促進(jìn)概念理解的數(shù)學(xué)表征

黃芬 周云霞

摘要：為了讓學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)理解，教師應(yīng)幫助他們通過多種表征，促進(jìn)概念理解?？梢龑?dǎo)學(xué)生通過動作表征、實(shí)物表征、圖式表征、算式表征等，多角度深入理解數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)表征;概念理解;可視化

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的“細(xì)胞”，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生對概念的理解和掌握，直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。教師可引導(dǎo)學(xué)生通過動作表征、實(shí)物表征、圖式表征、算式表征等，多角度深入理解數(shù)學(xué)概念。

一、動作表征

動作表征是指使用動作反應(yīng)來表示知識。小學(xué)生處于從具體形象思維向抽象思維過渡的階段，動作表征能讓他們觀察和感知到隱藏在動作中的數(shù)學(xué)概念，并直觀表示該概念。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊《認(rèn)識厘米》時，教師設(shè)計動手活動，讓學(xué)生在動作中感知，在經(jīng)歷中體驗(yàn)，進(jìn)而建立1厘米的概念意象。首先，觀察1厘米的小棒，初步感知1厘米的長度。然后，開展“花兒開”游戲——邊說“花兒開，花兒開，花兒開開，1厘米”，邊比畫1厘米的長度，在反復(fù)比畫中，讓花兒開出的長度接近1厘米。

二、實(shí)物表征

受年齡、知識、生活經(jīng)驗(yàn)等的限制，學(xué)生在理解事物時通常會先感知事物的具體形象。實(shí)物表征是指用具象化的實(shí)物或?qū)嵨飯D形來表示抽象的文字，幫助學(xué)生更好地理解概念。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《倍的認(rèn)識》時，在初步認(rèn)識“倍”的階段，借助紅花和綠花、桃子和蘋果、紅糖和綠糖以及不同顏色的正方形等實(shí)物圖形，讓學(xué)生通過圈一圈的方式理解“倍”，從而更清晰地理解倍的內(nèi)涵。

三、圖式表征

圖式表征是指借助可視的、易理解的圖式來表征抽象深奧的數(shù)學(xué)知識。在課堂教學(xué)過程中，教師可以借助圖式表征，豐富學(xué)生的感知，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，促進(jìn)概念理解。

例如，《小數(shù)的意義》的教學(xué)，教師通過問題“0.4元表示什么意思？你能不能運(yùn)用以前學(xué)過的知識和獲得的經(jīng)驗(yàn)把這個小數(shù)表示出來”，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用畫圖的方式表達(dá)自己對于小數(shù)意義的理解。學(xué)生呈現(xiàn)了如圖1—圖3所示的多元化表達(dá)。利用圖式表征，學(xué)生溝通了小數(shù)和十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步深化了對概念的理解。

四、算式表征

算式表征是指借助不同的正例與反例的算式，抽象出概念本質(zhì)的一種表征方式。抽象是人們在分析、比較和綜合客觀事物的屬性和特征的基礎(chǔ)上，拋棄非本質(zhì)屬性并提取其本質(zhì)屬性的思維過程。借助算式表征，可以幫助學(xué)生進(jìn)行概念抽象，加深對概念的理解。

以《倍數(shù)和因數(shù)》一課為例，教學(xué)片段如下——

師把12個人分成若干小組，每組人數(shù)相同，可以怎么分？

（教師拿出12支粉筆請學(xué)生演示，一位學(xué)生演示，一位學(xué)生記錄。學(xué)生得到算式2×6=12、3×4=12、12÷2=6、12÷3=4。）

師把這四道算式分分類，可以怎么分？

生乘法算式一類，除法算式一類。

師在算式2×6=12中，2和6是12的因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。誰來說一說算式3×4=12中的因數(shù)和倍數(shù)？

生3和4是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)。

師12÷2=6、12÷3=4 這兩個除法算式中，有因數(shù)和倍數(shù)嗎？

生除法算式中也有因數(shù)和倍數(shù)。

師因數(shù)和倍數(shù)在加法算式和減法算式中存在嗎？你能舉例說明嗎？

生不存在。如算式7+5=12，7和5不是12的因數(shù)，12也不是7和5的倍數(shù)。同理，算式12-5=7，7和5不是12的因數(shù)，12也不是7和5的倍數(shù)。因此，因數(shù)和倍數(shù)只在乘法算式和除法算式里有。

師因數(shù)和倍數(shù)在所有的乘法算式和除法算式中都有嗎？

生不是的。有余數(shù)的除法算式，如12÷5=2……2，就不能說5和2是12的因數(shù)，12也不是5和2的倍數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)所指的都是大于0的整數(shù)。

師那到底什么是因數(shù)？什么是倍數(shù)？

（學(xué)生總結(jié)。）

學(xué)生是一個個獨(dú)立的個體，不同的學(xué)生個體對概念的定義有個性化的理解或表達(dá)，他們對于概念的表示也有不同的選擇。為了讓學(xué)生獲得真正的數(shù)學(xué)理解，教師應(yīng)幫助他們借助多種表征，深化概念理解。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[2] 袁慧娟.借助多元表征理解概念本質(zhì)——基于表征理論的“倍的認(rèn)識”教學(xué)研究[J].小學(xué)教學(xué)研究，2019（25）.