廣義Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的有界性及緊性

羅慶仙

(廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校 理學(xué)院, 廣東 茂名 525200)

0 引言

Volterra型算子在各種函數(shù)空間上的有界性和緊性等問題的研究一直是一個(gè)熱門的研究課題。其中，數(shù)學(xué)家Pommerenke[1]首次刻畫了Volterra型算子在Hardy-Hilbert空間H2上的有界性[1]。在他的工作基礎(chǔ)上，Aleman、Siskakis和Cima[2-3]系統(tǒng)地研究了Volterra型算子在Hardy空間Hp(0

在本文里，我們將繼續(xù)研究作用在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上廣義Volterra型算子。廣義Volterra型算子由李頌孝和Stevic所引進(jìn)并很快吸引了大量學(xué)者的研究興趣[14-15]。最近，Mengestie[16-17]研究了廣義Volterra型算子在加權(quán)Fock空間上的有界性和緊性。受文獻(xiàn)[13,18]的啟發(fā)，本文將利用加權(quán)復(fù)合算子在Hardy空間上的性質(zhì)給出廣義Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間(即導(dǎo)數(shù)屬于Hardy空間的解析函數(shù)所組成的函數(shù)空間)上的有界性和緊性的完整刻畫，推廣了文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果。最后刻畫了該類算子的伴隨算子的泰勒展開式。

1 廣義Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的有界性和緊性

首先，我們用H(Δ)表示復(fù)平面單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)f組成的函數(shù)空間。對于0

其中m是單位圓盤Δ的邊界?Δ上的Lebesgue測度且m(?Δ)=1。由文獻(xiàn)[20]中的定理9.4可知，上面的范數(shù)定義與如下的范數(shù)是相等的：

其中對于任意的ξ∈?Δ，f(ξ)是f在邊界?Δ上的徑向極限(由Fatou引理，這是幾乎處處存在的)。

當(dāng)p=∞時(shí)，H∞是單位圓盤Δ上所有有界解析函數(shù)f組成的函數(shù)空間且定義它的范數(shù)為f在Δ上的上確界。

對于g∈H(Δ)，Volterra型算子Tg及其伴侶算子Sg的定義分別如下：

其中，z∈Δ,f∈H(Δ)。

近年來，林慶澤等人研究了Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的有界性[19]。對于0

當(dāng)1≤p≤∞時(shí)，Sp是一個(gè)Banach代數(shù)且有嵌入關(guān)系：Sp?H∞。關(guān)于導(dǎo)數(shù)Hardy空間Sp的一些基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[18-19,21-23]。本文的研究需要用到加權(quán)復(fù)合算子的相關(guān)性質(zhì)。對于給定的φ∈H(Δ)以及Δ的解析自映射φ，加權(quán)復(fù)合算子Wφ,φ的定義如下：

對于導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的算子的研究可追溯到Roan的關(guān)于復(fù)合算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的有界性的工作[22]。隨后的相關(guān)工作可參考文獻(xiàn)[29-32]。

這一節(jié)主要研究作用在導(dǎo)數(shù)Hardy空間上的廣義Volterra型算子

的有界性和緊性。首先，我們先研究廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq的有界性和緊性。

定理1 令1≤p,q≤∞。則廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq是有界的當(dāng)且僅當(dāng)g∈Sq。

證明 對于f∈Sp，我們有恒等式

反過來，我們也有恒等式

通過上面的類似證明和文獻(xiàn)[18]中的命題3.3，我們得到下面關(guān)于算子Tg,φ:Sp→Sq的緊性的充要條件：

定理2 令1≤p,q≤∞。假定廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq是有界的，則算子Tg,φ:Sp→Sq是緊的當(dāng)且僅當(dāng)

(a)如果(p,q)≠(1,∞)，則g∈Sq；

下面，我們研究另一類廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq的有界性和緊性。

定理3 令1≤p,q≤∞。則廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是有界的當(dāng)且僅當(dāng)

(c)如果1≤q≤p=∞，則gφ′∈Hq；

(d)如果1≤q

證明 對于f∈Sp，我們有恒等式

反過來，對于f∈Hp，我們可以驗(yàn)證下面的恒等式成立：

(Wgφ′,φf)(z)=f(φ(z))g(z)φ′(z)

因此，算子Sg,φ:Sp→Sq的有界性等價(jià)于加權(quán)復(fù)合算子Wgφ′,φ:Hp→Hq的有界性。從而由文獻(xiàn)[25]中的定理4可得到定理中的條件(a)，由文獻(xiàn)[24]中的命題2.6可得到定理中的條件(b)和(c)，再由文獻(xiàn)[25]中的命題2可得到定理中的條件(d)。證畢。

通過上面的類似證明，我們得到下面關(guān)于算子Sg,φ:Sp→Sq的緊性的充要條件。

定理4 令1≤p,q≤∞。假定廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是有界的，則廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是緊的當(dāng)且僅當(dāng)

(c)如果1≤q

證明類似于定理3的計(jì)算，算子Sg,φ:Sp→Sq的緊性等價(jià)于加權(quán)復(fù)合算子Wgφ′,φ:Hp→Hq的緊性。從而由文獻(xiàn)[25]中的定理5和文獻(xiàn)[20]中的定理2.3可得到定理中的條件(a)，由文獻(xiàn)[24]中的命題3.2可得到定理中的條件(b)，由文獻(xiàn)[18]中的命題3.4和文獻(xiàn)[25]中的定理6可得到定理中的條件(c)，再由文獻(xiàn)[33]中的推論4.3可得到定理中的條件(d)。證畢。

2 廣義Volterra型算子在導(dǎo)數(shù)Hardy空間S2上的伴隨算子

定理5 若廣義Volterra型算子Tg,φ:S2→S2是有界的，則其伴隨算子具有如下的級(jí)數(shù)展開式：

因此，對于任意的z∈Δ，我們得到

((Tg,φ)*f)(z)=<(Tg,φ)*f,kz>S2

=S2

因此，我們得到：

其中z∈Δ。定理得證。

類似于定理5的證明，我們得到：

定理6 若廣義Volterra型算子Sg,φ:S2→S2是有界的，則其伴隨算子具有如下的級(jí)數(shù)展開式

其中z∈Δ。