非正態(tài)分布的三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)可靠性拓?fù)鋬?yōu)化研究

羅 帥 蘇 睿

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院,浙江 紹興 312000)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)不斷地進(jìn)步,工程建筑也趨于復(fù)雜.在設(shè)計(jì)這類復(fù)雜工程建筑時(shí),需要綜合考慮如何提高結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能、提升材料的利用效率以及降低工程中的各類成本等.因此,優(yōu)化設(shè)計(jì)便在設(shè)計(jì)領(lǐng)域占據(jù)重要的地位.目前優(yōu)化設(shè)計(jì)主要有三種優(yōu)化層次[1]:尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化與拓?fù)鋬?yōu)化,三種優(yōu)化形式又對應(yīng)三個(gè)不同的設(shè)計(jì)階段.尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化在面對大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí),有設(shè)計(jì)周期長,優(yōu)化效果不明顯等缺點(diǎn),因此難以保證在限定的時(shí)間里得到滿意的設(shè)計(jì)結(jié)果[2].拓?fù)鋬?yōu)化是最近幾十年快速發(fā)展的一種新型結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[3].作為一種概念性優(yōu)化方法,其優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)思路靈活,設(shè)計(jì)空間廣闊.按結(jié)構(gòu)類型可分為離散體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化和連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化[4].隨著科研工作者的深入研究,均勻化法[5]、變密度法[6]、水平集法[7]、進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化法[8]等方法相繼被提出.

在傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法中,類似于尺寸、荷載等需要優(yōu)化的參數(shù)一般設(shè)計(jì)為固定值,而且建立的優(yōu)化模型一般是二維模型.但在實(shí)際工程中,這類參數(shù)可能是屬于非正態(tài)分布的隨機(jī)變量,需要優(yōu)化的模型一般是三維空間模型.本文基于非正態(tài)分布的三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究,是將結(jié)構(gòu)可靠性理論引入三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中[9].將結(jié)構(gòu)的可靠度作為優(yōu)化模型的一個(gè)約束條件,得到同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)可靠性和結(jié)構(gòu)性能最優(yōu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果[10].該方法不但可以有效地提高相關(guān)人員的工作效率,還可以減少各類生產(chǎn)成本,因此應(yīng)用愈來愈廣,也成為越來越多學(xué)者的主要研究內(nèi)容.Kharmanda將可靠性理論引入拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中[11],提出一種可以使優(yōu)化結(jié)構(gòu)滿足可靠度要求的拓?fù)鋬?yōu)化方法(Reliability-Based Topology Optimization,簡稱RBTO).Meysam Johari[12]使用一階和二階可靠性分析對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度優(yōu)化,探究結(jié)構(gòu)柔度與不確定參數(shù)數(shù)量的關(guān)系. Aditya[13]等將隨機(jī)矩陣?yán)碚?RMT)與RBTO結(jié)合,量化了不確定性并極大地提高可靠度計(jì)算的效率.Suwin提出一種基于模糊集方法對多目標(biāo)可靠度的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法,滿足結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求[14].

本文選擇將優(yōu)化模型的幾何尺寸和荷載作為非正態(tài)分布的隨機(jī)變量,應(yīng)用當(dāng)量正態(tài)化法 (又稱JC法,實(shí)際為當(dāng)量正態(tài)化條件下的驗(yàn)算點(diǎn)法)[15],首先將非正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化成正態(tài)分布的隨機(jī)變量,再根據(jù)當(dāng)量正態(tài)化條件,得到當(dāng)量正態(tài)化變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,進(jìn)而得到優(yōu)化后的幾何尺寸以及荷載[16].在此基礎(chǔ)上, 基于變密度法,結(jié)合有限元分析,建立八節(jié)點(diǎn)六面體單元連續(xù)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型.使用SIMP法[17]對優(yōu)化模型進(jìn)行插值處理,再以結(jié)構(gòu)體積作為約束條件且以柔度最小化為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化工作,并展現(xiàn)優(yōu)化成果.這種優(yōu)化方法將可靠度優(yōu)化與拓?fù)鋬?yōu)化分開進(jìn)行計(jì)算,兩個(gè)部分單獨(dú)進(jìn)行循環(huán),這可以有效增加計(jì)算效率,避免了兩種優(yōu)化的耦合影響計(jì)算速度.通過三維模型結(jié)構(gòu)的算例證明該方法比傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法優(yōu)化效果更好,結(jié)構(gòu)更輕,更具有實(shí)際工程意義.

1 可靠度分析

1.1 基本概念

傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案是設(shè)計(jì)人員結(jié)合自身的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)確定設(shè)計(jì)參數(shù)及區(qū)間,再按需要不斷調(diào)整設(shè)計(jì)方案,直到其各類參數(shù)均滿足設(shè)計(jì)要求.這就導(dǎo)致在變量復(fù)雜時(shí),例如在結(jié)構(gòu)幾何尺寸和荷載的大小可變的情況下,優(yōu)化結(jié)構(gòu)的可靠性可能不符合預(yù)期,影響優(yōu)化質(zhì)量.當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)含有非正態(tài)分布隨機(jī)變量時(shí),如何使結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果有足夠的可靠度就是當(dāng)前設(shè)計(jì)人員主要研究的問題.在RBTO模型里,將變量的類型分成了三種：一是設(shè)計(jì)變量X,它是固定值;二是隨機(jī)變量Y,它用來表示一些由概率分布的不確定變量；三是標(biāo)準(zhǔn)變量u,用來連接設(shè)計(jì)變量和隨機(jī)變量.

在可靠度分析中,由設(shè)計(jì)變量X和隨機(jī)變量Y表示的功能函數(shù)(或失效函數(shù))為[10]：

Z=G(X,Y)

(1)

如圖1所示,當(dāng)Z>0時(shí),結(jié)構(gòu)為安全狀態(tài),當(dāng)Z<0時(shí),結(jié)構(gòu)為失效狀態(tài),當(dāng)Z=0時(shí),結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài).

結(jié)構(gòu)無法達(dá)到預(yù)期設(shè)計(jì)性能的概率稱為失效概率,用Pf表示,由失效概率的實(shí)際意義可知：

(2)

其中Pr(·)表示概率,fz(z)為概率密度函數(shù).

圖1 功能函數(shù)Z及可靠指標(biāo)的幾何意義

設(shè)隨機(jī)變量Y=(Y1,Y2,…，Yn)T,n為隨機(jī)變量的個(gè)數(shù),那么聯(lián)合概率密度函數(shù)為fY(y)=fY(y1,y2,…,yn),則結(jié)構(gòu)的失效概率為：

(3)

但實(shí)際工程中,隨機(jī)變量Y可能不是服從正態(tài)分布的,且聯(lián)合概率密度函數(shù)也很難求解,直接計(jì)算多重積分更是繁瑣復(fù)雜.因此引入可靠性指標(biāo)β(如圖1所示),β是一個(gè)無量綱數(shù),失效概率可以表示為[18]：

Pf=Φ(-β)=1-Φ

(4)

通過式(4)便可快速得到滿足工程精度要求的失效概率的近似值.

1.2 可靠度的一次二階矩方法

為了得到可靠指標(biāo)β的近似結(jié)果,可以將非線性功能函數(shù)Z按Taylor級數(shù)展開并取一次項(xiàng),這就有一次二階矩(FORM)法,在有非正態(tài)分布的隨機(jī)變量時(shí),可以通過當(dāng)量正態(tài)化法將其轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,再利用驗(yàn)算點(diǎn)法便可得到可靠性指標(biāo)β.

如圖1所示,β的幾何意義就是在標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi),從原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離.則求解β便可轉(zhuǎn)化成用標(biāo)準(zhǔn)變量u求解以下最優(yōu)化問題：

(5)

式(5)中,βt為給定的可靠度.

(6)

(7)

對式(6)求反函數(shù)得:

(8)

由式(7)解得:

(9)

由式(8)和式(9)便可得變量在當(dāng)量正態(tài)化后的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 變密度法

變密度法是一種常用的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化建模方法,它實(shí)際上是在均勻化方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來.變密度法的核心思想是讓其材料單元的相對密度在閉區(qū)間[0,1]內(nèi)變化,單元密度為0時(shí)優(yōu)化為可以刪除的孔洞單元,單元密度為1時(shí)優(yōu)化為必須保留的實(shí)體單元[19].但這就會(huì)存在相對密度在開區(qū)間(0,1)內(nèi)的單元,這樣的單元很難直接判斷是保留還是刪除,因此Sigmund等提出了一種插值函數(shù)模型—固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization, SIMP)[20]用以減少在優(yōu)化過程中出現(xiàn)的中間密度單元.

在SIMP模型中,經(jīng)過插值函數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

(10)

式中,E(x)為經(jīng)過插值函數(shù)優(yōu)化后的材料的彈性模量,Emin近似表示為空白的單元的彈性模量,ρx代表第x個(gè)單元的相對密度,ρ為懲罰因子,ΔE=E0-Emin為相對密度表現(xiàn)為“1”的實(shí)體單元與相對密度表現(xiàn)為“0”的孔洞單元的彈性模量的差,通常取Emin=E/1000.

進(jìn)而可得SIMP模型的剛度矩陣、柔度函數(shù)和靈敏度函數(shù)為[21]：

(11)

(12)

(13)

式(11)-式(13)中,K(ρ)為整體剛度矩陣,Kx表示第x個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚦云鋸椥阅Ａ康玫降摹皢卧眲偠汝?U為結(jié)構(gòu)的位移向量,ρ表示設(shè)計(jì)變量,N為單元數(shù)目,C為結(jié)構(gòu)的柔度,C′為靈敏度.

2.2 優(yōu)化模型建立

2.2.1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

基于變密度法,以三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的體積作為約束,以結(jié)構(gòu)柔度最小化為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化模型描述如下[22]：

Find:X={x1,x2,x3,…,xn}T∈Ω

(14)

F=KU

0

式中,C為結(jié)構(gòu)的柔度,F為結(jié)構(gòu)的力向量,U為結(jié)構(gòu)的位移向量,xi為材料單元的相對密度,ui為材料單元的位移列向量,k0為材料密度為“1”的單元?jiǎng)偠染仃?V(x)為材料體積,V0為設(shè)計(jì)體積,Vol為結(jié)構(gòu)的容積率,xmin為最小材料單元密度,通常取為0.001.

建立模型后，使用優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criterion,OC)求解式(14)的結(jié)構(gòu)柔度最小問題,迭代計(jì)算后得出優(yōu)化結(jié)果.

2.2.2 可靠度優(yōu)化模型

在式(14)的拓?fù)鋬?yōu)化模型中,并沒有把可靠度指標(biāo)考慮進(jìn)去,這種優(yōu)化方式在實(shí)際工程中難以應(yīng)用,而且可能導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果的可靠度不足.因此在可靠度拓?fù)鋬?yōu)化模型中,需要將可靠度加入目標(biāo)函數(shù),即把式(5)引入式(14)可得：

Find:X={x1,x2,x3,…,xn}T∈Ω

Subjectto:β(u)≥βt

(15)

F=KU

0

對于此模型,在設(shè)計(jì)的參數(shù)中,要求先對非正態(tài)分布的隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化,變成正態(tài)分布的隨機(jī)變量,然后利用β的幾何意義迭代得到滿足可靠度要求的隨機(jī)變量.再繼續(xù)用式(15)進(jìn)行優(yōu)化工作.這樣的好處是可靠度優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化的分開進(jìn)行,避免了兩種優(yōu)化耦合性影響計(jì)算速度.

3 計(jì)算結(jié)果與比較

3.1 算例一

懸臂梁給定的初始設(shè)計(jì)區(qū)域如圖2所示,彈性模量E,泊松比μ,右下角有垂直向下的拉力F.

圖2 懸臂梁初始設(shè)計(jì)域

懸臂梁的荷載F、外形尺寸及結(jié)構(gòu)容積率Vol為非正態(tài)分布隨機(jī)變量,它們的參數(shù)如表1所示.

表1 懸臂梁及帶孔懸臂梁的幾何參數(shù)

傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)為定值,因此按表1的均值計(jì)算,優(yōu)化結(jié)果如圖3(a)所示,考慮可靠度指標(biāo)β=3.8(失效概率為2.9195×10-4)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖3(b)所示.

(a)傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

(b)基于可靠度的優(yōu)化結(jié)果

從圖3中可以看出,結(jié)構(gòu)的兩種優(yōu)化結(jié)果有很大區(qū)別,經(jīng)過可靠度優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)內(nèi)部支撐分布更加合理,用料更加經(jīng)濟(jì).在滿足預(yù)定的結(jié)構(gòu)性能要求的情況下,傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的體積為2 675 mm3,基于可靠度設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)體積僅為1 568 mm3,這表示考慮可靠度后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)自重只有原來的60%,這不僅減少材料用量,還可以極大地降低生產(chǎn)成本.

3.2 算例二

在工程設(shè)計(jì)中,有時(shí)需要在結(jié)構(gòu)上預(yù)留一些孔洞,因此在算例一的基礎(chǔ)上,如圖4(a)所示在懸臂梁的(3/X,2/Y,0)處預(yù)留一個(gè)直徑為3/Y,厚度為Z的圓柱形孔洞,其余參數(shù)見表1,優(yōu)化結(jié)果如圖4(b)、4(c)所示:

(a)初始設(shè)計(jì)域

(b)傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

(c)基于可靠度的優(yōu)化結(jié)果

在圖4(b)所示的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中,固定端多了一個(gè)支座用以加固中間孔洞,右上方通過曲面結(jié)構(gòu)過渡到右下角,在實(shí)際工程中會(huì)增大施工難度.而圖4(c)考慮可靠度指標(biāo)β=3.8的優(yōu)化結(jié)果中,僅用三根連桿對孔洞周圍進(jìn)行加固,結(jié)構(gòu)分布更加合理,方便施工.在滿足預(yù)定的結(jié)構(gòu)性能要求的情況下,圖4(b)的結(jié)構(gòu)的體積為2 715 mm3,圖4(c)結(jié)構(gòu)的體積為2 150 mm3,這表示帶孔懸臂梁考慮可靠度后的優(yōu)化結(jié)構(gòu)減少約20%的自重.在滿足結(jié)構(gòu)性能要求的前提下,結(jié)構(gòu)的可靠度也大大增加,同時(shí)降低施工難度,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更加合理.

3.3 算例三

簡支梁的初始設(shè)計(jì)區(qū)域如圖5所示,彈性模量E,泊松比μ,在結(jié)構(gòu)(X/2,Y,Z/2)處有垂直向下的集中荷載F.

圖5 簡支梁初始設(shè)計(jì)域

簡支梁的荷載F、外形尺寸以及結(jié)構(gòu)容積率Vol為非正態(tài)分布隨機(jī)變量,它們的參數(shù)如表2所示：

表2 簡支梁的幾何參數(shù)

傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)按表2的均值計(jì)算,優(yōu)化結(jié)果如圖6(a)所示,考慮可靠度指標(biāo)β=3.8的優(yōu)化結(jié)果如圖6(b)所示.

(a)傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

(b)基于可靠度的優(yōu)化結(jié)果

從圖6中可以看出簡支梁的可靠度優(yōu)化結(jié)果比傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果增加更多的桿件結(jié)構(gòu)對內(nèi)側(cè)進(jìn)行支撐,桿件結(jié)構(gòu)分布合理,節(jié)約內(nèi)部空間,也使結(jié)構(gòu)更易于在實(shí)際工程中施工.圖6(a)結(jié)構(gòu)的體積為1 272 mm3,圖6(b)結(jié)構(gòu)的體積為1 016 mm3,可靠度優(yōu)化在滿足預(yù)計(jì)結(jié)構(gòu)條件的同時(shí)減輕約20%的自重,減少生產(chǎn)成本,優(yōu)化效果明顯,也更符合在工程實(shí)際中應(yīng)用.

4 結(jié)論

本文提出一種在三維結(jié)構(gòu)中將可靠度分析與傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化相結(jié)合的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法.建立結(jié)合JC法與變密度法的六面體單元可靠度優(yōu)化模型.使用三維結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、荷載以及容積率作為待優(yōu)化的參數(shù),并令其為非正態(tài)分布的隨機(jī)變量,對三種常見靜定梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化分析.對比只能處理確定性參數(shù)的傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法與可以處理非正態(tài)分布參數(shù)的可靠度優(yōu)化方法的結(jié)果,對比結(jié)果表明,結(jié)合可靠度優(yōu)化的三種常見靜定梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果更加合理,擁有更多的桿件結(jié)構(gòu),易于施工.算例中結(jié)合可靠度優(yōu)化的懸臂梁結(jié)構(gòu)比傳統(tǒng)優(yōu)化方法減少40%的自重,帶孔懸臂梁與簡支梁結(jié)構(gòu)均減少20%的自重, 在滿足同樣結(jié)構(gòu)性能要求的前提下增加了結(jié)構(gòu)可靠度,降低生產(chǎn)制造成本,優(yōu)化效果明顯.本文提出的基于結(jié)構(gòu)可靠度的非正態(tài)分布條件下結(jié)構(gòu)三維拓?fù)鋬?yōu)化方法為工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了一種新的優(yōu)化方法,具備工程應(yīng)用價(jià)值.