半結(jié)構(gòu)化概率論辯

陳琛 董惠敏 廖備水

1 引言

上個(gè)世紀(jì)90年代以來(lái)，隨著抽象論辯框架及其語(yǔ)義理論的提出（[6]）,形式化論辯作為一種新的非單調(diào)推理形式，成為人工智能和邏輯學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)（[22]）。經(jīng)過(guò)二十多年的發(fā)展，有關(guān)抽象論辯的理論與算法研究（如計(jì)算復(fù)雜性分析、動(dòng)態(tài)性等方面）已較為成熟（[1,14,15]）。然而，這些理論和算法在實(shí)際應(yīng)用中仍存在局限性，其中一個(gè)重要原因在于：未對(duì)論證的不確定性進(jìn)行度量，論證要么存在、要么不存在；同時(shí)，論證的狀態(tài)只有“可接受”、“被拒絕”和“未確定”三種，缺少對(duì)中間狀態(tài)的量化表示。然而，在法律推理、醫(yī)學(xué)推理、多主體協(xié)商及說(shuō)服等實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，論證是否存在或可接受并不是完全確定的。在形式化論辯理論里，若缺乏對(duì)這類不確定性的適當(dāng)定量研究，則難以精確地建模各種現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的推理。概率作為一種處理不確定性的經(jīng)典方法，可以對(duì)論證的不確定性加以量化（[11]）。例如，在醫(yī)學(xué)推理中，可能性較小的論證在某些場(chǎng)景下卻更為可接受。醫(yī)生可能會(huì)在診斷書(shū)上先寫(xiě)道“根據(jù)癥狀，病人應(yīng)該是受涼了”，隨后又寫(xiě)道，“但是考慮到季節(jié)，也有比較小的可能性，病人是得了流感”。在這里，后一個(gè)論點(diǎn)攻擊了前一個(gè)論點(diǎn)，即便后者的可能性較小。對(duì)這一場(chǎng)景的各方論證，需借助概率作精準(zhǔn)的量化表達(dá)，顯式化元層面信息，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行不確定性推理。于是，在一個(gè)論辯框架中針對(duì)論證和/或攻擊關(guān)系新增概率指派，這樣的框架被稱為概率論辯框架。

由于對(duì)論證的概率有不同的理解，現(xiàn)有的概率論辯區(qū)分兩種方法：群組（constellations）方法和認(rèn)知（epistemic）方法（[7,13]）。其中，群組方法把論證的概率解釋為論證存在或出現(xiàn)的可能性，而認(rèn)知方法把論證的概率解釋為主體相信該論證可接受的程度。這兩種方法關(guān)注不同的應(yīng)用場(chǎng)景：前者適合建模因知識(shí)的不確定性而引起的論證存在的不確定性，而后者適合建模因主體認(rèn)知的不確定性而造成的論證可接受性的不確定性。本文聚焦于不完全的客觀信息不確定性推理問(wèn)題，而不考慮主體認(rèn)知的影響，因此僅考慮群組方法。

依據(jù)經(jīng)典的群組方法，給定一個(gè)抽象論辯框架，它的每個(gè)子框架對(duì)應(yīng)于一個(gè)可能世界，每個(gè)可能世界實(shí)際存在的概率由子框架中全體論證共同存在的概率所決定（[10,13]）。當(dāng)這個(gè)抽象論辯框架含有n個(gè)論證時(shí)，按照每個(gè)論證是否出現(xiàn)的不同組合，可以構(gòu)造2n個(gè)可能的子框架。同時(shí)，由于每個(gè)論證被假設(shè)為一個(gè)“確證點(diǎn)”（justifiedpoint，[10]）彼此獨(dú)立，論證被接受的概率值僅僅由支持它的因素來(lái)確定。此時(shí)存在兩種指派概率的方法。第一種方法直接給每個(gè)子框架指派一個(gè)概率。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必用概率明確表示各個(gè)論證之間的依賴性，無(wú)需考慮論證之間是否獨(dú)立等復(fù)雜關(guān)聯(lián)。而此方法的缺點(diǎn)是需要給最多2n個(gè)子框架指派概率，建模難度大。同時(shí)，值得注意的是，當(dāng)采用這種方法時(shí)，論證之間的存在關(guān)聯(lián)信息是隱含的，從而不具備明確表示該信息的手段。另一種方法給各個(gè)論證指派概率，并假設(shè)論證之間獨(dú)立存在。于是，各個(gè)子框架的概率由各個(gè)論證的邊緣概率來(lái)決定。這種方法可以降低建模難度，但缺點(diǎn)是無(wú)法表達(dá)論證之間存在關(guān)聯(lián)的情景。由此帶來(lái)的問(wèn)題包括（具體分析詳見(jiàn)本文第3.3.2節(jié)）：

第一，存在某些論證被接受、但其子論證不被接受的可能。特別地，若子論證對(duì)整個(gè)論辯過(guò)程是必要的，那么這種情況更加不允許發(fā)生。

第二，子論證間自相矛盾的情況有被接受的可能。換句話說(shuō)，即便一個(gè)論證的子論證相互攻擊，這個(gè)論證被接受的概率仍會(huì)大于0。于是，矛盾或不一致作為可能事件被接受的概率大于0，這種情況一般應(yīng)被排除。

第三，沒(méi)有完整地考慮子論證的防御作用。直覺(jué)上，若一個(gè)論證能夠被其子論證所防御，則在任何該論證出現(xiàn)的可能世界中，它都應(yīng)該被其子論證防御，而不是只在其中一些可能世界下得到防御，在另一些可能世界下未得到防御。

針對(duì)上述三個(gè)問(wèn)題，本文在現(xiàn)有抽象概率論辯的基礎(chǔ)上引入子論證關(guān)系，構(gòu)建半結(jié)構(gòu)化論辯框架。它可以用來(lái)反映論證之間的存在依賴關(guān)系：一個(gè)論證的出現(xiàn)蘊(yùn)含著其子論證的出現(xiàn)，一個(gè)子論證的不出現(xiàn)蘊(yùn)含著其超論證的不出現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，引入關(guān)于論證的概率，建立半結(jié)構(gòu)化概率論辯理論模型，并研究與論證相關(guān)的不確定性推理。

本文結(jié)構(gòu)安排如下。第2節(jié)在抽象論辯框架基礎(chǔ)上引入子論證關(guān)系，建立半結(jié)構(gòu)化論辯框架。第3節(jié)在半結(jié)構(gòu)化論辯框架的基礎(chǔ)上引入概率，研究半結(jié)構(gòu)化論辯框架的基本特性。第4節(jié)總結(jié)全文，并指出未來(lái)工作。

2 半結(jié)構(gòu)化論辯框架

本節(jié)引入子論證關(guān)系這個(gè)核心概念，建立半結(jié)構(gòu)化論辯框架，同時(shí)提出良構(gòu)概念，研究相關(guān)性質(zhì)。

2.1 Dung-論辯框架與子論證關(guān)系

Dung-論辯框架（Dung’s Argumentation framework）由Dung于1995年提出（[6]），它針對(duì)不一致情境中的推理，以簡(jiǎn)潔的方式刻畫(huà)一個(gè)邏輯系統(tǒng)中沖突處理的一般機(jī)制（[21]）。Dung-論辯框架僅關(guān)注論證及其之間的攻擊關(guān)系，而不對(duì)論證的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)設(shè)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅考慮關(guān)于有窮多個(gè)論證的論辯框架。

定義1(Dung-論辯框架).一個(gè)Dung-論辯框架F是一個(gè)二元組(A,att)，其中A是一個(gè)非空且有窮的論證集，att?A×A是在A上的二元關(guān)系。

在Dung-論辯框架中，att表示論證之間的攻擊關(guān)系，而(A,B)∈att表示A攻擊B。通過(guò)一個(gè)論證子集對(duì)攻擊關(guān)系作限制，可得到原框架的一個(gè)子框架。給定F=(A,att)，二元組(A′,att′)是它的一個(gè)子框架，記作F↓A′，其中A′?A且att′=(A′×A′)∩att。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，用F′?F表示F′是F的子框架。給定包含n個(gè)論證的Dung-論辯框架，它的每個(gè)論證在子框架內(nèi)有出現(xiàn)和不出現(xiàn)這兩種情況，所以它的子框架的數(shù)量為2n個(gè)。

直接子論證和子論證是論辯理論研究中的常見(jiàn)要素（[4]），可以看作是一種論證之間的支持關(guān)系或依存關(guān)系。在已有的工作中，Martínez對(duì)子論證這一概念做了總體分析（[18]），而Cohen使用子論證和直接子論證來(lái)表達(dá)論證之間的支持關(guān)系（[5]）。從結(jié)構(gòu)化論辯的角度上看，論證A是論證B的直接子論證，就是說(shuō)A是B的前提。于是，直接子論證關(guān)系通常是反自反、反對(duì)稱、反傳遞的。從論證出現(xiàn)的概率值來(lái)看，一個(gè)論證直接支持另一個(gè)論證，可以看作是前者存在的概率值影響后者存在的概率值。因而直接子論證關(guān)系刻畫(huà)的是一種論證之間的概率不獨(dú)立性（[9,19]）。這種概率不獨(dú)立性是經(jīng)典的，可用條件概率來(lái)表示（[9]）。

定義2(直接子論證關(guān)系與子論證關(guān)系).給定抽象論證集合A，直接子論證關(guān)系subd?A×A是一個(gè)在A上的反自反、反對(duì)稱、反傳遞關(guān)系?；趕ubd的子論證關(guān)系sub遞歸定義如下：

·對(duì)于所有A∈A有(A,A)∈sub；

·若(A,B)∈subd則(A,B)∈sub；

·若(A,B)∈sub且(B,C)∈subd則(A,C)∈sub。

當(dāng)(A,B)∈subd時(shí)，A稱為B的直接子論證，B稱為A的直接超論證。subd(A)可用來(lái)表示{B|(B,A)∈subd}，sub(A)表示{B|(B,A)∈sub}。當(dāng)(A,B)∈sub時(shí)，A稱為B的子論證，B稱為A的超論證。

引理1.給定Dung-論辯框架F=(A,att)和在A上的直接子論證關(guān)系subd，存在基于subd的子論證關(guān)系sub，使得subd(A)?sub(A)。

由子論證關(guān)系的定義可直接證明上述引理。

2.2 半結(jié)構(gòu)化論辯框架及其良構(gòu)性

通過(guò)在Dung-論辯框架上添加直接子論證關(guān)系，可得到如下半結(jié)構(gòu)化論辯框架的定義。

定義3(半結(jié)構(gòu)化論辯框架).一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs是一個(gè)三元組(A,att,subd)，其中(A,att)是Dung-論辯框架，而subd?A×A是在A上的直接子論證關(guān)系。

在做進(jìn)一步討論前，需要澄清使用子論證關(guān)系表示依賴性的一個(gè)基本關(guān)系或基本假設(shè)：每個(gè)論證的直接子論證集是表示依賴性的極小集。換而言之，對(duì)于論證A，不存在比直接子論證集subd(A)嚴(yán)格更小的論證集B使得A的出現(xiàn)也依賴于某個(gè)B∈B的出現(xiàn)。在直觀上，這表明了論證的每個(gè)子論證都是必不可少的。這樣的假設(shè)在一些論辯理論中也很常見(jiàn)。例如，基于可廢止邏輯編程的結(jié)構(gòu)化論辯理論（[8]）也要求論證前提集——即此處的子論證集——滿足極小性。

此外，需要在子論證關(guān)系與攻擊關(guān)系之間加以限制。首先，避免環(huán)狀子論證關(guān)系的存在。其次，考慮直接子論證關(guān)系對(duì)攻擊關(guān)系的影響：攻擊論證的直接子論證，則會(huì)攻擊該論證本身（[3,18]）。這兩點(diǎn)限制構(gòu)成了良構(gòu)的概念。

定義4(良構(gòu)).給定Fs=(A,att,subd)和在A上的直接子論證關(guān)系subd，F(xiàn)s對(duì)于subd是良構(gòu)的（well-formed），當(dāng)且僅當(dāng)subd是：

1.非循環(huán)的（acyclic）：若A1subdA2subd···subdAn，則A1/=An（n≥2）；

2.封閉的：若(A,B)∈att且B∈subd(C)，則(A,C)∈att。良構(gòu)要求直接子論證關(guān)系是非循環(huán)的，因此可以將論證作為節(jié)點(diǎn)，以直接子論證關(guān)系為有向邊，構(gòu)建有向無(wú)環(huán)圖。良構(gòu)的論辯框架要求在直接子論證關(guān)系上對(duì)攻擊關(guān)系封閉：如果直接子論證被攻擊，那么它的超論證都受到該攻擊者的攻擊。若論證攻擊自身的直接子論證，則論證會(huì)自我攻擊。下文的定理8將會(huì)討論，在良構(gòu)的限制下為什么子論證互相攻擊的論證沒(méi)有被接受的可能。

定理1.給定良構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)，那么Fs的子框架F′=(A′,att′)對(duì)于subd也是良構(gòu)的，即：subd依然是非循環(huán)的，并且若(A,B)∈att′、B∈subd(C)和C∈A′則(A,C)∈att′。

證明.首先，在Fs中，subd是非循環(huán)的，所以subd在子框架F′中依然是非循環(huán)的。其次，假設(shè)存在(A,B)∈att′，B∈subd(C)，C∈A′且(A,C)/∈att′，那么(A,B)∈att。根框架Fs對(duì)于subd是良構(gòu)的，有(A,C)∈att。由于A,C∈A′，于是(A,C)∈att′。從而subd在子框架中也滿足對(duì)攻擊關(guān)系的封閉性。因此F′=(A′,att′)對(duì)于subd也是良構(gòu)的。

例1.根據(jù)國(guó)家衛(wèi)生健康委3月發(fā)布的《新型冠狀病毒肺炎診療方案（試行第七版）》，新型冠狀病毒肺炎患者的出院標(biāo)準(zhǔn)包括呼吸道癥狀明顯好轉(zhuǎn)、連續(xù)兩次痰、鼻咽拭子等呼吸道標(biāo)本核酸檢測(cè)陰性（采樣時(shí)間至少間隔24小時(shí)）等。與此相關(guān)的幾個(gè)論證如圖1所示。

圖1:一個(gè)關(guān)于是否可以出院的論辯場(chǎng)景

用半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)表示該場(chǎng)景，其中：

·A={A,B,C,D,E}；

·att={(A,E),(A,C),(B,C),(B,D),(B,E)}；

·subd={(A,B),(C,E),(D,E)}。如圖2所示，這個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs是一個(gè)包含兩種有向邊的有向圖：用實(shí)線箭頭表示攻擊關(guān)系，用虛線箭頭表示直接子論證關(guān)系。這個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs是良構(gòu)的。

就框架結(jié)構(gòu)而言，如果在其基礎(chǔ)上增加一個(gè)直接子論證關(guān)系(E,D)或減去攻擊關(guān)系(A,E)，得到的框架都不是良構(gòu)的。前者讓subd形成了循環(huán)D-E-D；而后者讓直接子論證關(guān)系不再是封閉的，即A攻擊E的直接子論證C、卻沒(méi)有攻擊E。

接下來(lái)，引入子論證深度這個(gè)概念，研究一些關(guān)于良構(gòu)的性質(zhì)。

定義5(子論證深度).子論證B∈sub(A)的深度dgA(B)∈N遞歸定義如下：任給B∈sub(A)，

1.dgA(B)=0，其中B=A；

2.dgA(B)=min({dgD(B)|D∈subd(A)且B∈sub(D)})+1，其中B/=A。

論證A的子論證深度dgA可定義為max({dgA(B)|B∈sub(A)})。

在圖3中，有dgB(A)=1。此外，由于dgC(B)=1，從而dgC(A)=2。當(dāng)一個(gè)論辯框架中的論證個(gè)數(shù)為無(wú)窮時(shí)，有可能出現(xiàn)dgA為無(wú)窮的情況。例如，如果一個(gè)論辯框架的直接子論證關(guān)系是循環(huán)的，那么dgA是無(wú)窮的。

引理2(子論證關(guān)系的封閉性).給定半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)，它的子論證關(guān)系是封閉的（同定義4），當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)于所有論證A,B,C∈A，若論證A攻擊論證B，且論證B是論證C的子論證，則論證A攻擊論證C。

證明.假設(shè)Fs=(A,att,subd)上的subd是封閉的。給出(A,B)∈att且B∈sub(C)。我們要證明(A,C)∈att。施歸納于子論證B∈sub(C)的深度dgC(B)=n。

1.當(dāng)dgC(B)=0時(shí)，B=C。因?yàn)?A,B)∈att，所以(A,C)∈att。

2.當(dāng)dgC(B)=n+1時(shí)，存在D∈subd(C)使得B∈sub(D)且dgD(B)=n。根據(jù)歸納假設(shè)和(A,B)∈att，有(A,D)∈att。又因?yàn)镈∈subd(C)，根據(jù)直接子論證關(guān)系的封閉性（定義4.2），有(A,C)∈att。

由此可得，若(A,B)∈att且B∈sub(C)，則(A,C)∈att。引理2說(shuō)明良構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架的子論證關(guān)系也是良構(gòu)的。

直接子論證關(guān)系的封閉性促使某些論證集是選擇完全的。具體來(lái)說(shuō)，一個(gè)論證集是選擇完全的，是指它所有滿足攻擊封閉性的子論證都在該集合中。滿足該特性可避免去接受一個(gè)論證而不去接受子論證的情況（[3,19]）。下面的定義參自Riveret等人的工作（[19]）。

定義6(直接子論證完全與子論證完全).一個(gè)論證集合E?A是直接子論證完全的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有A∈E，都有subd(A)?E。一個(gè)論證集合E?A是子論證完全的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有A∈E，都有sub(A)?E。

例2.繼例1，在Fs中，論證集{A,B}是直接子論證完全的，而論證集{C,E}不是直接子論證完全的。因?yàn)楹笳邲](méi)有把E的直接子論證D也選取進(jìn)去。值得注意的是，根據(jù)子論證完全性，當(dāng)子論證因其超論證被包括在論證集中時(shí)，這個(gè)論證也必須被包括在該論證集中。如圖3所示，論證A、B、C之間存在著直接子論證關(guān)系(A,B),(B,C)∈subd。當(dāng)這個(gè)框架是直接子論證完全時(shí)，若C被一個(gè)子論證完全的論證集合E包含，則其直接子論證B和子論證A也必然被E包含。當(dāng)子論證關(guān)系具有鏈狀結(jié)構(gòu)時(shí)，直接子論證完全的論證集也必然會(huì)包含鏈上的所有元素。

圖3:直接子論證與子論證

定理2.論證集合E?A是子論證完全的，當(dāng)且僅當(dāng)E是直接子論證完全的。

證明.（從左到右）由于E是子論證完全的，對(duì)于所有A∈E，都有sub(A)?E。又因?yàn)橛幸?，可知subd(A)?sub(A)。從而subd(A)?E。所以E是直接子論證完全的。

（從右到左）假定E是直接子論證完全的。對(duì)于D∈A，施歸納于B∈sub(D)的子論證深度dgD(B)=n，證明命題(@)：若dgD(B)=n且D∈E，則B∈E。

1.當(dāng)dgD(B)=0時(shí)，B=D，此時(shí)可得B=D∈E。

2.當(dāng)dgD(B)=n+1時(shí)，存在C∈subd(D)使得B∈sub(C)且dgC(B)=n。

由于C∈subd(D)、D∈E且E為直接子論證完全，有C∈E。根據(jù)歸納假設(shè)，由dgC(B)=n且C∈E，有B∈E。

由此證明命題(@)成立。所以，對(duì)任意A∈E，有sub(A)?E。

受前述的“子論證集極小表示依賴性”的影響，在半結(jié)構(gòu)化論辯框架中，如果接受一個(gè)論證，就必須接受該論證的子論證。本文采用基于標(biāo)記的語(yǔ)義（[12,19,20]）去表示論證的可接受性（[2,6]）。這種方法給每個(gè)論證指派一個(gè)特定的標(biāo)簽：給定一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)，F(xiàn)s的標(biāo)記L:A→{in,out,undec}是一個(gè)從論證集到標(biāo)簽集的全函數(shù)。用in(L)表示{A∈A|L(A)=in}，而out(L)和undec(L)與此相仿。直觀上，被標(biāo)記為in的論證是明確可接受的，被標(biāo)記為out的論證是明確被拒絕的，而被標(biāo)記為undec的論證其接受狀態(tài)是未確定的。在半結(jié)構(gòu)化論辯框架下，首先考慮三種基本的標(biāo)記：無(wú)沖突（conflict-free）標(biāo)記、可相容（admissible）標(biāo)記、完全（complete）標(biāo)記（[2]）。對(duì)于標(biāo)記L，若不存在A,B∈in(L)使得(A,B)∈att，則稱L是無(wú)沖突標(biāo)記。一個(gè)無(wú)沖突標(biāo)記L是可相容標(biāo)記，當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)于所有論證A∈A，

1.若L(A)=out，則：存在B∈A使得L(B)=in且(B,A)∈att；

2.若L(A)=in，則：對(duì)所有B∈A，若(B,A)∈att則L(B)=out。一個(gè)可相容標(biāo)記L是完全標(biāo)記，當(dāng)且僅當(dāng)：若L(A)=undec，則，

1.不存在B∈A使得(B,A)∈att且L(B)=in；

2.存在B′∈A使得(B′,A)∈att且L(B′)/out。

完全標(biāo)記與子論證完全之間有著以下關(guān)聯(lián)。

定理3.L為一個(gè)良構(gòu)半結(jié)構(gòu)化論辯框架的完全標(biāo)記，則in(L)是子論證完全的。

證明.令Fs=(A,att,subd)是一個(gè)良構(gòu)半結(jié)構(gòu)化論辯框架，L是Fs的一個(gè)完全標(biāo)記。要證明in(L)是子論證完全的，即：任給A∈in(L)，有sub(A)?in(L)。對(duì)任意B∈sub(A)，要證明L(B)=in。假設(shè)L(B)/in，那么存在兩種情況：

1.若L(B)=out，則根據(jù)L是一個(gè)可相容標(biāo)記，存在C∈A使得L(C)=in且(C,B)∈att。根據(jù)引理2，可得(C,A)∈att。又因?yàn)榍懊娴淖C明，已知A∈in(L)且C∈in(L)，這與L是無(wú)沖突標(biāo)記相矛盾。

2.若L(B)=undec，根據(jù)L是完全標(biāo)記，則存在D∈A使得(D,B)∈att且L(D)。再次根據(jù)引理2，可得(D,A)∈att。由于A∈in(L)且L是可

相容標(biāo)記，于是L(D)=out。于是得到了矛盾。

綜上所述，L(B)=in。因此，良構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化論辯框架的完全標(biāo)記L的in(L)是子論證完全的。

基于完全標(biāo)記，我們可以考察其他類型的論證可接受性與子論證完全之間的聯(lián)系。基（grounded）標(biāo)記、優(yōu)先（preferred）標(biāo)記和穩(wěn)定（stable）標(biāo)記是基于完全標(biāo)記定義的。對(duì)于一個(gè)完全標(biāo)記L:A→{in,out,undec}：

·L是基標(biāo)記當(dāng)且僅當(dāng)in(L)是極小的（在集合的包含關(guān)系上）；

·L是優(yōu)先標(biāo)記當(dāng)且僅當(dāng)in(L)是極大的（在集合的包含關(guān)系上）1令?為集合2X上的包含關(guān)系。Y ∈2X是2X上的極大元，當(dāng)且僅當(dāng)??Z∈2X.Y?Z。類似地，Y∈2X是2X上的極小元，當(dāng)且僅當(dāng)??Z∈2X.Z?Y。；

·L是穩(wěn)定標(biāo)記當(dāng)且僅當(dāng)undec(L)=?。

給定一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)，用Lσ表示一個(gè)σ語(yǔ)義下的標(biāo)記，其中σ∈{co,gr,pr,st}，分別表示完全標(biāo)記、基標(biāo)記、優(yōu)先標(biāo)記和穩(wěn)定標(biāo)記（[20]）。

推論1.令L為一個(gè)良構(gòu)半結(jié)構(gòu)化論辯框架的σ-標(biāo)記，其中σ∈{gr,pr,st}。那么，in(L)是子論證完全的。

由于任意的基標(biāo)記、優(yōu)先標(biāo)記、穩(wěn)定標(biāo)記都是完全標(biāo)記，它在良構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化論辯框架下的in(L)，根據(jù)定理3，也是子論證完全的。

對(duì)于正確評(píng)價(jià)論證的可接受性來(lái)說(shuō)，良構(gòu)性或攻擊封閉性是很重要的前提條件。若一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架不是良構(gòu)的，則其完全標(biāo)記、基標(biāo)記、優(yōu)先標(biāo)記、穩(wěn)定標(biāo)記下的可接受論證集合不一定是子論證完全的。換句話說(shuō)，存在一些可接受論證的子論證不被接受。

例3.考慮這個(gè)非良構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fs=(A,att,subd)，其中：

·A={A,B,C}；

·att={(A,B),(B,A)}；

·subd={(A,C)}。

考慮Fs的一個(gè)標(biāo)記L：L(A)=L(B)=undec、L(C)=in。L是完全標(biāo)記，同時(shí)它也是基標(biāo)記。但是，in(L)并不是子論證完全的——因?yàn)镃的子論證A沒(méi)有包含在in(L)中。

良構(gòu)性讓我們?cè)谂袛嗾撟C是否可接受時(shí)可以完整地把支持某些論證的所有元素、理由都選擇出來(lái)（如定理3和推論1）。由此可見(jiàn)，良構(gòu)性對(duì)于保證半結(jié)構(gòu)化論辯框架的結(jié)構(gòu)完整性來(lái)說(shuō)，是有意義的。

3 半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架

本節(jié)開(kāi)始在半結(jié)構(gòu)化論辯框架的基礎(chǔ)上考慮與概率相關(guān)的一些概念。關(guān)于概率函數(shù)、聯(lián)合概率、條件概率、全概率公式、條件概率獨(dú)立性等概念，請(qǐng)具體參考Halpern關(guān)于不確定性推理的工作（[9]）。概率函數(shù)可以對(duì)事件的發(fā)生與否給出一個(gè)數(shù)值，描述事件發(fā)生的可能性大小。論證或論證集的是否出現(xiàn)作為一個(gè)事件，用概率函數(shù)來(lái)刻畫(huà)它的可能性大小。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，A和均被稱為論證A的相關(guān)事件，分別表示“論證A出現(xiàn)”和“論證A不出現(xiàn)”。由論證相關(guān)事件構(gòu)成的集合叫做論證相關(guān)集。表示論證A出現(xiàn)而論證B不出現(xiàn)的聯(lián)合概率，p(A|B)表示當(dāng)論證B出現(xiàn)時(shí)論證A出現(xiàn)的概率。其中，事件A1,···,An的聯(lián)合出現(xiàn)可記作A1...An。此處，表示論證相關(guān)事件A和論證相關(guān)事件的聯(lián)合出現(xiàn)。此外，采用概率論中事件間包含關(guān)系?來(lái)表示論證相關(guān)事件之間的包含關(guān)系，A?B表示如果事件A的出現(xiàn)那么事件B也一定出現(xiàn)。

3.1 半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架及其協(xié)調(diào)性

在半結(jié)構(gòu)化論辯框架的基礎(chǔ)上引入概率函數(shù)，定義半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架。

定義7(半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架).一個(gè)半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架Fsp是一個(gè)四元組(A,att,subd,p)，其中(A,att,subd)是一個(gè)良構(gòu)半結(jié)構(gòu)化論辯框架，p是一個(gè)關(guān)于論證事件的概率函數(shù)，它給每個(gè)論證是否出現(xiàn)賦概率值。

要注意的是，概率值為0的論證是不被允許的，因?yàn)樗鼈兛梢灾苯颖粍h除。

此處提出兩個(gè)理性假設(shè)，通過(guò)經(jīng)典的概率獨(dú)立性（[9]），充分必要地刻畫(huà)子論證關(guān)系之間是相互依賴的：一個(gè)論證是另一個(gè)論證的子論證，當(dāng)且僅當(dāng)以后者的直接子論證為條件時(shí)，后者與前者之間不是概率獨(dú)立的。換句話說(shuō)，超論證的出現(xiàn)可能性受到子論證是否出現(xiàn)的影響。更具體地，第一個(gè)假設(shè)描述的是每個(gè)直接子論證對(duì)于該論證來(lái)說(shuō)都不是獨(dú)立的。于是，每個(gè)論證的直接子論證對(duì)該超論證的支持都是必不可少的。這個(gè)假設(shè)與子論證集的極小性緊密相關(guān)。2雖然我們沒(méi)有假設(shè)每個(gè)論證的直接子論證集在表達(dá)依賴性上是極大的，但此處也并不考慮多組直接子論證共同支持一個(gè)論證的情況。如果論證A被n組直接子論證支持，那么實(shí)際上并不只是存在A這個(gè)單獨(dú)的論證，而是存在著由這n組直接子論證分別支持的n個(gè)論證，只是這n個(gè)論證在結(jié)構(gòu)化層面有著相同的關(guān)于A的結(jié)論。而第二個(gè)理性假設(shè)要求，在給定論證的直接子論證條件下，如果某個(gè)論證與前者不是概率獨(dú)立的，那么該論證是給定論證的直接子論證。3此處并不考慮非獨(dú)立的論證之間相互攻擊時(shí)，一方論證會(huì)降低另一方論證的出現(xiàn)概率。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文僅考慮直接子論證與概率獨(dú)立性之間的關(guān)聯(lián)；在進(jìn)一步的工作中，將會(huì)考慮其他更為復(fù)雜的情形，如直接子論證關(guān)系、攻擊關(guān)系、概率賦值之間的相互影響。以上兩個(gè)理性假設(shè)統(tǒng)稱為“協(xié)調(diào)”。

定義8(協(xié)調(diào)).半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架Fsp=(A,att,subd,p)是協(xié)調(diào)的，當(dāng)且僅當(dāng)：

·對(duì)任意A∈A和A1...An∈subd(A)，有A?A1...An；

·對(duì)任意A∈A和B∈A/subd(A)，A和B是概率獨(dú)立的。

并非所有的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架都是協(xié)調(diào)的。下面的例子要說(shuō)明，當(dāng)給定的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架不滿足協(xié)調(diào)性的第一個(gè)條件時(shí)，這會(huì)與子論證關(guān)系的直覺(jué)相矛盾。

例4.給出如圖4所示的概率論辯框架Fsp，其中它包含A,B,C三個(gè)論證，并且p(A)=0.4、p(B)=0.5、p(C)=0.6，同時(shí)B和C都是A的直接子論證。由于p(A)=0.4和p(BC)=p(B)×p(C)=0.3，可得出p(A)＞p(BC)。根據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)，可知A/?BC。由此可見(jiàn)，超論證A的出現(xiàn)不總是依賴于直接子論證B和C的聯(lián)合出現(xiàn)。換而言之，當(dāng)A出現(xiàn)時(shí)，有可能某個(gè)直接子論證不出現(xiàn)。

圖4:一個(gè)不協(xié)調(diào)的Fsp

進(jìn)一步地，當(dāng)一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架不滿足協(xié)調(diào)性的第二個(gè)條件時(shí)，會(huì)在子框架概率計(jì)算上造成問(wèn)題。這里使用群組方法計(jì)算子框架的概率值。在經(jīng)典的群組方法（[10]）下，每個(gè)子框架被視為一個(gè)關(guān)于論證是否出現(xiàn)可能世界，在有n個(gè)論證的框架中，就有2n個(gè)可能世界。子框架概率值等于所有論證相關(guān)事件的聯(lián)合概率。其中，在子框架內(nèi)的論證是出現(xiàn)的，不在子框架內(nèi)的論證是不出現(xiàn)的。在已有的群組方法下，可以將所有論證相關(guān)事件做簡(jiǎn)單乘積運(yùn)算。但是在半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，計(jì)算聯(lián)合概率需要考慮包含關(guān)系，其計(jì)算方式如下：給定一個(gè)具有論證集合A和概率函數(shù)p的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架Fsp和它的一個(gè)限制在A′上的子框架F′，那么

其中，Pa(A)={B|B∈subd(A)∩A′}∪是一個(gè)以一些論證相關(guān)事件為元素的集合。如果不引起歧義，我們也用Pa(A)表示它里面的所有事件的事件積。同時(shí)，使用記號(hào)來(lái)表示論證A不出現(xiàn)在子框架中這一個(gè)相關(guān)事件。此時(shí)，考慮下面一個(gè)不協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架，將會(huì)在子框架的概率計(jì)算上得到不合理的結(jié)論。

例5.圖5給出一個(gè)半結(jié)構(gòu)化論辯框架Fsp，一個(gè)包含A,B,D,E四個(gè)論證的子框架記為F′。經(jīng)典的概率論辯群組方法假設(shè)論證之間是獨(dú)立的，于是可以通過(guò)聯(lián)合事件的概率乘積來(lái)計(jì)算F′的出現(xiàn)可能性（[13]），即p(F′)==p(A)×p(B)×p(D)×p(E)×=0.0648，其中表示C不出現(xiàn)在子框架中。但實(shí)際上，從直接子論證關(guān)系的直觀上來(lái)講，A的出現(xiàn)依賴于C的出現(xiàn)：如果C不出現(xiàn)，則A應(yīng)該不出現(xiàn)。于是，是一個(gè)不可能事件，其子框架F′的概率值應(yīng)該為0。

圖5:一個(gè)具有字母M形狀網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)化論辯框架

3.2 論證的可接受程度

一個(gè)論證的可接受程度不僅取決于論證出現(xiàn)的概率，而且取決于它出現(xiàn)在哪些子框架中，這是本節(jié)的基本假設(shè)。前面第2.2節(jié)通過(guò)基于標(biāo)記的語(yǔ)義來(lái)說(shuō)明論證在框架中是否被接受，表示論證的可接受性。本節(jié)基于子框架的概率值，給出兩種關(guān)于論證的可能性：論證出現(xiàn)的可能性與論證被接受的可能性。前者指的是論證出現(xiàn)在子框架中的概率；后者又被稱為論證可接受程度，指的是在考慮沖突或攻擊的情況下，論證有多大概率被接受。后者始終以前者為基礎(chǔ)，并受到前者的限制。

首先給出論證出現(xiàn)的可能性的概率計(jì)算。

定理4.對(duì)于協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)概率論辯框架Fsp=(A,att,subd,p)中的任意論證A∈A，

證明.根據(jù)子框架的定義，不難看出Fsp的各個(gè)不同的子框架F′?Fsp之間是互不相容的；同時(shí)，每個(gè)子框架正好對(duì)應(yīng)于某個(gè)論證出現(xiàn)或不出現(xiàn)的組合，因而全體子框架的并等于原框架本身。此時(shí)，可使用全概率公式，得到：p(A)=。又因?yàn)楫?dāng)A∈A時(shí)有p(A|F′)=1，而當(dāng)A/∈A時(shí)有p(A|F′)=0，所以p(A)=。

半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架的協(xié)調(diào)性這個(gè)概念可幫助我們更好地分析每個(gè)論證被接受的可能性。這種可能性可看作所有的包含這個(gè)被標(biāo)記為in的論證的子框架的概率值之和，反映出單個(gè)論證本身的可接受程度。在給定的框架中，通過(guò)引入“蘊(yùn)含”這個(gè)概念，說(shuō)明一個(gè)論證是否在一個(gè)框架上可接受。將Fσ-蘊(yùn)含E記為F?σE（[10]），當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)在框架F上的σ-標(biāo)記L使得in(L)=E。若不引起歧義，可簡(jiǎn)寫(xiě)為F蘊(yùn)含E。下面介紹如何刻畫(huà)論證本身的可接受程度，這屬于半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架的語(yǔ)義部分。

定義9(論證被標(biāo)為in的概率).令Fsp=(A,att,subd,p)是一個(gè)協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架，E?A為一個(gè)論證集合，且σ∈{co,gr,pr,st}。一個(gè)論證A∈A被σ-標(biāo)記標(biāo)為in的概率，記作p(Aσ)，被定義為，其中Iσ(A)={F′?Fsp|F′?σE且A∈E}。

例6.用半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架的語(yǔ)義對(duì)圖6中的框架進(jìn)行計(jì)算，得出在基語(yǔ)義下，E論證被gr-標(biāo)記標(biāo)為in的概率為0.35。相比之下，如果用群組方法直接進(jìn)行計(jì)算（不考慮子論證關(guān)系對(duì)概率值的影響），則相應(yīng)的結(jié)果為0.315。

圖6:基于子論證關(guān)系對(duì)Fsp的概率值進(jìn)行計(jì)算

在協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架下，一個(gè)論證的可接受程度總是小于它自身出現(xiàn)的可能性。

定理5.給出一個(gè)協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)概率論辯框架Fsp=(A,att,subd,p)，對(duì)任意論證A∈A，有p(Aσ)≤p(A)。證明.根據(jù)定義9，p(Aσ)=，其中Iσ(A)={F′?Fsp|F′?σE且A∈E}是所有包含了被一個(gè)σ-標(biāo)記記為in的論證A的子框架。令FA={F′|F′=(A′,att′)?Fsp,A∈A′}是所有包含A的子框架。根據(jù)這兩個(gè)集合的構(gòu)造，一個(gè)子框架若存在一個(gè)σ-標(biāo)記將A被標(biāo)為in，則這個(gè)子框架必然包含A，即Iσ(A)?FA。因此，。根據(jù)定理4，，所以?？梢?jiàn)，一個(gè)論證的σ-接受度受到相應(yīng)σ-標(biāo)記的限制。

以上論述說(shuō)明了，每個(gè)論證的可接受的概率由相應(yīng)子框架的概率值之和所決定，但必須小于這個(gè)論證出現(xiàn)的概率。在直觀上，論證出現(xiàn)的概率只要考慮對(duì)論證支持的因素，而論證可接受的概率需要進(jìn)一步地考慮沖突與矛盾。所以，后者相對(duì)前者只可能?chē)?yán)格更小（當(dāng)受到攻擊時(shí)）或者相等（當(dāng)未受到攻擊時(shí)），而不會(huì)更大。

3.3 協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架的重要性質(zhì)

3.3.1 子框架與子論證完全

對(duì)于一個(gè)子框架而言，只有當(dāng)它的論證集是子論證完全的時(shí)候，這個(gè)子框架才完整地考慮了論證之間的依賴關(guān)系。這樣的子論證完全框架，它們的概率值不為0，因而是我們關(guān)注的對(duì)象。

定義10(子論證完全框架).對(duì)于一個(gè)協(xié)調(diào)的Fsp的子框架F′=(A′,att′)，我們說(shuō)F′是子論證完全框架，當(dāng)且僅當(dāng)：A′是子論證完全的。

給定協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架Fsp，其本身一定是子論證完全的，但其子框架可以按照是否是子論證完全框架分為兩類。這是因?yàn)樽涌蚣艿恼撟C集是原框架的論證集的子集（見(jiàn)第2.1節(jié)）。而根據(jù)對(duì)子論證完全性的定義（見(jiàn)定義6），子框架的直接子論證關(guān)系是根據(jù)原框架的直接子論證關(guān)系來(lái)定義的。因而，可能存在一個(gè)在這個(gè)論證子集中的元素，它的子論證不一定在這個(gè)論證子集中。比如，例6中的子框架({B},?)就不是子論證完全的。

與子論證完全框架相比，可以采用框架出現(xiàn)的可能性來(lái)劃分子框架，其中概率值不為0的子框架是合法，而概率值為0的子框架是非法的。

定義11(合法子框架與非法子框架).對(duì)于一個(gè)子框架F′，若p(F′)/=0，則是合法子框架，否則是非法子框架。

定理6.若子框架F′不是子論證完全框架，則F′是非法子框架。

證明.令F′=(A′,att′)不是一個(gè)子論證完全子框架，則A不是子論證完全的。根據(jù)命題2，可得知A不是直接子論證完全的。于是，存在A∈A′，(B,A)∈subd且B/∈A′。因?yàn)?B,A)∈subd且框架是協(xié)調(diào)的（定義8），有A?B。再次根據(jù)條件概率，可知×p(A)=(1-p(B|A))×p(A)=0×p(A)=0。又因?yàn)锳在F′中，B不在F′中，由此可得p(F′)=0，即F′是非法子框架。

例7.例5中的M型的協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架，存在包含A,B,D,E四個(gè)論證的子框架F′。這個(gè)子框架它不是一個(gè)子論證完全框架，同時(shí)它的概率值為p(F′)=0，它是非法子框架。

3.3.2 論證可接受程度的三種表現(xiàn)

協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架所具備的良好性質(zhì)，可以通過(guò)與論證接受程度相關(guān)的三個(gè)命題來(lái)表現(xiàn)。它們與本文的研究動(dòng)機(jī)緊密相關(guān)。

首先，在這樣的概率論辯框架中，不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)論證被接受但其子論證不被接受的情況。換句話說(shuō)，如果一個(gè)論證集E在原框架中是完全接受的卻又存在不被接受的子論證，那么完全接受它的子框架就不會(huì)是子論證完全框架。這樣一個(gè)論證集被接受的可能性為0。一個(gè)論證集被接受的可能性可以通過(guò)概率來(lái)定義，被稱為這個(gè)論證集的可接受程度。

定義12(論證集被標(biāo)為in的概率，[10]).令E?A為一個(gè)論證集，Qσ(E)為σ-蘊(yùn)含E的子框架集，其中σ∈{co,gr,pr,st}。E被σ-標(biāo)記標(biāo)為in的概率p(Eσ)定義為全體的σ-蘊(yùn)含E的子框架的概率值之和：

要注意的是，Qσ(E)中的子框架都是將E作為接受集in(Lσ)的子框架。因此，一個(gè)論證集E的接受度便由接受它的子框架所決定。

定理7.在協(xié)調(diào)的Fsp=(A,att,subd,p)中，如果一個(gè)論證集E?A不是子論證完全的，那么p(Eσ)=0，其中σ∈{co,gr,pr,st}。

證明.令E?A且F′∈Qσ(E)。此時(shí)F′=(A′,att′)有兩種可能性：是子論證完全框架或不是子論證完全框架。

1.假如F′是子論證完全框架，那么A′是子論證完全的。由于F′∈Qσ(E)，令L為F′上的一個(gè)完全標(biāo)記，于是E=in(L)?A′。因?yàn)镋不是子論證完全的，于是?A∈E且?B∈sub(A)使得B/∈E。因此有A∈in(L)且B/∈in(L)。由于F是良構(gòu)的，那么它的所有子框架F′都是良構(gòu)的。根據(jù)定理3，當(dāng)L為良構(gòu)的F′上的一個(gè)完全標(biāo)記時(shí)，其接受集in(L)=E是子論證完全的。由于A∈in(L)且B∈sub(A)，必定有B∈in(L)。這與B/∈in(L)矛盾。因此，不存在F′∈Qσ(E)使得它是子論證完全框架。

2.當(dāng)F′不是子論證完全框架時(shí)，根據(jù)定理6，此時(shí)p(F′)=0。綜上所述，Qσ(E)的元素均不是子論證完全框架。故p(Eσ)==0。

于是，在協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，只有子論證完全的論證集合被標(biāo)為in的概率才能不為0，即它的可接受程度不為0。

例8.如圖7，“明天不下雨”的概率為0.5，“明天不下雨，所以明天去爬山。”的概率為0.4。但是在原先的群組方法概率論辯框架中，用B表示“明天不下雨”，用A表示“明天不下雨，所以明天去爬山”。計(jì)算出{A}（請(qǐng)注意，這個(gè)集合不包括B）被標(biāo)記為in的概率是0.2，即存在20%的可能性是接受A但是不接受B的。然而，當(dāng)重新檢查例子時(shí)便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這很難在不接受“明天不下雨”的情況下去接受“明天不下雨，所以明天去爬山”。而在協(xié)調(diào)半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，p({A}σ)=0，其中σ∈{co,gr,pr,st}。這體現(xiàn)出本框架對(duì)原先群組方法的修正。

圖7:不下雨去爬山

其二，在協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，當(dāng)子論證攻擊超論證時(shí)，這個(gè)超論證是不可能被接受的。換句話說(shuō)，此時(shí)該論證被標(biāo)為in的概率為0。

定理8.對(duì)于協(xié)調(diào)的Fsp=(A,att,subd,p)中的任意論證A∈A，若存在論證B∈sub(A)且(B,A)∈att，則p(Aσ)=0，其中σ∈{co,gr,pr,st}。

證明.令F′∈Iσ(A)={F′?Fsp|F′?σin(L)且A∈in(L)}。又令B∈sub(A)使得(B,A)∈att。此時(shí)F′有兩種情況：

1.假如F′=(A′,att′)是子論證完全框架。此時(shí)A′是子論證完全的。由于F′∈Iσ(A)，令L為F′上的一個(gè)完全標(biāo)記，根據(jù)定理3，此時(shí)有in(L)?A′是子論證完全的。據(jù)此，由于B∈sub(A)，于是有B∈in(L)。同時(shí)，由于B∈sub(A)且A∈A′，根據(jù)A′是子論證完全的，可知B∈A′。于是(B,A)∈att′。但由于A∈in(L)、(B,A)∈att′且L是一個(gè)F′上的可相容標(biāo)記，可知B∈out(L)。但B不可能同時(shí)被一個(gè)標(biāo)記標(biāo)為in和out。于是，并不存在F′∈Iσ(A)使得它是一個(gè)子論證完全框架。因此，Iσ(A)中的元素均不是子論證完全框架。

2.假如F′不是子論證完全框架，根據(jù)定理6，此時(shí)p(F′)=0。根據(jù)上述分析，可知p(Aσ)=

因此，只有不被子論證攻擊的論證，才有被接受的可能性。

例9.“自相矛盾”的論辯場(chǎng)景出自于《韓非子·難一》，如圖8所示，其中論證的概率值來(lái)自知識(shí)的不確定性引起的論證的不確定性。如果用Fp對(duì)其進(jìn)行建模，則“因?yàn)槲业拿鞘澜缟献詈玫拿?，我的盾也是世界上最好的盾，所以我的武器都是世界上最好的?！边@個(gè)本身包含矛盾的論證最終被接受的概率值為0.036，而不是不為0，因而存在著矛盾被接受的風(fēng)險(xiǎn)。而若是用Fsp對(duì)其進(jìn)行建模，令A(yù)表示“因?yàn)槲业拿鞘澜缟献詈玫?，我的盾也是世界上最好的，所以我的武器都是世界上最好的?！保瑒tp(Aσ)=0，其中σ∈{co,gr,pr,st}。

圖8:自相矛盾例子圖示，其中文字框表示論證，文字框旁的數(shù)字是該論證的概率值，紅色實(shí)線箭頭表示攻擊關(guān)系，黑色虛線箭頭表示直接子論證關(guān)系。

第三個(gè)研究動(dòng)機(jī)是要去探討在何時(shí)一個(gè)論證在完全標(biāo)記下的可接受程度與其自身出現(xiàn)的可能性相等。

定理9.給定協(xié)調(diào)的Fsp=(A,att,subd,p)。對(duì)任意論證A∈A，若滿足：

a1.不存在論證B,C∈sub(A)使得(B,C)∈att；

a2.對(duì)所有論證D∈A，若(D,A)∈att，則存在論證K∈sub(A)使得(K,D)∈att。

那么，p(Aco)=p(A)。

證明.根據(jù)定義12和定理4，需要證明：對(duì)任意子論證完全子框架F′，如果A∈A′，那么存在一個(gè)在F′上的完全標(biāo)記L使得L(A)=in。根據(jù)定理8，此時(shí)僅需要考慮那些作為子框架完全框架的子框架F′。令F′=(A′,att′)是任意一個(gè)包含A作為節(jié)點(diǎn)的子框架完全框架，按照如下方式構(gòu)造一個(gè)F′的標(biāo)記L：

1.若B∈sub(A)，則L(B)=in；

2.若(B,A)∈att′，則L(B)=out；

3.若B/∈sub(A)且(B,A)/∈att′，此時(shí)考慮三種情況：

(a)若?C∈in(L)使得(C,B)∈att′，則令B∈out(L)；

(b)若(C,B)∈att′?C∈out(L)，則令B∈in(L)；

(c)若??C∈in(L).(C,B)∈att′且?C/∈out(L).(C,B)∈att′，則令B∈undec(L)。

可見(jiàn)，(a)、(b)、(c)這三種情況完全覆蓋了情況(3)。

首先，L是無(wú)沖突標(biāo)記。否則，存在B,C∈in(L)且(B,C)∈att′。這里有如下兩種情況：

·若B,C均由情況(1)產(chǎn)生，此時(shí)B,C∈sub(A)。但根據(jù)條件(a1)，(B,C)/∈att。根據(jù)att′?att，于是(B,C)/∈att′。這產(chǎn)生矛盾。

·若C由情況(3b)產(chǎn)生，又因?yàn)?B,C)∈att′，所以B∈out(L)。此時(shí)與B∈in(L)矛盾。

因此，L是一個(gè)F′上的無(wú)沖突標(biāo)記。

接下來(lái)證明L是F′的完全標(biāo)記。對(duì)任意論證B∈A′，

·如果L(B)=in，那么：當(dāng)(C,B)∈att′時(shí)，

1.若L(B)=in由情況（2）得出，則B∈sub(A)。因?yàn)镕是良構(gòu)的，所以G′也是良構(gòu)的，根據(jù)良構(gòu)的定義以及(C,B)∈att′，可得(C,A)∈att′，根據(jù)情況(2)，則C∈out；

2.若L(B)=in由情況(3b)得出，則C∈out(L)。

·如果L(B)=out，那么：

1.根據(jù)情況(2)，有(B,A)∈att′，所以有(B,A)∈att，根據(jù)條件a2，存在C∈A使得C∈sub(A)且(C,B)∈att。根據(jù)情況(1)，L(C)=in。又因?yàn)镚′是子論證完全框架，從A∈A′和C∈sub(A)，可得C∈A′。由于B∈A′，于是(C,B)∈att′。所以存在C∈in(L)使得(C,B)∈att′；

2.根據(jù)情況(3a)，存在C∈in(L)使得(C,B)∈att′。

·如果L(B)=undec，那么，根據(jù)情況(3c)，得到滿足可相容標(biāo)記的條件。

所以，標(biāo)記L為F′的完全標(biāo)記，并且它滿足要求：A∈in(L)。

據(jù)此，在協(xié)調(diào)的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，若一個(gè)論證A的子論證間沒(méi)有攻擊，且對(duì)于每個(gè)攻擊A的論證，都存在A的子論證來(lái)防御A，那么A在完全外延中的可被接受的概率就是A出現(xiàn)的概率。以上命題完整地表達(dá)出子論證對(duì)論證的防御作用。

例10.考慮如下圖抽象論辯，其中A是B的直接子論證，若用原先的群組方法概率論辯框架，則無(wú)法表示出A和B之間的子論證關(guān)系，所以在完全語(yǔ)義下，B被完全標(biāo)記標(biāo)為in的概率p(Bco)=0.38≤p(B)。而用半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架建模，可得p(Bco)=p(B)=0.5。

4 結(jié)論

本文工作在于針對(duì)經(jīng)典群組方法（[10,11,13]）中三個(gè)方面的性質(zhì)進(jìn)行補(bǔ)足和修正：外延的不完全性、接受矛盾的可能性和子論證防御作用的不完整性。通過(guò)在原先的群組方法概率論辯框架下加入直接子論證關(guān)系，重新定義可靠的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架及其語(yǔ)義，同時(shí)研究與相互依賴的論證所緊密關(guān)聯(lián)的性質(zhì)。要指出的是，在半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架中，概率不為0 的論證與它的子論證之間是不可能出現(xiàn)矛盾的，并且這樣的超論證能完全得到其子論證的保護(hù)。

此處提出的半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架，首次系統(tǒng)全面地分析子論證關(guān)系對(duì)概率賦值、框架結(jié)構(gòu)、概率語(yǔ)義、關(guān)于矛盾、防御等概念所產(chǎn)生的作用。與此相比，以往的概率論辯研究并沒(méi)有考慮子論證關(guān)系，而是從其他層面上給出關(guān)于論證的概率賦值，比如在結(jié)構(gòu)化層面（[7]），在語(yǔ)言層面（[19]），在抽象論證層面（[10]），在子框架層面（[19]），以及在論辯框架整體層面（[12]），研究其他不確定性推理的相關(guān)問(wèn)題。

在此基礎(chǔ)上，可以從以下三個(gè)方面做進(jìn)一步的研究。第一，將半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架應(yīng)用于對(duì)不同實(shí)際推理場(chǎng)景進(jìn)行建模，包括法律推理、醫(yī)學(xué)推理、軍事推理、日常推理等，同時(shí)根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行理性假設(shè)、調(diào)整概率論辯框架。第二，在半結(jié)構(gòu)化概率論辯框架基礎(chǔ)上，借鑒群組方法（[17]），分析如何降低概率論辯的計(jì)算復(fù)雜性、提高效率。第三，將半結(jié)構(gòu)化表示方法推廣至包含偏好關(guān)系的論辯理論中（[16]）。