(lián)結(jié)詞集{⊥,?,∧}、基本時態(tài)算子{G,H}和“現(xiàn)在”算子N構(gòu)成。該語言的公式歸納定義如下：

其中p ∈Prop，其他命題聯(lián)結(jié)詞采取標準定義。

Gφ表示“將來總是情形φ”，Hφ表示“過去總是情形φ”，Nφ表示“現(xiàn)在是情形φ”。Fφ:=?G?φ，Pφ:=?H?φ。

定義2.一個時態(tài)框架F 是一個二元組(T,R)，其中T是非空集合，R是T上的二元關(guān)系。一個“現(xiàn)在”的時態(tài)框架是一個二元組(F,n)，其中n ∈T，n表示“現(xiàn)在”的時刻。一個“現(xiàn)在”的時態(tài)模型(M,n)是基于時態(tài)框架(F,n)的三元組(F,n,V)，V是由命題變元集到T的冪集的賦值函數(shù)。

定義3.任給時態(tài)模型M 和時刻n,t ∈T，其中,公式φ在模型(M,n)中的t時刻上為真（記為：(M,n),t?φ），遞歸定義如下:

只有當處理形如Nφ的公式時，“現(xiàn)在”時刻n才起作用。

一個公式φ在“現(xiàn)在”的時態(tài)框架(F,n)上是語境有效的（記為：(F,n),n|=φ），如果對所有基于(F,n) 的模型(M,n)，(M,n),n |=φ。一個公式是語境有效的，如果它對所有“現(xiàn)在”的框架都是語境有效的。（[9]）一個公式φ在框架F 上是邏輯有效的（記為：F|=φ），如果任給n,t ∈T，任意基于(F,n)的模型，(M,n),t|=φ。一個公式φ是邏輯有效的（記為：?φ），如果它在任意框架都是邏輯有效的?！罢Z境有效”的概念實際上就是一般模態(tài)邏輯中的“點框架有效”的概念（即一個模態(tài)公式χ在一個模態(tài)框架H 的一個可能世界w上是有效的，如果對任意基于H 的模態(tài)模型N，χ在N 中的w上為真。（[2]）

一個公式是邏輯有效的，那么它也是語境有效的。反之，則不成立。例如，公式p ?Np是語境有效的，但不是邏輯有效的。由此可知，在邏輯有效的意義上，現(xiàn)在算子N不是冗余的。現(xiàn)在算子N和“現(xiàn)在”時刻n密切相關(guān)，所以才定義出了語境有效的概念，語境有效只關(guān)注于公式在“現(xiàn)在”時刻的有效性。在語境有效的意義上，“現(xiàn)在”算子的冗余性可以得到更好的討論。

以下命題在冗余性的證明過程中會使用到。

命題1.(1)φ ?Nφ是語境有效的。

(2)N?φ ??Nφ是邏輯有效的。

接下來我們按照伯吉斯的思路進行N算子冗余性的證明，給定含有N算子的公式φ，首先找到一個所有N算子不在其他時態(tài)算子轄域內(nèi)的并且與φ語境等價的公式φR，然后再將所有的N算子去掉得到公式(φR)-，(φR)-與φ語境等價且不含有N算子。由于最后一步去掉N算子，用到了φ ?Nφ是語境有效的，所以N算子在語境有效的意義下是冗余的。

冗余問題的關(guān)鍵在于處理公式中的N算子出現(xiàn)在G,H算子的轄域中的情況。一旦公式中N算子沒有出現(xiàn)在G,H算子的轄域中，我們就可以利用“Nφ ?φ是語境有效的”（即：將當前時刻點作為“現(xiàn)在”時刻點），從而將N算子去掉。下面我們介紹伯吉斯的簡化公式的概念，并且由于在下述證明中使用到了類似古典命題邏輯中的析取范式的處理方式，我們定義該語言的析取范式概念。

定義4.一個公式是簡化公式，如果該公式中的N算子不出現(xiàn)在G,H算子的轄域中。如公式:p →NGp，p ∧NG(q →Hp)是簡化的，而GNp，G(q →NHp)不是簡化的。之后我們使用φR、ψR表示簡化公式。

定義5.一個公式是基礎(chǔ)公式，如果它是命題變元，或者形如Nχ、Gχ、Hχ，其中χ為任意公式。例如：G(Np →q)，p，NHp都是基礎(chǔ)公式。

定義6.一個公式是析取范式φ∨，如果它形如1i ∈n 表示i ∈{0,1,...,n-2,n-1}，∨i∈n j∈mi ψij 即為0≤i≤n-10≤j ≤mi-1 ψij。，每個ψij都是基礎(chǔ)公式或者基礎(chǔ)公式的否定。一個公式是合取范式φ∧，如果它形如。

析取范式和合取范式的存在定理在之后的證明中會使用到。

定理1.對每一個公式φ，都存在一個析取范式φ∨和合取范式φ∧，使得φ ?φ∨和φ ?φ∧是邏輯有效的。

證明.與古典命題邏輯的析取、合取范式存在定理證明類似，詳情可參見[8]。

如下定理正是本文要證明的最終結(jié)果，即“在語境有效的意義上，現(xiàn)在算子N在命題時態(tài)邏輯中是冗余的”。

定理2.對任意公式φ，存在一個不含N算子的公式ψ使得φ ?ψ是語境有效的。

為了證明N算子的冗余性定理2，我們需要分別證明引理2 和3。處理引理2的歸納步驟中G、H前置的情況，我們需要證明如下的引理1。

引理1.如果ξR是簡化公式，那么

(1) 存在簡化公式φR使得GξR ?φR是語境有效的；

(2) 存在簡化公式ψR使得HξR ?ψR是語境有效的。

證明.由于(1)、(2)的證明是類似的，我們這里只證明(1)。由定理1 可知，存在析取范式α，使得|=ξR ?α。只需證得，存在簡化公式φR使得Gα ?φR是語境有效的。任給框架F 和n ∈T，令(M,n)為任意基于(F,n)的“現(xiàn)在”的時態(tài)模型。令α=。因為ξR是簡化公式，顯然α也是簡化公式。

對α的結(jié)構(gòu)分情況討論：當n=1 時，

· 如果m0=1，則α=β00，即α是一個基礎(chǔ)公式或基礎(chǔ)公式的否定。

– 當α形如Nχ，

(M,n),n|=GNχ當且僅當 任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n),s|=Nχ；

當且僅當 任意s ∈T，并非Rns或者(M,n),n|=Nχ；

當且僅當 任意s ∈T并非Rns，或者(M,n),n|=Nχ；

當且僅當(M,n),n|=G⊥或者(M,n),n|=Nχ；

當且僅當(M,n),n|=G⊥∨Nχ

因為α是簡化公式，所以G⊥∨Nχ也是簡化公式。

– 當α形如?Nχ。由于?Nχ ?N?χ是邏輯有效的，處理與上述情形類似。

– 當α是命題變元、或者形如Gχ、Hχ、或者他們的否定時。因為α是簡化公式，所以χ中不含N算子。由此可知Gα也是簡化公式。

· 如果m0≥2。

如果所有j ∈m0，β0j中均不含有N算子，則Gα就是簡化公式。

如果存在β0j中含有N算子，不妨假設(shè)只有β00,β01...β0(k-1)中含有N算子，其中k ≤m0。令（注：k=m0時，γ0=?），顯然α=χ0∧γ0。

(M,n),n|=G(χ0∧γ0)

當且僅當 任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n),s|=χ0∧γ0；

當且僅當 任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n),s|=χ0并且(M,n),s|=γ0；

當且僅當 任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n),s|=χ0，并且，如果Rns，那么(M,n),s|=γ0；

當且僅當 任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n),s|=χ0，并且，任意s ∈T如果Rns，那么(M,n),s|=γ0；

當且僅當 (M,n),n|=G⊥∨χ0并且(M,n),n|=Gγ0；

當且僅當 (M,n),n|=(G⊥∨χ0)∧Gγ0。

因為γ0中不含有N算子，所以(G⊥∨χ0)∧Gγ0是簡化公式。

（該公式記為:α′′）

因為所有i ∈l,γi和η都不含有N算子，所以α′′是一個簡化公式。綜上所述，存在簡化公式φR，使得Gα ?φR是語境有效的。

引理2.對于所有公式φ，都存在簡化公式φR使得φ ?φR是語境有效的。

證明.對公式φ的結(jié)構(gòu)進行歸納。

任給框架F 和n ∈T，令(M,n)為任意基于(F,n)的“現(xiàn)在”的時態(tài)模型。

·φ是命題變元和⊥時，易得結(jié)果；布爾算子的情形，由歸納假設(shè)可得。

·φ形如Nψ時，

(M,n),n?Nψ當且僅當 (M,n)；

當且僅當 (M,n)（由歸納假設(shè)可得）；

當且僅當 (M,n)。

顯然ψR是簡化公式，所以NψR也是簡化公式。

·φ形如Gψ時，

(M,n),n?Gψ當且僅當 對任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n)；

當且僅當對任意s ∈T，如果Rns，那么(M,n)；

當且僅當(M,n)。

由此可得(F,n)。當ψR中不含N時，GψR是簡化公式。但當ψR中含N時，GψR不是簡化公式，需要把G轄域內(nèi)的N提取出來。由引理1 可知，存在簡化公式φR使得(F,n)。因此(F,n)

·φ形如Hψ時，與前一條的處理類似。

最后只需證明一個較為簡單的引理，就可以完成“現(xiàn)在”算子冗余問題的證明。

引理3.如果一個公式φ是簡化公式，那么去掉φ中的所有N算子的新公式φ-滿足φ ?φ-是語境有效的。

證明.對公式φ的結(jié)構(gòu)進行歸納即可證得。

此時，我們可以進行冗余性定理2 的證明。

證明.對任意公式φ，由引理2 可知，存在一個簡化公式φR使得φ ?φR是語境有效的。又由引理3 可知，φR ?(φR)-是語境有效的。因此，φ ?(φR)-是語境有效的。

我們再看一下之前的例子“將來，我現(xiàn)在正環(huán)游世界”，可被形式化為FNp。由FNp ??G?Np、GNp ?(G⊥∨Np)、N?p ??Np和Np ?p都是語境有效的，我們可得FNp ?F?∧p是語境有效的，與前文討論的結(jié)果一致。

4 結(jié)語

近年來，“現(xiàn)在”算子依然受到學者們的關(guān)注。梅耶爾（U.Meyer）在[11]中指出只要使謂詞時態(tài)邏輯具有足夠的量化結(jié)構(gòu)，那么“現(xiàn)在”算子也是冗余的。雅諾維奇（I.Yanovich，[14]）研究了“現(xiàn)在”、“那時”（Then）算子在模態(tài)命題邏輯和模態(tài)一階邏輯的模型層次上的表達力，他定義了模態(tài)一階邏輯的互摸擬概念。克雷斯韋爾（M.J.Cresswell，[7]）討論了謂詞區(qū)間時態(tài)邏輯（Predicate Metric Tense Logic）中含有“現(xiàn)在”語句的形式化問題，以及表達力等問題。

本文主要關(guān)注于“現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯中的冗余問題，由于坎普原證明的晦澀，本文運用了伯吉斯在[6]中給出的證明思路，重新對“現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯中的冗余性定理進行證明。補充了簡化公式存在性這一關(guān)鍵步驟的證明，通過將G，H算子轄域內(nèi)的簡化公式轉(zhuǎn)變?yōu)槲鋈》妒?，運用等價公式把N算子從轄域中提取出來。

在坎普之前，對于“現(xiàn)在”的問題就已經(jīng)有了不少討論?？财仗岢龅亩S語義使得技術(shù)性地對“現(xiàn)在”問題進行研究成為可能，普萊爾和坎普的交流加快了研究的進程。普萊爾對“現(xiàn)在”進行了詳盡的分析，隨后采用了混合邏輯的途徑，在語言中加入表示“現(xiàn)在”時刻的特殊名字n。普萊爾構(gòu)造了“現(xiàn)在”邏輯的公理系統(tǒng)，用UT演算對這一系統(tǒng)進行了研究。布萊克本沿著普萊爾的路徑，構(gòu)造了新的公理化系統(tǒng)，提出了坎普規(guī)則，更合理地捕捉到了語境有效這一概念，進而以此為基礎(chǔ)研究“昨天”，“明天”等時間指示詞的邏輯。反觀坎普，他在基本時態(tài)邏輯語言上直接加上“現(xiàn)在”算子N，用二維語義和指示時間語義研究“現(xiàn)在”的相關(guān)問題。坎普證明了“現(xiàn)在”算子的冗余問題的結(jié)論，他給出了如何從不含“現(xiàn)在”算子的時態(tài)邏輯公理系統(tǒng)得到含“現(xiàn)在”算子的時態(tài)邏輯公理系統(tǒng)，進而研究新公理系統(tǒng)的可靠性、完全性等性質(zhì)。二維（多維）語義和引入“名字”的方式各有何利弊，加入“現(xiàn)在”算子和混合邏輯方式的實質(zhì)性區(qū)別，以及造成“現(xiàn)在”算子在時態(tài)命題邏輯和時態(tài)謂詞邏輯中的冗余性的不同的根本原因等問題，都有待進一步研究。