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    網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)問題解題策略研究

    2021-05-18 14:55:04張月湯強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化策略網(wǎng)格

    張月 湯強(qiáng)

    【摘要】銳角三角函數(shù)是初中階段學(xué)習(xí)的一個重要知識點(diǎn),將網(wǎng)格與銳角三角函數(shù)相結(jié)合是考試命題的一個方向.學(xué)生對此類銳角三角函數(shù)問題往往抓不住關(guān)鍵點(diǎn),構(gòu)造、面積、轉(zhuǎn)化等解題策略將有助于此類問題的解決.

    【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù);網(wǎng)格;構(gòu)造策略;面積策略;轉(zhuǎn)化策略

    銳角三角函數(shù)問題的解決需要“直角三角形”,同樣地,解決網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)問題的關(guān)鍵也是如何將所求角或所求角的等角放到一個直角三角形中.將角放到網(wǎng)格中有兩個天然的優(yōu)勢:①每一個小方格為一個正方形,其對角線可以形成45°角;②兩個端點(diǎn)均在格點(diǎn)上時,線段的長度可以直接利用勾股定理進(jìn)行求解.網(wǎng)格為構(gòu)造直角三角形提供了便利.

    1 構(gòu)造策略

    “構(gòu)造策略”是解網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)問題常用的策略之一,基本思路是以已知條件為原料,以所求結(jié)論為方向,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識,構(gòu)造一種輔助形式,從而使問題在新形勢中簡捷地得到解決.

    1.1 直接構(gòu)造

    我們通過觀察找到角所在的直角三角形,然后利用勾股定理求出角所在的直角三角形的三邊長,并根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

    例1 如圖1所示,△ABC的三個頂點(diǎn)均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上,則tan∠BAC=.

    【方法探究】

    由圖1可觀察知,AB由長為2、寬為1的長方形的對角線組成;AC由邊長為1的小正方形的對角線組成;線段AC與網(wǎng)格邊夾角為45°.因此,有兩種構(gòu)造思路:①從AC上選一個格點(diǎn),使其與AB邊的一格點(diǎn)構(gòu)成正方形的對角線;②在AC上選一格點(diǎn)G,使得BG⊥AB.如圖2所示.

    【過程展示】(以思路①為例)

    連接HI,則∠AHI=90°,所以∠BAC在Rt△AHI中.

    AI=2× 22+12=25,AH=3× 12+12=32,HI=2,所以tan∠BAC=232=13.

    1.2 間接構(gòu)造

    我們通過直接觀察,找不出直角三角形時,可以通過作高線構(gòu)造兩個共邊的直角三角形,然后利用勾股定理求出公共邊,這種方法既體現(xiàn)了對勾股定理的靈活運(yùn)用,也鍛煉了學(xué)生的方程思想.

    例2 如圖3,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,則sin∠A=.

    【方法探究】

    如圖4所示,構(gòu)造兩個有公共邊的直角三角形,利用公共邊建立方程,由此解出兩直角三角形的各邊,sin∠A也隨即可求.

    【過程展示】

    過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M,

    在Rt△ACM中,CM2=AC2-AM2,且AC=25,

    在Rt△BCM中,CM2=BC2-BM2,且BC=22,

    所以有AC2-AM2=BC2-BM2

    設(shè)BM長為x,則AM=25-x,

    故(25)2-(25-x)2=(22)2-x2,

    解得x=255,所以CM=655,所以sin∠A=CMAC=35.

    2 面積策略

    我們通過觀察找不出直角三角形時,可以通過在三角形內(nèi)部作高(若是求鈍角三角形中銳角的三角函數(shù)值,則是外部作高),用等面積法得出三角形的高,然后求解.

    如上例2,如圖5所示,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點(diǎn)都

    在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處,則sin∠A=.

    【方法探究】

    因?yàn)橥ㄟ^觀察,∠A不在直角三角形中,而要求一個銳角的三角函數(shù)值,必須要把這個角放到直角三角形中,所以在此應(yīng)該構(gòu)造一個包含∠A的直角三角形,故過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M,即需求出CM與AC的長度.

    【過程展示】

    如圖6,過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M.

    利用三角形面積公式可知S△ABC=12AB·CM.

    利用割補(bǔ)法得:S△ABC=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF,

    所以12AB·CM=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF,即12·25·CM=16-4-2-4,

    解得CM=655,所以sin∠A=CMAC=35.

    3 轉(zhuǎn)化策略

    對于頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上的角,如果求其三角函數(shù),最通用的作法是將角轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的角,然后根據(jù)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形的解法,解出其銳角三角函數(shù).在遇到這類題時其求解方法有以下三種:①平移法;②相似三角形法.

    3.1 平移法

    將角所在的邊進(jìn)行平移使得角的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上,在平移的過程中利用平行線的性質(zhì)定理易知平行后的

    角和原來的角是一對同位角,故角的大小一樣.通過角的轉(zhuǎn)化使問題得到求解,在這個過程中學(xué)生體會到轉(zhuǎn)化思想在解三角函數(shù)題中的應(yīng)用.

    例3 在如圖7的正方形方格紙中,每個小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1,A,B,C,D都在格點(diǎn)處,AB與CD相交于O,則tan∠BOD的值等于.

    【過程展示】

    如圖8,平移AB至A1B1,連接A1C,

    則得到等腰三角形A1CO1,過A1作A1M⊥CO1,交CO1于一點(diǎn)M.

    因?yàn)锳1B1∥AB,所以∠AOC=∠A1O1C,

    由勾股定理可知:MO1=12CO1=22,A1O1=5,

    進(jìn)而求得A1M=A1O21-MO21=322.

    所以,tan∠BOD=tan∠COA=tan∠A1O1C=A1MMO1=3.

    3.2 相似三角形法

    對于部分特殊的角(如一邊為方格對角線的角)可以在角所在的網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)造直角,并利用三

    角形相似求解相關(guān)線段長.

    如上例3,在如圖9所示的正方形方格紙中,每個小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1,A,B,C,D都在格點(diǎn)處,AB與CD相交于O,則tan∠BOD的值等于 .

    【過程展示】

    如圖10,過A作AM⊥CD,交CD于點(diǎn)M,過E(E為AB上一點(diǎn),且為格點(diǎn))作EN⊥CD于點(diǎn)N,顯然M,N為格點(diǎn).

    因?yàn)椤螼MA=∠ONE=90°,∠COA=∠BOD,

    所以△AMO∽△ENO,所以AMEN=MOON,

    設(shè)ON=x,則OM=MN-x=2-x,代入上式

    得222=2-xx,解得x=23.所以tan∠BOD=ENON=3.

    【注釋】相似三角形的選取不是任意的,需使得新構(gòu)成的兩個三角形除了公共點(diǎn)外其余點(diǎn)均在格點(diǎn)上,而且這兩個三角形必須是直角三角形.

    以上三種解題策略不僅有助于網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)問題的求解,而且對于其他銳角三角函數(shù)問題的解決也具有參考價值,比如,對于兩角差或和的銳角三角函數(shù)問題的解決,有興趣的研究者可以進(jìn)行更深入的探究.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]葉留青.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的“構(gòu)造”策略[J].數(shù)學(xué)通報,2000(12):19-21.

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