含色散長波方程組的孤子解、有理解和周期解

陳 南

(廈門工學(xué)院計算機(jī)與人工智能學(xué)院,福建 廈門361021)

0 引言

尋求合適的方法來求解非線性偏微分方程[1]，是一個重要的問題。目前，已有很多方法對方程求解，例如：反散射法、齊次平衡法[2]、Darboux變換法[3]、Painlevé分析法[4-7]、Tanh函數(shù)法[8-9]等。本文研究含色散長波方程組

(1)

式(1)中β為色散系數(shù)。文獻(xiàn)[10]中用推廣的(G′/G)展開法求出了含色散長波方程組的雙曲函數(shù)通解、三角函數(shù)通解以及有理函數(shù)解?，F(xiàn)有文獻(xiàn)[11-13]都是對(2+1)維的含色散長波方程組進(jìn)行的研究，對方程組(1)這種(1+1)維含色散長波方程組研究很少。在此，用范恩貴提出的這種基于符號計算的一種統(tǒng)一的代數(shù)方法[14]，來構(gòu)造含色散長波方程組(1)的孤子解、有理解和周期解，得到了多種不同類型的精確解[15]。

1 基于符號計算的一種統(tǒng)一的代數(shù)方法

首先，對方程組(1)作行波變換

u(x,t)=u(ξ)，v(x,t)=v(ξ)，ξ=x-ct

(2)

式(2)中c為待定常數(shù)，方程(1)化為

(3)

方程組(3)中第一個方程對ξ積分可得

(4)

式(4)中c-1為積分常數(shù)。將式(4)代入方程組(3)中第二個方程可得

-3u2u′+6cuu′+ku′+2βu?=0。

(5)

式(5)中k=2(c-1-c2)。設(shè)方程的解u(x,t)可表示為

(6)

式(6)中φ滿足如下一階微分方程

(7)

式(7)中ε=±1，r為一正整數(shù)，c0,c1,...,cr為待定常數(shù)。這種方法涉及兩個平衡數(shù)n和r，在一般情況下，平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)將給出n和r之間的一種關(guān)系。式(5)中線性最高階項(xiàng)2βu?和非線性項(xiàng)-3u2u′平衡得

r=2(n+1),

(8)

選取

n-1,r=4,

(9)

從而，可設(shè)方程(5)的解為

u=a0+a1φ,

(10)

式(7)中

(11)

則

(12)

(13)

(14)

將式(10)、式(12)、式(13)、式(14)代入方程(5)，可得

(15)

(16)

-6a0a1+6ca1+6βc3ε2=0,

(17)

(18)

由式(16) 、式(17)、式(18) ，可以得到如下解

(19)

式(19)中，c0,c1,c2,a1≠0,c4≠0為任意常數(shù)。由于ε=±1，可直接取ε2=1。

2 孤子解、有理解和周期解

(20)

(21)

(22)

將式(20)、式(21)、式(22)代入式(10)和式(4)，得方程組(1)具有扭狀孤子解，三角函數(shù)和有理函數(shù)解

(23)

(24)

(25)

c-1,c2<0,c4>0;

(26)

(27)

(28)

式(26)、式(27)、式(28)中，m為模數(shù)。當(dāng)m→1時，周期解(25)退化為鐘狀孤子解(20)，周期解(26)退化為扭狀孤子解(23)。

將式(26)、式(27)、式(28)代入式(10)和式(4)，得方程組(1)具有3種Jacobi橢圓函數(shù)解

綜上，得到了含色散長波方程組的8組不同類型的解。與文獻(xiàn)[10]中得到的雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解和有理函數(shù)解相比，增加了Jacobi橢圓函數(shù)解，進(jìn)一步豐富了含色散長波方程組的解系。

3 結(jié)論

尋求合適的方法來求解非線性偏微分方程一直是一個重要的問題。利用范恩貴提出的基于符號計算的一種代數(shù)方法，能夠直接的求出非線性方程的孤子解、有理解和周期解，得到了其他文獻(xiàn)的求解方法不同的精確解。后續(xù)，可進(jìn)一步推廣到其他的非線性方程求解。