一般差分方程的求解方法

孫建新

(紹興文理學院 數(shù)學系，浙江 紹興 312000)

0 引言

文獻[1]和[2]，分別討論了齊次差分方程與非齊次差分方程的解法，并指出使用階乘冪可帶來方便.本文將列舉差分方程的最常見的十種解法.

1 主要結果

所謂差分方程，就是“含有未知離散函數(shù)的至少一階差分的等式”.因為差分算子可以等價地用位移算子代替，且離散函數(shù)也可以按習慣等價地用帶下標的數(shù)列表示，所以差分方程的表達形式大致有四種：

(1)Pk(Δ)f(n)=g(n),k∈Z+;

(2)Pk(E)f(n)=h(n),k∈Z+；

(3)Pk(Δ)fn=gn,k∈Z+;

(4)Pk(E)fn=hn,k∈Z+.

差分方程的解法有的是與微分方程的解法是平行的，例如微分方程有直接積分法，那么差分方程就有直接和分法；微分方程有分部積分法，那么差分方程就有分部和分法；微分方程有變量代換法，差分方程也有變量代換法；其它如分拆法、級數(shù)展開法，以及線性方程的特征根法，無論是微分方程還是差分方程都適用.

差分方程的解法有的是與微分方程的解法不同的，例如微分方程相當于步長為0，但是差分方程的步長不是0，但是可以變動步長；又如差分方程可以使用遞推法求解，而微分方程卻不行；特別地，差分方程的假借法是一種僅僅適用于離散函數(shù)的特殊解法，它也不適用于微分方程的求解.

2 求解方法

下面將一般差分方程常見的十種求解方法介紹于下：

2.1 和分法

若函數(shù)的差分為“和分表”上的函數(shù)或“擬初等函數(shù)”，則可以直接和分求出原函數(shù).

例 1 求差分方程Δxn=n!3的解.

例 2 求差分方程Δxn=1/n!3的解.

例 3 求差分方程Δxn=3n的解.

=ln(n)+c.

例 5 求差分方程Δxn=sin!(n)的解.

解xn=Δ-1sin!(n)=-cos!(n)+c.

例 6 求差分方程Δ2xn=cos(n)的解.

2.2 分拆法

若函數(shù)的差分可以分拆為若干“和分表”上的函數(shù)或“擬初等函數(shù)”，則可用分拆法.

例 7 求差分方程

例 8 求差分方程Δxn=ch(n)的解.

例 9 求差分方程

解 因為

xn=Δ-1(sin(n)+cos(n))

2.3 分部和分法

若求乘積的和分，則可用分部和分法.公式為

Δ-1(g·Δf)=f·g-Δ-1(Ef·Δg).

例 11 求差分方程Δxn=n!2·an的解.

解 因為Δ-1an=an/(a-1)，所以

xn=Δ-1(n!2·Δan/(a-1))

例 12 求差分方程Δxn=n·cos(n)的解.

解 因為

例 13 求差分方程Δxn=n·cos!(n)的解.

解 因為Δ-1cos!(n)=sin!(n),所以

xn=Δ-1(n·Δsin!(n))

=n·sin!(n)-Δ-1(sin!(n+1)·Δn)

=n·sin!(n)+cos!(n+1)+c.

例 14 求差分方程Δxn=2n·sin!(n)的解.

解 因為Δ-12n=2n,所以

xn=Δ-1(2n·sin!(n))

=Δ-1(sin!(n)·Δ2n)

=2n·sin!(n)-Δ-1(2n+1·Δsin!(n))

=2n·sin!(n)-Δ-1(Δ2n+1·cos!(n))

=2n·sin!(n)-2n+1·cos!(n)

+Δ-1(2n+2·Δcos!(n))

=2n·sin!(n)-2·2n·cos!(n)

-4·Δ-1(2n·sin!(n))

=2n·sin!(n)-2n+1·cos!(n)-4xn.

整理可得

2.4 步長變動法

若求復合函數(shù)的和分，可使用步長變動法.

法則 1 設y=f{u},u=g(x).若

h=Δu=g(x+1)-g(x),Δhf(u)

=f(u+h)-f(u)=h(u).則

法則 2 設y=f{u},u=g(x).若

l=?u=g(x)-g(x-1),

?lf(u)=f(u)-f(u-l)=H(u).則

法則 3 因為Δhx!k(h)=kh·x!k-1(h),所以

法則 4 因為?lx!k(l)=kl·x!k-1(l),所以

法則 5 若h=Δu,則

法則 6 若h=?u,則

法則 7 若h=Δu,則

若h=?u,則

法則 8 若h=Δu,則

若h=?u,則

例 15 求差分方程Δxn=cos(2n-1)的解.

解 取u=2n-1,則h=Δu=Δ(2n)=2,所以

例 16 求差分方程

Δxn=2n!2(4n-1)的解.

解 取u=n!2,則h=Δu=Δ(n!2)=2n,所以由法則 5有

=2u+c=2n!2+c.

例 17 求差分方程Δxn=sin(n)cos(n2)的解.

h=Δu=Δ(n!2)=2n,所以

例 18 求差分方程

Δxn=sin!(2n)的解.

解 若取u=2n,則h=Δu=Δ(2n)=2,所以

=-cos!(2n)+c.

2.5 遞推法

利用差分關系以及初始條件遞推得出一般解的方法.

例 19 求差分方程xn+1=ankxn的解.

解xn+1=ankxn=ankΔa(n-1)kxn-1

=a2(n!2)kxn-1

=…=ar(n!r)kxn-r+1

=an(n!n)kxn-n+1=an(n!)kx1.

即

xn=an-1((n-1)!)kx1.

例 20 求差分方程初值問題Δ2xn=n!2,x0=1,x1=2的解.

解 由Δ2xn=n!2可得

xn+2-2xn+1+xn=n!2,即

xn+2-xn+1=xn+1-xn+n!2=xn-xn-1

即

相當于

遞推可得

2.6 變量代換法

若能找到新的離散函數(shù)其差分關系更為簡單，則可用變量代換法.

解 原方程可化為(n+1)xn+1=2nxn.令yn=nxn,則有yn+1=2yn.于是

nxn=yn=2n-1y1=2n-1(1x1).解得

yn+1=2yn.于是yn=2n-1y1=2n-1x1.

解得

xn=nyn=n2n-1x1.n=1,2,….

2.7 待定函數(shù)法

若能估計差分方程的解的函數(shù)類型，則可以使用待定函數(shù)法.

例 23 求差分方程Δxn=kxn的解.

解 可設xn=an.于是

Δxn=Δan=an+1-an=(a-1)an=kxn=kan.

即得

a-1=k,a=k+1.

所以

xn=an+c=(k+1)n+c.

例 24 求差分方程Δxn=(xn)r-xn,x0=3的解.其中r≠0.

解 Δxn=xn+1-xn=(xn)r-xn.即

xn+1=(xn)r

可設xn=abn.于是有

abn+1=abΔbn=(abn)r=arΔbn.

可得b=r，xn=arn

又由初始條件x0=3，得到ar0=a1=a=3.于是方程的特解為

xn=3rn.

2.8 特征根法

若為常系數(shù)的線性差分方程，可以采用特征根法來求解.

常系數(shù)的線性差分方程將在文獻[3]與[4] 作專門介紹，此處僅舉一例：

例 25 求差分方程xn+2=xn+1+xn，x0=x1=1的解.

解 本題模型來自著名的斐波那契兔子問題.

原方程可化為xn+2-xn+1-xn=0.不妨設xn=λn,代入即得

λn+2-λn+1-λn=λn(λ2-λ-1)=0.

若λ=0，則xn=0為平凡解，不合題意.若λ≠0，則有

λ2-λ-1=0.

上式稱為原差分方程對應的特征方程，其中λ稱為特征根.

由特征方程可以求出特征根為

于是xn=c1λ1n+c2λ2n.由初值條件，可得c1與c2的方程組

原方程的解是

特別地有x0=1，x1=1，x2=2，x3=3，x4=5，x5=8，…

2.9 假借法

若證明差分方程的解由已知的其它離散函數(shù)構成，則可以使用假借法.

可得yn+1=yn-1+yn.又

可知y0=y1=1，且yn+1=yn-1+yn.這就證明yn是斐波那契數(shù)列.由例 25有

原方程的解是

2.10 級數(shù)展開法

若不能使用上述諸法求差分方程的解，則至少可以使用階乘冪的無窮級數(shù)展開法.

例 27 求差分方程

Δxn=ln(1+rn)的解.

解 由階乘冪展開公式可得

ln(1+rn)

于是

xn=Δ-1ln(1+rn)

例 28 求差分方程Δxn=arcsinx的解.

解 由階乘冪展開公式可得

arcsinx

于是

xn=Δ-1arcsinx

差分方程的求解方法應該不止上述十種，有的方法將在后面的章節(jié)再作一些介紹.當然也希望讀者能提供別的新方法.

接下來，介紹較為簡單的一階差分方程：

xn+1=axn+b，其中a，b為常數(shù).

當a=1時，xn+1=xn+b.

則有

可知滿足方程的離散函數(shù)就是等差數(shù)列.

當a≠1，b=0時，xn+1=axn.

則有

可知滿足方程的離散函數(shù)就是等比數(shù)列.

當a≠1，b≠0時，

xn+1=axn+b(a≠1，b≠0).若記

則稱x*為差分方程的平衡點(或不動點).令yn=xn-x*.則有

yn+1=ayn.

綜合可得如下引理：

引理1 一階差分方程xn+1=axn+b.

定理2 一階常系數(shù)非齊次線性差分方程xn+1=axn+bn+c的解為

證明若a=1,則遞推可得

xn=xn-1+b(n-1)+c

=xn-2+b(n-2)+b(n-1)+2c

若a≠1,則

xn+1+A(n+1)+B

=axn+(bn+c)+An+A+B

=axn+(A+b)n+(A+B+c)

例 29xn+1=3xn+2n+1.求差分方程的解.

解 由a=3,b=2,c=1,即得A=1,B=1.于是

xn+1+(n+1)+1=3xn+2n+1+(n+2).

xn+1+(n+1)+1=3(xn+n+1).

令yn=xn+n+1.可得yn+1=3yn.則

yn=xn+n+1=3ny0=3n(x0+1),

解得

xn=yn-n-1=3n(x0+1)-n-1.

3 小結

除了線性差分方程具有特殊的解法以外，對一般的差分方程還介紹了十種求解方法.當然，不排除其它可行的差分方程解法的存在性.