數(shù)學(xué)建模視角下的新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths

[摘 要] 新加坡數(shù)學(xué)在TIMSS和PISA兩大測試中脫穎而出，備受國際數(shù)學(xué)教育界關(guān)注。新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書Learning Maths將新加坡數(shù)學(xué)教育的精髓數(shù)學(xué)建模融入其中，而且在解題方法、編排方式、學(xué)習(xí)效果檢測、家庭教育、信息技術(shù)的應(yīng)用等方面具有獨特之處。通過對新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，探討其中可資借鑒之處。

[關(guān)鍵詞] 新加坡數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;Learning Maths;數(shù)學(xué)教育;教學(xué)大綱

[作者簡介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教育統(tǒng)計研究。

[中圖分類號] G40-01? [文獻標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2021）13-0147-04? ?[收稿日期] 2020-12-29

一、問題提出

數(shù)學(xué)成就的國際研究在數(shù)學(xué)教育界日益受到重視，最引人注目的是由國際教育成就評價協(xié)會（IEA）主導(dǎo)的“國際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢調(diào)查研究（TIMSS）”，以及由經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）主持的國際學(xué)生評估項目（PISA），這兩項研究旨在評估不同國家及地區(qū)學(xué)生的學(xué)業(yè)成就，同時致力于尋找解釋學(xué)生數(shù)學(xué)成就差異的原因[1] （P1）。新加坡數(shù)學(xué)在TIMSS和PISA兩大測試中脫穎而出，得到了國際數(shù)學(xué)教育界的重視與關(guān)注，這也映射出新加坡數(shù)學(xué)教育的獨到之處，即加強了數(shù)學(xué)建模思維在數(shù)學(xué)教育中的滲透。本研究從數(shù)學(xué)建模視角分析新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書Learning Maths，期望為我國中小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的編寫提供可借鑒的地方。

張文宇和傅海倫對新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths進行剖析，提出了此本數(shù)學(xué)教材很好地將問題解決與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合，優(yōu)于我國數(shù)學(xué)教材的地方[2]。郭紅敏在碩士學(xué)位論文中對新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths進行了具體比較分析和研究，指出新加坡數(shù)學(xué)教材中例題和習(xí)題隨著年級的升高數(shù)量呈上升趨勢，認(rèn)為這本數(shù)學(xué)教材是新加坡使用范圍最廣泛、被公認(rèn)較為成功的一版教科書[3]。

本文研究的新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書Learning Maths正是新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！ Maths的配套練習(xí)書，涵蓋了從幼兒園到小學(xué)階段（Nursery-G6），由Singapore Asia Publishers（新亞出版社，簡稱SAP）出版。這家出版社主要出版幼兒園和中小學(xué)各科的輔導(dǎo)教材，新加坡最暢銷的數(shù)學(xué)練習(xí)書就是這本Learning Maths。通過對新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，以期為我國小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的編寫提供有益的借鑒。

二、新加坡數(shù)學(xué)教育的特點

新加坡的數(shù)學(xué)教育主要是突出發(fā)展邏輯演繹和歸納能力，并通過解決數(shù)學(xué)問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和推理技能[4]。新加坡數(shù)學(xué)最大的亮點就是“中西合璧”，既有東方人的學(xué)習(xí)風(fēng)格，又接軌了西方的學(xué)習(xí)方式，借鑒了西方的經(jīng)驗，而且用全英文教學(xué)。這就形成了新加坡獨特的數(shù)學(xué)教育觀念。

新加坡數(shù)學(xué)特有的“CPA教學(xué)法”，也被稱為“三步教學(xué)法”，最早是在20世紀(jì)60年代由美國心理學(xué)家杰羅姆·布魯納（Jerome Bruner）提出的[5]。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程經(jīng)歷了以下三個階段：C-Concrete具象化、P-Pictorial形象化和A-Abstract抽象化。而新加坡數(shù)學(xué)教育最大的亮點在于這個形象化過程，也就是“Model Drawing”。通過這種形象化環(huán)節(jié)衍生出數(shù)學(xué)建模，建立簡單易懂、標(biāo)準(zhǔn)化的模型來解決數(shù)學(xué)問題。新加坡的學(xué)生從一年級就開始接觸這種思維模式，將抽象的數(shù)學(xué)問題用圖像的形式進行表現(xiàn)，讓學(xué)生直觀地理解各事物之間的聯(lián)系，更好地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。瑞士發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰提出認(rèn)知發(fā)展階段論：2～7歲的孩子處在前運算階段，7～11歲的孩子僅處于具體運算的階段[6] （P112-113）。也就是說，中小學(xué)生正處在形象思維發(fā)達的階段，而抽象邏輯思維能力還在形成中。新加坡數(shù)學(xué)“CPA教學(xué)法”正好符合發(fā)展心理學(xué)這一理論。新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱2013版明確了課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的過程，強調(diào)從現(xiàn)實情境中提煉出數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)學(xué)方法加以解決，再回歸現(xiàn)實情境給出解題方案[7]。建模思維模式應(yīng)該是新加坡數(shù)學(xué)教育最重要的特色了。

三、Learning Maths的獨特之處

SAP出版的Learning Maths完全配套新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths，涵蓋了從幼兒園到小學(xué)階段（Nursery-G6）。這套數(shù)學(xué)練習(xí)書將新加坡數(shù)學(xué)教育理念融會貫通，獨特之處主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

（一）注重數(shù)學(xué)建模教學(xué)法

數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界溝通的橋梁，進入21世紀(jì)，很多國家將數(shù)學(xué)建模納入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)建模越來越受到數(shù)學(xué)教育界的重視[8]。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths加入了新加坡數(shù)學(xué)的精髓數(shù)學(xué)建模，注重培養(yǎng)小學(xué)生的推理能力和抽象思維能力，通過創(chuàng)設(shè)情境，鍛煉學(xué)生解決問題的能力。該數(shù)學(xué)書主要涵蓋了以下三種建模方法。

1.counting建模法。counting建模法是最初級的數(shù)學(xué)建模模型，主要應(yīng)用在數(shù)數(shù)、代數(shù)和運算中。新加坡數(shù)學(xué)注重這個形象過程的建立，通過簡單模型的建立，讓學(xué)生掌握解題方法和思路，形成數(shù)學(xué)思維。

2.拆分組合建模法。拆分建模法是將數(shù)（兩位數(shù)）拆分成整十?dāng)?shù)和個位數(shù)，這樣就將兩位數(shù)加法簡化成一位數(shù)加法，使題目變得更簡單，也能更快得出答案。組合建模法可以用在多個數(shù)組合相加的運算中，我們經(jīng)常將整十的數(shù)組合在一起，也就是Make Ten（湊10）原則。在多個數(shù)相加的運算中，可以用組合建模法來計算，這樣降低了題目的難度，計算速度也加快了。

3.Word Problem建模法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)用題是常見的題型。應(yīng)用題是用文字來表述數(shù)量關(guān)系，包括已知條件和所求問題。中小學(xué)生往往不能很好地理解應(yīng)用題的題意。通過Word Problem建模法主要是簡化應(yīng)用題，幫助中小學(xué)生理解題意，將題目可視化，從而解出數(shù)學(xué)問題。

（二）解題方法多樣

Learning Maths里面的題目對應(yīng)新加坡數(shù)學(xué)教材，采用“從易到難，螺旋上升”的編排方式，而且題目的靈活度比較高，同一個數(shù)學(xué)概念可以用多種不同的解題方法和思路。比如加法運算題，可以用6種解題思路來充分認(rèn)識加法概念——counting建模法、數(shù)位拆分組合法、豎式計算、湊整原則、兩位數(shù)的豎式計算、進位加法。同時，這套書重視數(shù)學(xué)應(yīng)用題，從小學(xué)一年級就開始涉及求解應(yīng)用題，每個模塊的學(xué)習(xí)中，先給出一頁的范例供學(xué)生思考，然后配有相應(yīng)的應(yīng)用題來鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在養(yǎng)成數(shù)學(xué)邏輯思維模式的同時，還可以鍛煉中小學(xué)生的英語閱讀水平。

（三）重視編排方式的合理性

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書采用內(nèi)容上小跨度的螺旋模式，題目依據(jù)“由易到難、螺旋上升”的規(guī)律去設(shè)計，使題目的跨度合理，將知識和內(nèi)容很好地銜接起來。新加坡數(shù)學(xué)教科書比較重視例題呈現(xiàn)的完整性，幾乎所有的例題都呈現(xiàn)完整性。而這本Learning Maths每道題都附有詳細的解答過程，讓中小學(xué)生養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣，也供家長和學(xué)生參考[3]。

（四）配套的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果檢測

從一年級開始，每本書目錄的后面都有一張Work Performance，也就是學(xué)習(xí)效果表。通過學(xué)習(xí)效果表學(xué)生能很清楚地看到題目的進度和掌握度。而且每本書都有一個配套的在線學(xué)習(xí)資料，可以在線檢測最近的學(xué)習(xí)效果，資料后面都附有詳細的答案可以參考。這種形式的學(xué)習(xí)可以有效檢測中小學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的自我監(jiān)控和調(diào)控能力。

（五）融入家庭數(shù)學(xué)教育

新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths中有“Home Maths”欄目，而這套Learning Maths完全可以作為“Home Maths”，成為學(xué)校教育與家庭教育的一個橋梁。該欄目主要是讓家長和學(xué)生一起做數(shù)學(xué)活動，給家長參與孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有意義、具體的建議。這樣不僅可以增進親子關(guān)系，也可以提高孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，實現(xiàn)家庭與學(xué)校教育的有效結(jié)合[9] （P9）。

（六）信息技術(shù)的使用

信息技術(shù)的使用是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths的又一大特色，教材的很多內(nèi)容都與信息技術(shù)深度融合。這給學(xué)生提供了豐富的資源，有利于學(xué)生掌握利用信息技術(shù)解決問題的能力。特別是幾何畫板在教學(xué)活動中的靈活使用，充分發(fā)揮了“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的新課程模式的作用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生自主探究的能力。

四、啟示

通過對新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths的分析，我們可以看出新加坡練習(xí)冊建立在最新版2013版的新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上，而且完全匹配新加坡最受歡迎且使用率最高的數(shù)學(xué)教材;充分融入了新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)理念和數(shù)學(xué)教學(xué)法，將數(shù)學(xué)建模貫穿始終;合理的編排方式和完善的配套資源，可有效地檢測學(xué)習(xí)效果。總結(jié)新加坡數(shù)學(xué)書Learning Maths的獨特之處，以期為中國中小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的修訂和編寫提供一些幫助。

（一）數(shù)學(xué)建模思想的滲透

早在2001年，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗版）》中就提出，小學(xué)數(shù)學(xué)具體鮮明的階段性、初始性特點，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽成數(shù)學(xué)建模并進行解釋與運用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展[ 10 ]。中國與新加坡有相似的東方文化，我們可以多借鑒新加坡獨特的數(shù)學(xué)教育理念，結(jié)合我國小學(xué)數(shù)學(xué)教育的具體情況，來指導(dǎo)我國小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的編寫和制定。充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模思想對于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)作用，讓小學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并通過解決數(shù)學(xué)問題來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）關(guān)注教材配套資源的審核和規(guī)范

我國數(shù)學(xué)教材配套資源良莠不齊，而新加坡完整的教材配套措施和嚴(yán)格的教材審核制度是一種有益的借鑒[ 11 ]。針對我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教育大綱和數(shù)學(xué)教材編寫完全配套的數(shù)學(xué)叢書，題目應(yīng)依據(jù)“由易到難、螺旋上升”的規(guī)律去設(shè)計，使題目的跨度合理，銜接性更強。特別是增強題目的靈活度，使我國小學(xué)生在透徹理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，采用多種數(shù)學(xué)解題思路和角度去解決數(shù)學(xué)問題。并且加大數(shù)學(xué)應(yīng)用題的比例，讓數(shù)學(xué)題目更加接近生活，使數(shù)學(xué)生活化，從而激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的答案要充分體現(xiàn)完整性，既引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時重視數(shù)學(xué)過程，又為小學(xué)生提供學(xué)習(xí)的幫助。

（三）重視家庭教育和學(xué)習(xí)效果的檢測

數(shù)學(xué)教育中家庭教育占有不可忽視的地位，也是家長了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況和檢測學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種途徑。2015年10月，教育部下發(fā)了《關(guān)于加強家庭教育工作的指導(dǎo)意見》，2019年新修訂的《全國家庭教育指導(dǎo)大綱》，以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想特別是習(xí)近平關(guān)于教育的重要論述為指導(dǎo)，進一步明確了家長在家庭教育中的主體責(zé)任，希望家長在不斷全面學(xué)習(xí)家庭教育知識的基礎(chǔ)上，更加系統(tǒng)掌握家庭教育的科學(xué)理念和方法[ 12 ]。我國小學(xué)數(shù)學(xué)叢書可以加入“Home Maths”欄目，并增加在線配套練習(xí)系統(tǒng)，使家長參與學(xué)校教育，更科學(xué)地指導(dǎo)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也為家長指導(dǎo)孩子提供素材。

（四）注重信息技術(shù)與教材的深度融合

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths與信息技術(shù)深度融合，給數(shù)學(xué)教育帶來勃勃生機。2019年2月，中共中央、國務(wù)院印發(fā)的《中國教育現(xiàn)代化2035》開啟了教育現(xiàn)代化的新征程，讓信息技術(shù)發(fā)揮最大的優(yōu)勢，將數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)深度融合，更好地為教學(xué)和學(xué)生服務(wù)。這一重要政策要求我們重視信息技術(shù)與教材的深度融合，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為實現(xiàn)中國教育現(xiàn)代化2035貢獻一份力量。

2017年7月，為貫徹落實《關(guān)于加強和改進新形勢下大中小學(xué)教材建設(shè)的意見》，國務(wù)院決定成立國家教材委員會，足以彰顯國家對于教材的重視程度。通過對新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書Learning Maths的剖析，進一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，以期為我國小學(xué)數(shù)學(xué)叢書的編寫提供有益的借鑒。

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Abstract： The outstanding performance of Singapore mathematics education in TIMSS and PISA has attracted much attention from the international mathematics education circles. Singapore mathematics exercise book learning maths incorporates mathematical modeling which is the essence of Singapore mathematics education. This book has its own unique features in problem solving methods， compilation methods， testing of learning effects， family education， application of information technology and so on. Through the analysis of Learning Maths， a primary school math book in Singapore， this paper further explores the connotation of Singapores mathematics education， hoping to provide a useful reference for Chinas mathematics education.

Key words： Singapore mathematics; mathematical modeling; Learning Maths; mathematics education; syllabus