對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的思考

王燕

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)科有其獨特的學(xué)科育人價值。數(shù)學(xué)課堂不能僅僅停留在表面的“有意思”，而是應(yīng)該追求“有意義”的學(xué)習(xí)建構(gòu)，促使學(xué)生形成“以思為樂” 的積極學(xué)習(xí)心向，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。教師要發(fā)揮組織引導(dǎo)作用，通過深度開發(fā)教材，變化拓展，為學(xué)生提供思考的載體;靈活處理課堂生成，為學(xué)生營造思考的場域。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思考;教材開發(fā);課堂生成

人之所以偉大，在于其能夠獨立思考和善于思考。數(shù)學(xué)學(xué)科有著獨特的學(xué)科育人價值。數(shù)學(xué)課堂不能僅僅停留在表面的“有意思”，而是應(yīng)該追求“有意義”的學(xué)習(xí)建構(gòu)，促使學(xué)生形成“以思為樂” 的積極學(xué)習(xí)心向，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。立足自身的教學(xué)實踐經(jīng)驗，筆者在此提出幾點思考。

一、教材內(nèi)容再開發(fā)，提供思考的載體

教材是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體。因此，教師應(yīng)盡可能地挖掘教材，在例題延伸中，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思考;在變式練習(xí)中，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思考能力。

（一）例題延伸

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教材在講解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義和計算法則以后，介紹了“可以先約分，再計算”的方法，但教材中的例子612不能讓學(xué)生明顯地感覺到先約分的必要性。為此，在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計算方法并進行了一定練習(xí)以后，筆者出示算式 29999×7777，讓學(xué)生比一比，看誰算得又對又快。學(xué)生眼前一亮，興致勃勃地開始計算，但很快便覺得2與7777相乘計算比較麻煩。這時，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察：“題中的數(shù)字有什么特點，怎樣算比較簡便呢？”許多學(xué)生通過思考，恍然大悟，自覺地運用了先將7777與9999約分，然后再將7和2相乘的方法。

在例題教學(xué)后進行延伸，為學(xué)生提供自主探究的場域，促其自然得出“分?jǐn)?shù)和整數(shù)相乘，先約分再乘比較簡便”這一結(jié)論。這顯然比直接告知學(xué)生更能激活他們的思考。

（二）變式練習(xí)

變式練習(xí)，是指改變問題的非本質(zhì)特征，從而凸顯問題本質(zhì)特征的練習(xí)。在高年段小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其要強化變式練習(xí)。這就需要教師真正把“用教材教”落到實處，通過改編題目的方式發(fā)散學(xué)生的思考，并最終歸攏到問題的本質(zhì)上。這樣，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思考能力，更能鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

例如，在教學(xué)“立體圖形的表面積”時，筆者展開了如下教學(xué)：

師（出示圖1、圖2）用6個體積是1立方厘米的正方體可以拼成不同的長方體，哪個長方體的表面積大？大多少？

（學(xué)生交流討論解題思路和方法。）

師6個正方體還可以拼成怎樣的立體圖形？拼成的圖形表面積是多少？體積是多少？

生（展示拼法，如圖3）可以拼成這樣，前后兩面合起來是10平方厘米，左右兩面合起來是8平方厘米，上下兩面合起來是8平方厘米，總共是26平方厘米。因為是6個小正方體，所以體積是6立方厘米。

師還可以怎樣拼呢？

（學(xué)生展示交流拼法，部分學(xué)生拼法如圖4、圖5所示。）

師這么多拼法，在算表面積和體積時，有什么好辦法嗎？

生算表面積時，可以算出前面和后面、上面和下面、左面和右面分別是幾平方厘米，然后加起來;算體積時，有多少個小正方體，面積就是幾立方厘米。

本節(jié)課，筆者通過“還可以拼成怎樣的立體圖形？”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，進而讓學(xué)生歸攏方法的實質(zhì)：拼法是非本質(zhì)特征，無論怎么拼，在求類似立體圖形的表面積時，本質(zhì)方法是一致的，都是先算一個面的面積，再數(shù)數(shù)一共有幾個這樣的面，優(yōu)化得到從前面、左面、上面看分別有幾個面的方法。這樣發(fā)散思考的過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主體性充分發(fā)揮，在深刻理解知識的同時提升了空間想象能力。

二、靈活處理課堂生成，營造思考的場域

（一）在比較中降低思考的坡度

在解決問題時，有些問題的條件是內(nèi)隱的，需要學(xué)生仔細分析與挖掘。部分學(xué)生會用自己的方式將問題中隱含的條件顯現(xiàn)，讓內(nèi)隱的想法外顯，使得問題變得直觀、形象。這需要教師有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，抓住學(xué)生的“靈光”，引導(dǎo)全班交流，在比較中降低思考的坡度。

有這樣一道題：暑假期間，小林每6天游泳一次，小軍每8天游泳一次，7月31日兩人在游泳池相遇，那么8月幾日他們又會再次相遇？有的學(xué)生通過在日歷上按要求圈一圈找出了答案，有的學(xué)生通過找最小公倍數(shù)的方法解決了問題，有的學(xué)生兩種方法都用了。筆者在巡視時發(fā)現(xiàn)了一個學(xué)生的“特殊”解法（如圖6），據(jù)此展開了教學(xué)：

師說說看，你為什么列式0+24=24？

生和最小公倍數(shù)有關(guān)。在此相遇，說明這個時間既是小林游泳的時間，也是小軍游泳的時間，也就是他們倆游泳時間的倍數(shù)，即找6和8的最小公倍數(shù)。

師為什么要列0+24=24這樣的算式？“0”表示什么？從哪里來的？

生（邊回答邊在日歷上比畫）他們兩人第一次相遇是在7月31日，我們可以理解成8月0日，再過24天所以要加上24，得到下一次相遇的時間是8月24日。

師這道算式中兩個“24”的含義一樣嗎？

生兩個“24”是不一樣的，加數(shù)“24”是再過24天，而和“24”是8月24日，是一個日期。

師沒錯，通過“24”與“24”的比較，我們就把一段時間與某一天區(qū)分開了，對0+24=24這個算式也理解得更深刻了。如果兩人第一次相遇是在8月7日，那么他們再一次相遇是在幾月幾日？

生7+24=31，8月31日。

師通過比較我們發(fā)現(xiàn)，在這種“相遇”問題中，只要用第一次相遇的時間，加上經(jīng)過的天數(shù)，也就是兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就等于下次相遇的日期。

生老師，還可以再舉一些例子進行驗證，如第一次相遇的日期是8月10日……

可以看出，提出“特殊”解法的學(xué)生對這道題的理解很深，能夠利用畫圖、舉例的策略，把一些隱含的條件顯性化，使較難的問題變得形象化、簡單化。而教師及時抓住學(xué)生的生成，帶領(lǐng)全班學(xué)生感受內(nèi)隱條件外顯的過程，進而，引導(dǎo)學(xué)生通過比較，主動展開思考，發(fā)現(xiàn)一類題的解題規(guī)律，感受數(shù)學(xué)思考的樂趣。

（二）在碰撞中擦出智慧的火花

犯錯是每個學(xué)生的權(quán)利，也是每個學(xué)生成長的必然經(jīng)歷。經(jīng)歷錯誤、糾正錯誤、反思錯誤，恰恰是學(xué)生成長過程中的寶貴財富。在課堂上，錯誤也是學(xué)生深入思考的重要資源。借助對錯誤的辨別與反思，學(xué)生在對比中掌握知識，在碰撞中擦出智慧的火花。

有這樣一道思考題：“等腰直角三角形的一條邊是8厘米，它的面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？”問題一出，有學(xué)生立刻給出了自己的答案（如圖7、下頁圖8）：“等腰直角三角形的一條邊是8厘米，它是直角邊時三角形的底和高都是8厘米，面積是最大的;而當(dāng)8厘米為等腰直角三角形的斜邊時，面積是最小的?！绷硪晃粚W(xué)生脫口而出：“那兩條邊是5和5?！逼渌麑W(xué)生連聲附和。對于學(xué)生的錯誤，筆者沒有急于否定，而是讓學(xué)生靜下心來思考：“別急，可以先畫一畫、算一算。”

五分鐘后，小張同學(xué)展示了如圖9的做法并匯報了他的想法：“我同意面積最大是32平方厘米的解法，但我認(rèn)為，面積最小不是12.5平方厘米，應(yīng)該是16平方厘米?！?/p>

“為什么呢？”其他學(xué)生紛紛質(zhì)疑。小張同學(xué)答道：“因為這是一個等腰三角形，要使面積最小，底邊一定是8厘米，作出底邊上的高一定是4厘米，因為兩個底角是45度，那被高分成的兩個小三角形也必然是等腰三角形，最后算出整個三角形的面積就是16平方厘米?！惫P者適時引導(dǎo)：“我們來分析一下，為什么12.5平方厘米不對呢？”學(xué)生回答：“因為無法證明那條直角邊到底是不是5?！薄笆前?，無法證明的結(jié)果就不能當(dāng)作條件來使用，這個時候就需要換一個思路了?！惫P者這樣小結(jié)。就在這樣的碰撞中，學(xué)生擦出了智慧的火花，生成了另一種解法：如圖10，最小的等腰直角三角形的面積=8×8÷4=16（平方厘米）。

讓學(xué)生“以思為樂”，不僅是通過設(shè)計學(xué)生感興趣的情境來讓他們“樂學(xué)”，也不僅是讓他們停留在淺層的、表面的、流于形式的思考，更重要的是，要促使他們追求對數(shù)學(xué)深層的、本質(zhì)的、實質(zhì)的思考，真正感受到數(shù)學(xué)的魅力，體驗到“真思”的快樂。這要求教師要發(fā)揮組織引導(dǎo)作用，通過深度開發(fā)教材，變化拓展，為學(xué)生提供思考的載體;靈活處理課堂生成，為學(xué)生營造思考的場域。與此同時，在教學(xué)中，教師要放慢速度，給予學(xué)生思考與整理的時間和空間，讓學(xué)生嘗試自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，獲得“數(shù)學(xué)其實很簡單、一通百通”的體會，做“快樂的數(shù)學(xué)思想者”。