正態(tài)總體均值置信區(qū)間長度的比較

石撿情， 劉繼成， 劉顯明

(華中科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，武漢430074)

1 問題的提出

設(shè)X1，…，Xn為正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的樣本容量為n的簡單隨機樣本，樣本均值和樣本方差分別記為

在總體方差σ2已知和未知兩種情況下，總體期望μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間分別是(文獻[1]P194(7.10)和P196(7.13))

分析L1和L2的表達式，易知tα/2(n-1)>uα/2，通過Cauchy-Schwartz不等式得到E(Sn)<σ，文獻[2]從數(shù)值上得出L1小于E(L2)，本文的目的是嚴格證明L1

定理1對于任意n≥2，L1

為證定理1，只需等價證明σ·uα/2

回顧自由度為n-1的t分布的密度函數(shù)fn-1(x)和標準正態(tài)分布的密度函數(shù)φ(x)

對密度函數(shù)fn-1(x)在分位數(shù)下做變換，可得到另一概率密度函數(shù)記為gn-1(x)，其上側(cè)α/2分位數(shù)正是Cn·tα/2(n-1)，最后通過探究概率密度函數(shù)φ(x)與gn-1(x)的圖像交點問題來證明定理1成立.值得注意的是，為使E(Sn)的取值有意義，n的取值應不小于2，本文約定n≥2.

2 分位數(shù)下的積分變換

下面的引理來自文獻[2]，討論了樣本標準差Sn的數(shù)學期望和性質(zhì).

② E(Sn)關(guān)于n單調(diào)遞增且收斂到σ.

文獻[2]計算了E(Sn)的精確數(shù)值表示，且對E(Sn)的極限和單調(diào)性進行了計算與探討.

由引理1中E(Sn)的表達式，記E(Sn)與σ的比值

(1)

即Cn是n的函數(shù).E(Sn)單調(diào)遞增且收斂到σ，則Cn關(guān)于n單調(diào)遞增收斂到1.定義

(2)

下面的命題說明了gn-1(x)的性質(zhì).

命題1(i)gn-1(x)是一概率密度函數(shù)；

(ii)Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數(shù)gn-1(x)的上側(cè)α/2分位點；

(iii)gn-1(x)收斂到標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)φ(x)；

證對自由度為n-1的t分布的概率密度函數(shù)fn-1(x)做積分變換.

根據(jù)式(1)

由上側(cè)分位數(shù)的定義(文獻[3]， P131(2.7.5))，有

令x=Cn·t得到

(3)

即

取α=1，注意到tα/2(n-1)=0，有

(4)

即

(i) 易知gn-1(x)>0且為偶函數(shù)，由公式(4)可證gn-1(x)是一概率密度函數(shù)；

(ii) 由公式(3)和上分位點的定義，Cn·tα/2(n-1)是概率密度函數(shù)gn-1(x)的上側(cè)α/2分位點；

(iii) 由于t分布收斂到φ(x)，且當n→∞時，

3 兩個概率密度函數(shù)的比較

已知Cn·tα/2(n-1)與uα/2分別是概率密度函數(shù)gn-1(x)與φ(x)的上側(cè)α/2分位點，為此下面證明這兩個函數(shù)圖像在x正半軸只有一個交點.

命題2函數(shù)φ(x)與gn-1(x)在(0，+∞)上有唯一的交點.即存在K0，當x∈(0，K0)，φ(x)>gn-1(x)；當x∈(K0，+∞)時φ(x)

證原問題等價于方程φ(x)=gn-1(x)在(0，+∞)上有且僅有一個解.由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，方程兩邊取對數(shù)化簡，也等價于函數(shù)

在x正半軸有唯一零點.

首先證明函數(shù)m(x)在x正半軸至多有一個零點.對函數(shù)m(x)求導

記

下面證明函數(shù)m(x)在x軸正半軸有且只有一個零點.論文中，前面已經(jīng)有下面符號和結(jié)論

因為

(5)

注意到m(0)=0，因此m(x)在x正半軸有且只有一個零點，函數(shù)φ(x)與gn-1(x)在(0，+∞)上只有一個交點，記為K0.

最后，比較gn-1(x)與φ(x)在(0，+∞)上的大小關(guān)系.

由于gn-1(x)與φ(x)在(0，+∞)均單調(diào)遞減且在[0，+∞)上有且只有兩個交點:0和K0，由式(5)知當x∈(0，K0)時，φ(x)>gn-1(x);當x∈(K0，+∞)時，φ(x)

下面來證明定理1.

4 定理1的證明

概率密度函數(shù)gn-1(x)與φ(x)的累積分布函數(shù)分別記為Gn-1(x)與Φ(x)，兩者的概率密度函數(shù)圖像和累積分布函數(shù)圖像分別如圖1和圖2.

圖1 概率密度函數(shù)圖像 圖2 累積分布函數(shù)圖像

即

當x>0時，此時uα/2，Cn·tα/2(n-1)>0，Φ(x)>Gn-1(x)，根據(jù)概率分布函數(shù)的單調(diào)性，所以有uα/2

定理1的等價形式得到了證明，因此定理1成立，即L1

5 結(jié) 論

本文證明了正態(tài)總體在方差已知和未知兩種情況下，方差未知時的置信區(qū)間長度的期望要大.與直觀一致，當方差σ已知時，關(guān)于正態(tài)總體可以利用的信息更多，更有利于區(qū)間的準確估計；當方差σ未知時，隨著樣本量的增多，樣本中包含總體的信息增多，樣本方差更加趨近于總體方差，兩個置信區(qū)間估計精度的差別也越小.且當n→∞時，概率密度函數(shù)gn-1(x)趨于標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，分位數(shù)Cn·tα/2(n-1)也將趨于uα/2.

另外，眾所周知t分布是小樣本分布，在n較小時與標準正態(tài)分布存在較大的區(qū)別，尤其是尾部概率要更大，tα/2(n-1)遠大于uα/2.本文中得出的概率密度函數(shù)gn-1(x)是一個有趣的分布，比t分布更接近于標準正態(tài)分布，可以替代t分布來對小樣本進行估計.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.