關(guān)聯(lián)掘本質(zhì)，深刻達(dá)簡約

唐小琴

摘要：“量與計(jì)量”類別多、內(nèi)容多，且大多是作為“小單元”安排，這很容易導(dǎo)致教學(xué)零碎散亂。從教材和課標(biāo)兩個(gè)維度整體分析“量與計(jì)量”內(nèi)容，把握其核心和關(guān)鍵，得到教學(xué)建議：抓住理解“量”的關(guān)鍵要素，強(qiáng)化學(xué)生的體驗(yàn)和感受，突出計(jì)量本質(zhì)的方法貫通，注重量與量之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);整體建構(gòu);量與計(jì)量

“量與計(jì)量”是小學(xué)階段基礎(chǔ)而重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，認(rèn)識(shí)量、會(huì)測(cè)量應(yīng)成為每個(gè)學(xué)生必備的能力和素養(yǎng)。在教材體系中，“量與計(jì)量”類別多、內(nèi)容多，且大多是作為“小單元”安排，這很容易導(dǎo)致教學(xué)零碎散亂。從整體上把握“量與計(jì)量”的核心和關(guān)鍵，扣住本質(zhì)和聯(lián)系，可以化繁為簡，化難為易，簡教深學(xué)，事半功倍。

一、“量與計(jì)量”內(nèi)容分析

（一）教材維度

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中，常見的量主要包括貨幣、時(shí)間、質(zhì)量、長度、面積、體積（容積）、角度等。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“量與計(jì)量”內(nèi)容的編排詳見下頁表1。

通過梳理，我們發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段“量與計(jì)量”內(nèi)容約有25個(gè)知識(shí)點(diǎn)（塊），在全套教材中占比16.9%。與數(shù)量運(yùn)算有關(guān)的常見量的學(xué)習(xí)主要集中在第一學(xué)段（1—3年級(jí)），與圖形測(cè)量有關(guān)的常見量主要編排在第二學(xué)段（4—6年級(jí)）?？傮w看來，呈現(xiàn)出由少到多、由易到難、螺旋上升、學(xué)用結(jié)合的特點(diǎn)。

（二）課標(biāo)維度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“量與計(jì)量”的內(nèi)容，一部分安排在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的“常見的量”，包括貨幣、時(shí)間和質(zhì)量;還有一部分安排在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“測(cè)量”，包括角度、長度、面積、體積和容積。其中，“常見的量”在第一學(xué)段“課程內(nèi)容”中單獨(dú)列出，內(nèi)容如下：

1.在現(xiàn)實(shí)情境中，認(rèn)識(shí)元、角、分，并了解它們之間的關(guān)系。

2.能認(rèn)識(shí)鐘表，了解 24 時(shí)記時(shí)法;結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)時(shí)間的長短。

3.認(rèn)識(shí)年、月、日，了解它們之間的關(guān)系。

4.在現(xiàn)實(shí)情境中，感受并認(rèn)識(shí)克、千克、噸，能進(jìn)行簡單的單位換算。

5.能結(jié)合生活實(shí)際，解決與常見的量有關(guān)的簡單問題。

這里的一些關(guān)鍵詞，如“現(xiàn)實(shí)情境”“關(guān)系”“生活經(jīng)驗(yàn)”“體驗(yàn)”“單位換算”等，不僅提出了學(xué)習(xí)“常見的量”的目標(biāo)要求，還蘊(yùn)含“常見的量”的教學(xué)要求，對(duì)日常教學(xué)具有指導(dǎo)作用。此外，從內(nèi)容分布來看，“量與計(jì)量”一部分屬于“數(shù)”，一部分屬于“圖形”，是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”這兩大領(lǐng)域雙向溝通、促進(jìn)數(shù)形結(jié)合的橋梁和紐帶。

二、“量與計(jì)量”核心概念解讀

首先是“量”?！傲俊笔侨藗儗?duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物的量的描述，如東西的多少、地方的大小、物體的長短、運(yùn)動(dòng)的快慢等。除了元、角、分是人們創(chuàng)造出來的貨幣單位外，其余計(jì)量單位大多是用于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中事物的屬性的描述。

其次是“計(jì)量”?！坝?jì)量”即測(cè)量。張奠宙教授提出：測(cè)量不僅僅是拿刻度尺去測(cè)量一條線段的長度，那屬于物理學(xué)范圍，數(shù)學(xué)測(cè)量的本質(zhì)是給每一個(gè)測(cè)量對(duì)象以合適的數(shù)。用刻度尺測(cè)量這一技能可以通過多次練習(xí)形成，但數(shù)學(xué)測(cè)量的能力則需要對(duì)測(cè)量單位系統(tǒng)的整體掌握。

我們可以結(jié)合模型圖（如圖1）來理解。要測(cè)量某個(gè)物體的長度、面積、質(zhì)量（不同屬性）等，就需要有計(jì)量單位（測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)）。小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排時(shí)，關(guān)于計(jì)量單位的學(xué)習(xí)，往往是經(jīng)歷“先自選單位，后形成標(biāo)準(zhǔn)單位，再有擴(kuò)充單位”的過程。當(dāng)計(jì)量單位確定（“定標(biāo)準(zhǔn)”）后，就可以通過數(shù)一數(shù)，或用工具去測(cè)量、用公式計(jì)算等方法去度量所有的量，這樣的過程叫作“去測(cè)量”。測(cè)量之后我們就能通過數(shù)予以描述和表達(dá)，也就是“得結(jié)果”。因此，常見的這些量雖然是對(duì)事物的不同屬性的刻畫與描述，但就其刻畫和描述的過程與方法而言，它們是相通的，都經(jīng)歷了“定標(biāo)準(zhǔn)—去測(cè)量—得結(jié)果”這樣的過程。

基于上述理解，有兩點(diǎn)特別重要的對(duì)“常見的量”的認(rèn)識(shí)：

一是每一個(gè)量（計(jì)量單位）都有其特定的數(shù)學(xué)含義，同時(shí)也具有確定的量值。很多“量”的意義確定都與現(xiàn)實(shí)事物有關(guān)。比如，“1米”是光在真空中1299792458秒所走的長度，“1千克”對(duì)應(yīng)普朗克常數(shù)為6.62607015×10-34 J·s時(shí)的質(zhì)量單位。因此，認(rèn)識(shí)一個(gè)量，首先要知道這個(gè)量的量值，也就是它的大小，諸如1米到底有多長、1平方米到底有多大。在這個(gè)過程中需要讓學(xué)生親身參與、親自實(shí)踐、主動(dòng)思考，才能促其獲得具有個(gè)性特征的感性認(rèn)識(shí)，不斷將活動(dòng)中的經(jīng)歷上升為經(jīng)驗(yàn)。

二是準(zhǔn)確把握計(jì)量單位的邏輯體系。史寧中教授曾指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系，在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)之間的關(guān)系?！笨梢?，把握計(jì)量單位的邏輯體系十分重要。比如，小學(xué)階段一共學(xué)習(xí)了5個(gè)面積單位，分開看，它們是零散的，但用雙向箭頭連接（如圖2），它們之間就建立了關(guān)系，構(gòu)成了整體。觀察圖2中最上面一行，我們發(fā)現(xiàn)，其余兩個(gè)相鄰面積單位之間的進(jìn)率是100，為什么平方米和公頃之間的進(jìn)率卻是10000呢？如果將長度單位與面積單位上下一一對(duì)應(yīng)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，少了一個(gè)“十米”所對(duì)應(yīng)的面積單位“平方十米”，也就是“公畝”，把“公畝”放到這個(gè)體系中，相鄰的面積單位之間的進(jìn)率都是100的規(guī)律得以完美呈現(xiàn)。

三、“量與計(jì)量”教學(xué)建議

“量與計(jì)量”的教學(xué)，要結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，用“長程”的眼光、整體建構(gòu)的理念，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生整體思維、系統(tǒng)思維的快速發(fā)展。

（一）抓住理解“量”的關(guān)鍵要素

每一個(gè)量的學(xué)習(xí)都離不開幾個(gè)關(guān)鍵要素：它是什么？它的量值是多少？它和其他同類量之間是什么關(guān)系？如何應(yīng)用它？

以“毫米”為例：它是什么？一種長度單位;它的量值是多少？1厘米平均分成10份，每1份的長度是1毫米，一枚硬幣的厚度大約就是1毫米，一張身份證的厚度大約是1毫米;它和其他同類量之間是什么關(guān)系？它與厘米的進(jìn)率是10，與分米的進(jìn)率是100……如何應(yīng)用它？測(cè)量比較短的長度，如橡皮的厚度、手指的寬度等。

把握了這四點(diǎn)，也就抓住了“常見的量”教學(xué)的主干。教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以依據(jù)這些要素來構(gòu)思教學(xué)環(huán)節(jié)、課堂結(jié)構(gòu)和邏輯層次。

（二）強(qiáng)化學(xué)生的體驗(yàn)和感受

常見的量是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物的量的描述，可謂隨處可見、隨時(shí)可遇、隨地可用。因此，教學(xué)這部分內(nèi)容要重視以下幾點(diǎn)：

1.關(guān)注現(xiàn)實(shí)情境，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系?，F(xiàn)實(shí)生活的支撐越強(qiáng)，“常見的量”的學(xué)習(xí)就越清晰、越牢固、越靈活。

2.強(qiáng)化體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主體感受和主動(dòng)建構(gòu)。設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)要多為學(xué)生提供猜測(cè)、推算、思考的機(jī)會(huì)，使活動(dòng)具有層次性，讓學(xué)生在親自實(shí)踐、主動(dòng)建構(gòu)中不斷將經(jīng)歷上升為經(jīng)驗(yàn)。

3.注重“學(xué)以致用”，讓學(xué)生在“用”中學(xué)——在嘗試、分析、解決問題的過程中不知不覺地完成新知的學(xué)習(xí)與建構(gòu)，獲得思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷提升問題解決能力與創(chuàng)新實(shí)踐能力。

（三）突出計(jì)量本質(zhì)的方法貫通

如上所述，不管學(xué)習(xí)哪一類量，就其刻畫和描述的過程與方法而言都要經(jīng)歷三個(gè)基本步驟：定標(biāo)準(zhǔn)、去測(cè)量、得結(jié)果。“定標(biāo)準(zhǔn)”，就是定下“1”，如果作為標(biāo)準(zhǔn)的“1”建立得不充分、不清晰，那對(duì)“幾”的判斷就會(huì)非常困難。比如，認(rèn)識(shí)“千克”，先要對(duì)1千克的重量建立比較好的感覺，然后才能以此為標(biāo)準(zhǔn)去熟悉2千克、3千克、10千克……“去測(cè)量”，重在方法的簡潔性、科學(xué)性，要尋找多樣化中的最優(yōu)化和統(tǒng)一性。教學(xué)時(shí)遵循這樣的三步，也就遵循了常見的量的基本邏輯，既有統(tǒng)攝作用，也避免教學(xué)的散點(diǎn)狀、碎片化。

（四）注重量與量之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

1.孕育“種子課”——感悟結(jié)構(gòu)。

“種子課”是指一類知識(shí)最初始的課堂學(xué)習(xí)，它在知識(shí)體系中處于根部地位。因此，“種子課”的立意決定了這一類內(nèi)容教學(xué)的方向、視野及高度。

比如《時(shí)、分、秒》這節(jié)課，它應(yīng)該屬于“時(shí)間單位”的一節(jié)“種子課”。教學(xué)時(shí)，不少教師是將這一內(nèi)容切分成兩課時(shí)來教學(xué)，第一課時(shí)學(xué)“1時(shí)=60分”，第二課時(shí)學(xué)“1分=60秒”，這其實(shí)人為地“阻斷”了知識(shí)間的聯(lián)系。筆者將教材整合后，把第一課時(shí)的重點(diǎn)落在體驗(yàn)時(shí)、分、秒的時(shí)長以及把握它們之間的關(guān)系上：帶領(lǐng)學(xué)生先觀察鐘面，發(fā)現(xiàn)秒針、分針、時(shí)針“三針協(xié)動(dòng)”;再研究分和秒之間的關(guān)系;然后通過演繹、推理等方法，自主探究出時(shí)和分之間的關(guān)系（如圖3）。

2.培植“生長課”——發(fā)展結(jié)構(gòu)。

“生長課”是相對(duì)于“種子課”而言的，它是指學(xué)生對(duì)同一類知識(shí)的關(guān)系有了初步的感受后，在原來結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上不斷擴(kuò)充、發(fā)展的課堂。

特級(jí)教師許衛(wèi)兵執(zhí)教《認(rèn)識(shí)千米》時(shí)，在學(xué)生自主整理已經(jīng)學(xué)過的四個(gè)長度單位的基礎(chǔ)上，組織他們探究：“如果人們‘創(chuàng)造出了第五個(gè)長度單位，你覺得這個(gè)長度單位會(huì)在什么位置，它和我們之前學(xué)過的長度單位之間是什么關(guān)系？”學(xué)生主要呈現(xiàn)了兩種構(gòu)想：它們有可能比毫米小，也有可能比米還大。如果比毫米小，會(huì)是什么？如果比米大，又會(huì)是什么？它們和已有的單位之間又是什么關(guān)系？學(xué)生將新“發(fā)明”的長度單位（絲米、十米、百米、千米等）在原有的基礎(chǔ)上“排排隊(duì)”，就形成了長度單位的體系表（如圖4）。從中，不僅能很清楚地看到“千米”所處的位置，而且還能明白“1千米為什么等于1000米”。這也便于學(xué)生在關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)中理解和掌握，更好地感受數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.拔節(jié)“關(guān)聯(lián)課”——完善結(jié)構(gòu)。

“關(guān)聯(lián)課”，要超越某個(gè)具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，打通不同類知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，以便學(xué)生更好地建立、完善結(jié)構(gòu)，最終達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

比如《角的度量》，表面上看，它與之前學(xué)習(xí)的長度、面積、質(zhì)量、體積的度量屬于不同類別，但實(shí)際上，它與之前其他度量活動(dòng)本質(zhì)上具有內(nèi)在一致性，都經(jīng)歷了“定標(biāo)準(zhǔn)、去測(cè)量、得結(jié)果”的過程。一位教師在執(zhí)教時(shí)就引導(dǎo)學(xué)生把角的測(cè)量與之前學(xué)習(xí)的長度、面積的測(cè)量進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而建構(gòu)出關(guān)于計(jì)量的一般方法的模型（如圖5所示）。

經(jīng)過了“種子課”的感悟，“生長課”的發(fā)展，“關(guān)聯(lián)課”的完善，學(xué)生會(huì)感到看起來學(xué)習(xí)的計(jì)量很多，實(shí)質(zhì)上學(xué)習(xí)它們的方法是相通的，關(guān)于量的學(xué)習(xí)的整體思維結(jié)構(gòu)就會(huì)逐步形成。帶著這樣的感悟拓展到其他領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)萌生出自己建構(gòu)體系的念頭，嘗試“用結(jié)構(gòu)”去學(xué)，甚至自己搭建結(jié)構(gòu)。這就實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍，達(dá)到了學(xué)習(xí)的較高境界。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃教育部2019年度重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”（批準(zhǔn)號(hào)：DHA190453）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.