如何正確運(yùn)用χ2檢驗(yàn)
——三種雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料的χ2檢驗(yàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在整理臨床資料時(shí)，若結(jié)果變量為定性變量，為了使資料看起來(lái)簡(jiǎn)潔、直觀、明了，人們常采取一種特定的表達(dá)形式，即“列聯(lián)表”。若原因變量只有1個(gè)，就可以將其整理成“二維列聯(lián)表資料”；若原因變量有2個(gè)，就可以將其整理成“三維列聯(lián)表資料”；依此類推，若原因變量有k-1個(gè)時(shí)，就可以將其整理成“k維列聯(lián)表資料”。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)k＞3時(shí)，人們很少采用列聯(lián)表形式呈現(xiàn)資料，而借用表達(dá)結(jié)果變量為定量變量時(shí)的形式，其常被稱為“數(shù)據(jù)庫(kù)”格式，即每行代表一個(gè)個(gè)體的全部信息，而每列代表一個(gè)變量（包括一般變量、原因變量和結(jié)果變量）及其全部取值。本文著重介紹除四格表資料之外的其他三種雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料的形式、適于進(jìn)行χ2檢驗(yàn)的前提條件、基于SAS和R軟件實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)分析的方法。

1 三種雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料的實(shí)例

1.1 二維列聯(lián)表資料

所謂“二維列聯(lián)表資料”，就是將兩個(gè)變量（通常都是定性的）分別放置在表格的“橫向”與“縱向”（稱為兩個(gè)“維度”）上，設(shè)它們分別有“R”個(gè)與“C”個(gè)水平，它們的全部水平組合數(shù)就有“R×C”個(gè)，于是，就很自然地將表格（可將其視為一個(gè)“二維平面”）劃分成“R×C”個(gè)“網(wǎng)格”，根據(jù)每個(gè)個(gè)體同時(shí)在兩個(gè)變量上的取值情況，就可以將其歸類到某一個(gè)“網(wǎng)格”之中，數(shù)出各“網(wǎng)格”內(nèi)的個(gè)體數(shù)（稱其為“頻數(shù)”），此時(shí)的資料就被稱為“二維列聯(lián)表資料”。由此可知，“四格表資料”就是“二維列聯(lián)表資料”的特例。

1.2 雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料的表達(dá)模式

設(shè)危險(xiǎn)因素A有R個(gè)水平，結(jié)果變量B有C個(gè)不同取值，則雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料（常簡(jiǎn)稱為R×C表資料）的表達(dá)模式見表1。

表1 雙向無(wú)序R×C表資料的表達(dá)模式

在表 1中，當(dāng)R=2、C＞2，就簡(jiǎn)稱為“2×C表資料”；當(dāng)R＞2、C=2，就簡(jiǎn)稱為“R×2表資料”；所以，它們都是“R×C表資料”的特例。

1.3 實(shí)例

1.3.1 雙向無(wú)序R×2表資料的實(shí)例

【例1】文獻(xiàn)［1］中有一個(gè)雙向無(wú)序R×2表資料，見表2。

表2 影響青少年焦慮癥狀的一個(gè)可疑因素的調(diào)查結(jié)果

1.3.2 雙向無(wú)序2×C表資料的實(shí)例

【例2】文獻(xiàn)［2］中有一個(gè)雙向無(wú)序2×C表資料，見表3。

表3 患者與家屬對(duì)疾病的主要知曉途徑調(diào)查結(jié)果

1.3.3 雙向無(wú)序R×C表資料的實(shí)例

【例3】文獻(xiàn)［3］中有一個(gè)雙向無(wú)序R×C表資料（說(shuō)明：不考慮“時(shí)間”的有序性），見表4。

表4 基層精防醫(yī)護(hù)人員K6評(píng)定結(jié)果

1.4 統(tǒng)計(jì)分析方法的選擇

對(duì)于上述呈現(xiàn)的三種雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料而言，一般來(lái)說(shuō)，其分析目的是相同的，即檢驗(yàn)“兩屬性變量之間是否獨(dú)立”。與此分析目的對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析方法為“χ2檢驗(yàn)”（注意：選用此方法時(shí)，資料需滿足特定的前提條件，見下文）和“Fisher’s精確檢驗(yàn)”。

2 雙向無(wú)序R×C表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)

2.1 檢驗(yàn)方法概述

2.1.1 檢驗(yàn)假設(shè)

H0：兩屬性變量之間互相獨(dú)立；

H1：兩屬性變量之間存在關(guān)聯(lián)性。

設(shè)置顯著性水平為：α=0.05。

2.1.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Pearson’sχ2檢驗(yàn)［4］的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見下式：

在上式中，Oij、Tij分別代表第（i，j）網(wǎng)格上的觀察頻數(shù)與理論頻數(shù)；基于概率論中條件概率的計(jì)算原理，理論頻數(shù)Tij可按下式計(jì)算：

在式（1）中，為服從自由度為df=（R-1）（C-1）的χ2分布。

若基于式（1）進(jìn)行計(jì)算，首先需要計(jì)算各網(wǎng)格上的“理論頻數(shù)”，顯然，利用手工計(jì)算是極不方便的。事實(shí)上，將式（2）代入式（1）后經(jīng)過變形，可以推導(dǎo)出不依賴“理論頻數(shù)”的計(jì)算公式，見式（3）：

2.1.3 前提條件

R×C表資料χ2檢驗(yàn)的前提條件是理論頻數(shù)不宜太小，如果太小則有可能產(chǎn)生偏性。關(guān)于理論頻數(shù)小的“界限”說(shuō)法不一，例如，Cochran將理論頻數(shù)太小的界定為：有1/5的格子中理論頻數(shù)小于5，或至少有一個(gè)格子中理論頻數(shù)小于1；Roscoe和Byars認(rèn)為：若當(dāng)設(shè)定α=0.05時(shí)，平均理論頻數(shù)［即N/（R×C）］小于6，屬于理論頻數(shù)太??；若當(dāng)設(shè)定α=0.01時(shí)，平均理論頻數(shù)小于10，屬于理論頻數(shù)太?。?］。

如果理論頻數(shù)太小，可采取以下方法進(jìn)行處理：①增大樣本含量，以達(dá)到增大理論頻數(shù)的目的，此屬首選方法；②刪除理論頻數(shù)太小的格子所對(duì)應(yīng)的行或列，但此方法會(huì)不可避免地?fù)p失信息及樣本的隨機(jī)性；③合并相鄰的行或列，此法僅當(dāng)行變量或列變量是有確定順序的情形才可以。

【說(shuō)明】當(dāng)可選用χ2檢驗(yàn)時(shí)，也可選用Fisher’s精確檢驗(yàn)；一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)列聯(lián)表中理論頻數(shù)小于5的格子數(shù)超過了總格子數(shù)的1/5時(shí)，應(yīng)盡可能選用Fisher’s精確檢驗(yàn)（因篇幅所限，此法的計(jì)算原理和公式從略）。

2.2 基于SAS軟件實(shí)現(xiàn)計(jì)算

2.2.1 分析例1資料

【例4】沿用例1的資料，試檢驗(yàn)兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性。

【分析與解答】回答兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性的統(tǒng)計(jì)分析方法可選用χ2檢驗(yàn)，設(shè)所需要的SAS程序如下［6］：

【說(shuō)明】若希望采用Fisher’s精確檢驗(yàn)，需在前述的FREQ過程步中的“TABLES語(yǔ)句”之后增加一句，即“exact fisher；”。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

【專業(yè)結(jié)論】第一次了解此次疫情的途徑不同，發(fā)生焦慮的比例是不同的，具體地說(shuō)，發(fā)生焦慮比例從高到低依次為“雜志”＞“社交平臺(tái)”＞“親朋好友或老師”＞“社交軟件”＞“網(wǎng)站”＞“電視”。值得一提的是：“雜志”所對(duì)應(yīng)的樣本含量為2，樣本過小，抽樣誤差很大，應(yīng)將該行數(shù)據(jù)刪除重新計(jì)算。

2.2.2 分析例2資料

【例5】沿用例2的資料，試檢驗(yàn)兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性。

【分析與解答】回答兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性的統(tǒng)計(jì)分析方法可選用χ2檢驗(yàn)，設(shè)所需要的SAS程序如下：

【說(shuō)明】因篇幅所限，用SAS軟件分析例3數(shù)據(jù)從略，讀者可借助前面的SAS程序自己去完成，但需要修改原始數(shù)據(jù)的“行數(shù)”與“列數(shù)”（位于SAS程序中兩個(gè)“DO語(yǔ)句”）。

2.3 基于R軟件實(shí)現(xiàn)計(jì)算

【例6】沿用例3的資料，試檢驗(yàn)兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性。

【分析與解答】回答兩屬性變量之間是否存在獨(dú)立性的統(tǒng)計(jì)分析方法可選用χ2檢驗(yàn)，設(shè)所需要的R程序如下［7-8］：

遺憾的是：R軟件給出了“警告信息”，表明此資料不符合進(jìn)行χ2檢驗(yàn)的前提條件（具體地說(shuō)，資料中小于5的理論頻數(shù)的個(gè)數(shù)超過了總格子數(shù)的1/5），故χ2近似算法給出的結(jié)果可能不準(zhǔn)確。

將上面R程序中的最后一行換成下面的語(yǔ)句，就可對(duì)此資料進(jìn)行Fisher’s精確檢驗(yàn)：

以上輸出內(nèi)容表明：經(jīng)過2000次重復(fù)模擬計(jì)算，得到P=0.0004998，說(shuō)明該列聯(lián)表資料中兩個(gè)屬性變量之間不獨(dú)立，結(jié)論同上，此處不再贅述。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

本文所介紹的三種雙向無(wú)序列聯(lián)表資料的檢驗(yàn)假設(shè)是相同的，具體內(nèi)容見“第2.1.1節(jié)”；當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕“H0”、接受“H1”時(shí)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)論也是相同的，即“表中兩屬性變量之間不獨(dú)立”，更確切地表述為：“各行或各列上的頻數(shù)分布規(guī)律是不同的”。在實(shí)踐中，人們可能會(huì)提出更具體的要求，例如，究竟哪些行或列上的頻數(shù)分布規(guī)律是不同的、哪些行或列上的頻數(shù)分布規(guī)律是相同的？對(duì)這個(gè)問題的回答涉及兩方面的內(nèi)容，其一，列聯(lián)表資料的多重比較問題［9］；其二，χ2值的非精確分割與精確分割問題［10-11］。因篇幅所限，此處從略。

若用SAS軟件對(duì)本文中例3資料進(jìn)行“Fisher’s精確檢驗(yàn)”，計(jì)算的時(shí)間可能需要數(shù)個(gè)小時(shí)；但采用R軟件進(jìn)行計(jì)算（見本文例6），大約只需要2秒鐘。之所以會(huì)產(chǎn)生如此大差距的根本原因是兩種統(tǒng)計(jì)軟件所采用的計(jì)算方法不同，前者是基于超幾何分布原理推算出來(lái)的計(jì)算方法；而后者采用的是蒙特卡羅模擬計(jì)算方法。

3.2 小結(jié)

本文呈現(xiàn)了三種雙向無(wú)序二維列聯(lián)表資料的實(shí)例，介紹了基于Pearson’s χ2檢驗(yàn)的計(jì)算原理和采用SAS與R軟件實(shí)現(xiàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體方法和結(jié)果解釋。最后，提出了兩個(gè)與“χ2檢驗(yàn)”有關(guān)且有待進(jìn)一步討論的問題。