作圖有序，求解有理

陶然

【摘要】本文以一道中考題為例，在幾何解題教學(xué)中嘗試讓學(xué)生自己畫出解題所需要的圖形，學(xué)生在重新構(gòu)圖的過程中理解條件與結(jié)論的內(nèi)在邏輯關(guān)系，利用構(gòu)圖的先后順序找到推理的因果關(guān)系，作圖與推理同步進行，不同的作圖順序?qū)?yīng)不同的解題思路.在這個過程中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象兩個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何解題教學(xué);圖形作用

對于中考的較難題，南京市教研室提倡“一題一課”，即在初三的二輪復(fù)習(xí)中，用一節(jié)課的時間來解決一道題.本文則是作者以2018年南京中考第26題為例設(shè)計的一節(jié)復(fù)習(xí)課.主要探討了在幾何證明中，利用圖形重構(gòu)的方法（學(xué)生自己依據(jù)題目條件重新畫圖）探索幾何證明題的解題思路.

【教學(xué)設(shè)計】

一、呈現(xiàn)題目

圖1如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE.過點A作AF⊥DE，垂足為F.⊙O經(jīng)過點C，D，F(xiàn)，與AD相交于點G.

（1）求證△AFG∽△DFC;

（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE=1，求⊙O的半徑.

二、圖形的重構(gòu)

問題1：你能否準(zhǔn)確地畫出該圖形？

追問1：你畫圖的順序是什么？（先畫什么，再畫什么）

設(shè)計意圖：學(xué)生經(jīng)過獨立的思考，能夠畫出下圖（圖2），即先畫出正方形ABCD，確定點E的位置，連接DE，過A作AF⊥ DE于F，從而確定點F的位置，連接CF.

追問2：如何確定圓心O的位置？

設(shè)計意圖：學(xué)生很容易回答出⊙O過C，D，F(xiàn)三點，是△CDF的外接圓，要確定圓心O的位置，在線段CD，DF，F(xiàn)C中任選兩條作垂直平分線的交點即可（圖3）.

圖2 圖3 圖4

追問3：（如圖4）點G是如何確定的？

設(shè)計意圖：G是⊙O與AD的交點，是由⊙O所確定的，這樣，△AFG的形狀也取決于⊙O，這個問題能引導(dǎo)學(xué)生在思考△AFG∽△DFC時，考慮⊙O帶來的相關(guān)條件.

分析與解：從圖形上看，∠FAG與∠FDC均為從直角中“減掉”一個小角，故考慮證明它們相等.∠FCD是⊙O的圓周角，而∠AGF是⊙O的圓周角∠FGD的補角，應(yīng)建立它們之間的聯(lián)系.我們知道，兩組角相等可證相似，從而解決這個問題.

解題反思：在解決第（1）小題的時候，從構(gòu)圖上看，我們先構(gòu)造出正方形，接著確定點E，F(xiàn)的位置，然后過C，D，F(xiàn)確定⊙O，最后確定點G.從證明的思路上看，我們在求證△AFG∽△DFC的過程中，一定會用到⊙O，因為點G是⊙O與AD的交點，從構(gòu)圖的順序來看，⊙O的構(gòu)造是先于點G的，即⊙O是因、點G是果.你作圖的順序同時也是你解題的順序，構(gòu)圖序即解題序！

問題2：如果AB=4，AE=1，你畫出的圖形是否唯一確定？

追問1：把圖中你能計算的所有線段的長度寫下來.

追問2：⊙O的半徑在圖中可以是哪一條線段的長？

設(shè)計意圖：通過依次對正方形ABCD，點E，F(xiàn)，⊙O與點G的構(gòu)圖（如圖5），學(xué)生能感受到圖中各點的位置都是確定的，從而圖中所有的幾何元素（線段、角）都是確定的，再由追問，明確這些元素的計算方法，自然地把求⊙O的半徑轉(zhuǎn)化為求圖中線段OD（或OF，OC）的長度.

圖6追問3：連接OD，你準(zhǔn)備如何求OD的長度？

分析與解：由于在構(gòu)圖的過程中我們采用了作線段中垂線的方法得到圓心O，那么要求圓的半徑則可以作如下輔助線（圖6），連接OD，過O作OI⊥CD于I，作OK⊥DE于K，OK分別交AD，BC于J，L.求⊙O的半徑，即求OD的長，進而轉(zhuǎn)化為求KD和KO的長，DK=1[]2DF，KO=JO-KJ=1[]2JL-1[]2AF=1[]2DE-1[]2AF，而DE，DF，AF都可以輕松得到.

三、回顧、歸納與反思

在學(xué)生寫完了整個題目之后，我又提出了這樣一個問題：

在求解的過程中，你求出了很多條線段的長度，按求出它們的先后順序把這些線段寫下來，然后和你畫圖的順序比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

我們能發(fā)現(xiàn)，在解決第（2）小題的過程中，圖形的重構(gòu)依然起著非常重要的作用.在解答中，由已知條件，得AD=4，AE=1，從而得到DE，EF，AF等線段的長度，在構(gòu)圖上有其對應(yīng)的表現(xiàn)，先畫出正方形，然后畫出點E和點F.而求半徑OD的過程在構(gòu)圖中則表現(xiàn)為由兩條中垂線OI和JL決定了點O的位置.同樣，解題序也是構(gòu)圖序.

四、換一種方式來思考

問題3：如果先畫出⊙O，那么能否順利地構(gòu)造出整個圖形？

設(shè)計意圖：如圖7，先畫出⊙O，在⊙O上取一條弦CD，以CD為邊長構(gòu)造出正方形ABCD，⊙O與AD，BC的交點分別為G，H，接下來應(yīng)該怎么畫呢？這里學(xué)生會有分歧.

如圖8，在AB邊上任取一點E，過A作AF⊥DE于F，發(fā)現(xiàn)F并不在⊙O上，構(gòu)圖與題設(shè)不符.若要求F在⊙O上（如圖9），連接AF，又不能保證AF與DE垂直，陷入了兩難.又該如何解決呢？

經(jīng)過思考，點F既要滿足在⊙O上，又要滿足AF⊥DE，點F應(yīng)該相當(dāng)特殊，只要將圖9略加變化為圖10（延長AF），要滿足AF與DE垂直這一條件，圖10中∠1=90°，∠1為直徑所對的圓周角，∠1的邊與⊙O已有一個交點D，∠1的另一邊與⊙O的交點應(yīng)是⊙O的直徑DH的另一個端點H（如圖11），問題就迎刃而解了，F(xiàn)點為AH與⊙O的交點，確定點F后，DF與AB的交點即為點E.

分析與解：以⊙O為基礎(chǔ)構(gòu)造出整個圖形，使我們得到了一個更簡潔的解法（如圖12），簡述如下：易證△ADE≌△BAH，從而得到BH=AE=1，則CH=3，連接DH，利用勾股定理得直徑DH=CH2+CD2=5，繼而求出半徑為2.5.

五、梳理解題思路，提煉思想方法

本節(jié)課圍繞一道中考題的解法展開，與以往不同的是，學(xué)生并沒有依賴題目本身所提供的圖形，而是自己從零開始，根據(jù)題目條件本身的邏輯結(jié)構(gòu)一步一步地畫出了解題需要的整個圖形，按照構(gòu)圖的順序，逐步確定解題需要的元素，在圖形構(gòu)建完畢的同時得到了證明的思路.甚至從不同的起點開始構(gòu)造圖形，得到的證明思路也完全不同.我們可以稱這樣的解題方法為“圖形重構(gòu)”法.可以用下面這個結(jié)構(gòu)圖來表示.

【教學(xué)思考】

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看，證明題的解法不僅僅體現(xiàn)了邏輯推理，證明題中包含的幾何圖形對學(xué)生的直觀想象能力也提出了要求.在幾何證明中，圖形的構(gòu)造與問題的推理其實是同一個實質(zhì)的兩種不同表現(xiàn)，而圖形的重構(gòu)與思路的建立同步進行，加深了它們之間的關(guān)系，圖形的構(gòu)建應(yīng)具有邏輯順序，而推理的過程則是圖形構(gòu)建的自然生成.

幾何課的教學(xué)與評價中，教師常常把作圖題和證明題看作兩個不同的題型，把作圖與證明人為地割裂開，其實這樣不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體理解.作者認為，幾何證明題的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)給學(xué)生充分的時間，鼓勵他們自己建構(gòu)解題需要的圖形.幾何解題需要一個準(zhǔn)確且漂亮的圖形，而這個圖形應(yīng)該由解題者自己構(gòu)建.因為畫圖的過程實際上也是一個先定性分析后定量分析的過程，如果能準(zhǔn)確作出圖形，那么該圖形的一切元素皆可求（定性）.而作圖的先后順序和確定圖形的約束條件，也正是邏輯推理的順序與材料（定量）.

《幾何原本》的第一個命題是“已知一條線段可以作一個等邊三角形”，歐幾里得先給出了作法，然后作出了圖形，最后給出了證明，這是一個既有數(shù)學(xué)思維又有美學(xué)意義的開端.我們的幾何解題教學(xué)也應(yīng)回歸到這個主題上——數(shù)學(xué)推理不僅僅是嚴(yán)謹?shù)倪壿嫞€應(yīng)該有“恰到好處的美”.

【參考文獻】

[1]歐幾里得.幾何原本[M].燕曉東，譯.南京：江蘇人民出版社，2011.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心組.初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計案例集[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]范連眾，孔凡哲.“想得通”“想得到”“做得到”——談學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)學(xué)科中的落實[J].遼寧教育，2018（3）：9-12.

[4]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5]李峰，白亞娟.教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

[6]約翰·查爾頓·波金霍爾.數(shù)學(xué)的意義[C].王文浩，譯.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2018.