基于T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解Black-Scholes方程

袁亞蕊，李戰(zhàn)輝

(1.集美大學(xué)誠(chéng)毅學(xué)院，福建 廈門 361021;2.阿里巴巴網(wǎng)絡(luò)技術(shù)有限公司，浙江 杭州310000)

0 引言

1973年，Black和Scholes提出了經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)中著名的隨機(jī)偏微分方程Black-Scholes方程[1]。它通過(guò)構(gòu)建標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格和到期日之前剩余時(shí)間的函數(shù)求解期權(quán)的價(jià)格。Black-Scholes方程背后的基本思想是，對(duì)給定資產(chǎn)的投資可以對(duì)沖賣出或購(gòu)買適當(dāng)數(shù)量的期權(quán)。利用Black-Scholes方程進(jìn)行期權(quán)定價(jià)時(shí)，對(duì)方程的求解一直是難點(diǎn)問(wèn)題。目前，關(guān)于Black-Scholes方程解的相關(guān)研究大多采用數(shù)值法。Andalaft等用有限元方法得到了實(shí)物期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的解[2]。Fadugba等提出了期權(quán)定價(jià)的Crank-Nicolson有限差分法來(lái)求解Black-Scholes方程[3]。甘小艇等將美式看跌期權(quán)問(wèn)題簡(jiǎn)化為與之等價(jià)的變系數(shù)拋物型方程，構(gòu)造了兩個(gè)全離散二次有限體積格式并驗(yàn)證其解的存在唯一性[4]。Rad等提出使用徑向基點(diǎn)插值方法(RBPI)求解Black-Scholes方程[5]。吳蓓蓓等研究了Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)模型的三次三角B-樣條配點(diǎn)法[6]。Cervera等利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解Black-Scholes方程[7]。

模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，通過(guò)處理數(shù)據(jù)來(lái)確定其性質(zhì)(模糊集和模糊規(guī)則)。模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型匯集了模糊理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的優(yōu)點(diǎn)，既具有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力和計(jì)算能力，又具有模糊系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型已經(jīng)成功地應(yīng)用于從圖像識(shí)別、語(yǔ)音識(shí)別、時(shí)間序列分析到偏微分方程的數(shù)值逼近等一系列問(wèn)題的數(shù)值擬合。這種數(shù)值擬合應(yīng)用表明，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以有效的對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行逼近，對(duì)訓(xùn)練樣本的要求比較低。其中，T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)能力和模糊邏輯定性方法，具有較強(qiáng)的逼近擬合能力。本研究利用T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的逼近能力，在Cervera等人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，提出一種更高效的求解Black-Scholes方程的方法，即采用T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解Black-Scholes方程并通過(guò)數(shù)值擬合驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基本模型

1.1 Black-Scholes方程

本文用T表示到期日，St(0≤St<+∞)表示在t(0≤t≤T)時(shí)刻股票價(jià)格，F(xiàn)(t,St)表示在t時(shí)刻股票期權(quán)的價(jià)格，K表示執(zhí)行價(jià)格，r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ表示波動(dòng)率，那么Black-Scholes方程可以表示為：

(1)

在使用方程(1)進(jìn)行期權(quán)定價(jià)時(shí)，雖很難求出解析解，但可以根據(jù)具體的邊界條件求出方程的解析解或數(shù)值解。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，方程的邊界條件為F(T,St)=max(ST-K,0)；對(duì)于歐式看跌期權(quán)，方程的邊界條件為F(T,St)=max(0,K-ST)[8]。方程在這兩種情況下都有顯式解，且求解過(guò)程相似，避免重復(fù)，本研究以歐式看漲期權(quán)為例。當(dāng)邊界條件為F(T,St)=max(ST-K,0)時(shí)，求解方程(1)，可以得到：

F(t,St)=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2),

(2)

這里

(3)

(4)

1.2 T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能不斷修正模糊子集的隸屬函數(shù)，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)能力。本研究使用的T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是由前件網(wǎng)絡(luò)和后件網(wǎng)絡(luò)組成，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 The network structure of T-S fuzzy neural network model

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的前件網(wǎng)絡(luò)有4層。第一層為輸入層，節(jié)點(diǎn)數(shù)和輸入向量的維數(shù)相同，該層有n個(gè)結(jié)點(diǎn)。第二層是計(jì)算隸屬度函數(shù)，第三層是運(yùn)算出模糊規(guī)則的適用度，第四層進(jìn)行歸一化運(yùn)算。

在第二層，對(duì)于輸入量x=[x1,x2,…,xn]′，根據(jù)模糊規(guī)則計(jì)算各輸入變量xi的隸屬度函數(shù)：

(5)

在第三層，將各隸屬度進(jìn)行計(jì)算，使用模糊算子為連乘算子：

(6)

在式(6)中，

在這一層，結(jié)點(diǎn)總數(shù)為m。

在第四層，結(jié)點(diǎn)總數(shù)也為m，可以實(shí)現(xiàn)歸一化運(yùn)算：

(7)

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的后件網(wǎng)絡(luò)由r個(gè)并列子網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，這些子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相同且均運(yùn)算出一個(gè)輸出量。子網(wǎng)絡(luò)有3層，第一層為輸入層，第二層可運(yùn)算出模糊規(guī)則的后件，第三層為輸出層。

在子網(wǎng)絡(luò)第二層有m個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有一條規(guī)則，可以對(duì)每條規(guī)則的后件進(jìn)行運(yùn)算，即：

(8)

在子網(wǎng)絡(luò)第三層，可以運(yùn)算出輸出值yi：

(9)

2 采用T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解Black-Scholes方程的框架

為了計(jì)算Black-Scholes方程的解，將求解區(qū)域劃分為均勻網(wǎng)格?？紤]在離散的網(wǎng)格點(diǎn)(ti,Sj)(i=1,2,…,Nt,j=1,2,…,NS)滿足方程(1)，則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

(10)

(11)

式(2)中歐式看漲期權(quán)的價(jià)格用Ca來(lái)表示。為了評(píng)價(jià)T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近效果，給出如下誤差函數(shù)：

(12)

(13)

在式(13)中，β為T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的學(xué)習(xí)率。

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)diji和biji的修正：

(14)

(15)

3 數(shù)值實(shí)例

將求解區(qū)域劃分為均勻網(wǎng)格,Nt=NS=11,21,31。在離散的網(wǎng)格點(diǎn)上，根據(jù)適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，K=10,r=0.1，σ=0.4,0≤T-t≤1，0≤St≤45，對(duì)歐式看漲期權(quán)的Black-Scholes方程求解。輸入數(shù)據(jù)的維數(shù)為2，模型輸出數(shù)據(jù)的維數(shù)為1，設(shè)定隸屬度函數(shù)個(gè)數(shù)為4。首先根據(jù)式(5)中的隸屬度函數(shù)計(jì)算輸入變量的隸屬度，模糊規(guī)則計(jì)算采用式(6)計(jì)算得到αj，接著利用式(7)進(jìn)行歸一化運(yùn)算，再采用式(8)、式(9)計(jì)算出T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸出值。系數(shù)和參數(shù)采用式(13)～式(15)進(jìn)行修正。經(jīng)過(guò)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算，最終得到了很好的Black-Scholes方程的近似解。

由圖2、圖3可知，網(wǎng)格每個(gè)方向等分點(diǎn)(Nt=NS=11)相同時(shí)，隨著迭代次數(shù)1 000增加至10 000，誤差函數(shù)的值呈下降狀態(tài)。由圖3可知，Nt=NS=11,21,31時(shí)，即網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)增加，迭代10 000次，誤差函數(shù)的值從小于0.1減小到0.01左右，呈下降狀態(tài)。文獻(xiàn)[7]的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在Nt=NS=11,21,31時(shí)，迭代10 000次，誤差均在0.1左右。在圖3中，T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解Black-Scholes方程使用的等分點(diǎn)數(shù)、迭代次數(shù)與文獻(xiàn)[7]中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法相等時(shí)，誤差函數(shù)的值卻小于文獻(xiàn)[7]中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。在圖2中，當(dāng)?shù)螖?shù)為1 000時(shí)，誤差函數(shù)的值就達(dá)到了0.1?？梢?jiàn)本研究使用T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)果精度高，收斂速度快。

圖2 Nt=NS=11的誤差圖Fig.2 The errors with Nt=NS=11

圖3 Nt=NS=11,21,31的誤差圖Fig.3 The errors withNt=NS=11,21,31

4 結(jié)論

T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以成為一種有價(jià)值的求解Black-Scholes方程的方法。本研究使用T-S模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)Black-Scholes方程的解進(jìn)行逼近，訓(xùn)練其滿足微分方程、初始條件、邊界條件。數(shù)值實(shí)例表明這種方法是有效的，誤差較小，為預(yù)測(cè)歐式看漲期權(quán)的價(jià)值提供了依據(jù)。