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    關(guān)于求解極限的若干思考

    2021-05-07 09:25:40林麗瓊任立英
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
    關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)等價(jià)鄰域

    周 燕, 林麗瓊, 任立英

    (福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福州350108)

    1 引 言

    眾所周知,無(wú)窮小等價(jià)替換極大簡(jiǎn)化了一些極限的求解[1],但在具體應(yīng)用過(guò)程中,細(xì)節(jié)的錯(cuò)誤經(jīng)常會(huì)出現(xiàn).比如應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換計(jì)算極限時(shí),要求在x0的某個(gè)去心鄰域里沒(méi)有零點(diǎn),很多人在做題過(guò)程中往往忽略這一點(diǎn).

    例如錯(cuò)誤做法:

    二元函數(shù)極限的判別與求解方法眾多[2-3],其中應(yīng)用極坐標(biāo)計(jì)算二元函數(shù)的極限是常用的一種方法,但應(yīng)用時(shí)有諸多復(fù)雜的限制[4-5],本文針對(duì)一類特殊函數(shù)給出了便于計(jì)算應(yīng)用的若干結(jié)論.

    2 主要結(jié)果

    類似地有

    證法同引理1

    (i) 在E中,β(x)與β1(x)的零點(diǎn)相同,記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0};

    (ii) 對(duì)任意ε>0,存在0<δ2≤δ1, 當(dāng)0<|x-x0|<δ2,且x?E1時(shí),有

    證令

    由引理1得

    同樣,由引理2可得如下類似結(jié)論:

    定理2設(shè)β(x)與β1(x)為x→x0時(shí)的無(wú)窮小,在x0的任一去心鄰域,β(x),β1(x)均有零點(diǎn),γ(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,若存在x0的某個(gè)去心鄰域E={x|0<|x-x0|<δ1}滿足:

    (i) 在E中,β(x)與β1(x)的零點(diǎn)相同,記E1={x∈E|β(x)=0}={x∈E|β1(x)=0};

    (ii) 對(duì)任意ε>0,存在0<δ2≤δ1, 當(dāng)0<|x-x0|<δ2,且x?E1時(shí),有

    大家知道應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換計(jì)算極限時(shí),要求在x0的某個(gè)去心鄰域里等價(jià)替換的函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),而定理1則把無(wú)窮小等價(jià)替換的結(jié)論進(jìn)行了推廣,它說(shuō)明在求解極限時(shí),分子若應(yīng)用無(wú)窮小等價(jià)替換時(shí),允許x0任意去心鄰域函數(shù)都有零點(diǎn),只要滿足兩個(gè)無(wú)窮小在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)零點(diǎn)相同,并且不考慮零點(diǎn)的時(shí)候,表達(dá)形式滿足通常等價(jià)的情況,也即非零點(diǎn)x在充分靠近x0時(shí)滿足

    則計(jì)算極限時(shí)是可以將β(x)與β1(x)進(jìn)行替換的.

    經(jīng)常碰到的題目忽略了等價(jià)替換的條件,利用等價(jià)替換得到的結(jié)果都是正確的,原因就在于題目實(shí)際上滿足定理1的條件.

    類似一元函數(shù)可以證明對(duì)于多元函數(shù)上述的引理1、引理2以及定理1、定理2也都成立,這里就不逐一敘述,僅以二元函數(shù)的情況為例說(shuō)明定理1的推廣內(nèi)容.

    (i) 在E中,β(x,y)與β1(x,y)的零點(diǎn)相同,記

    E1={(x,y)∈E|β(x,y)=0}={(x,y)∈E|β1(x,y)=0};

    證明與定理1類似,略去.

    當(dāng)t>0時(shí),f′(t)>0,所以2t>ln(1+t)>0,

    |ln(1+t)|<|2t|.

    (1)

    由夾逼準(zhǔn)則可得

    由上述證明過(guò)程可以看出例2若不采用我們證明的定理3,則計(jì)算比較麻煩,而且學(xué)生不容易想到將ln(1+xy)與2xy進(jìn)行比較,而選擇應(yīng)用定理3,則計(jì)算簡(jiǎn)單.

    總而言之,如果在去心鄰域函數(shù)出現(xiàn)零點(diǎn),關(guān)鍵要考慮函數(shù)無(wú)窮小替換時(shí)零點(diǎn)是否可以保持,如果可以,事實(shí)上應(yīng)用本文的結(jié)論是可以替換的,而且結(jié)果是正確的.這樣在計(jì)算一元或多元函數(shù)極限的問(wèn)題上方便很多.

    下面討論應(yīng)用極坐標(biāo)求解極限時(shí)易犯的錯(cuò)誤的問(wèn)題.比如

    該題應(yīng)用極坐標(biāo)替換計(jì)算極限過(guò)程中,將θ當(dāng)作是常數(shù),計(jì)算r→0時(shí)的極限,事實(shí)上在r→0的過(guò)程中,θ也是變化的,是不能當(dāng)做常數(shù)的,所以計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的.事實(shí)上,該函數(shù)的極限是不存在的.

    那么怎么利用極坐標(biāo)計(jì)算的結(jié)果是正確的呢?在文獻(xiàn)[4-5]中給出的具體的命題如下:

    命題1[4]設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則

    命題2[5]設(shè)(i) 任意θ∈[0,2π],當(dāng)r→0時(shí)f(x,y)=f(rcosθ,rsinθ)→0;

    (ii) 存在M>0,使得任意(x1,y1),(x2,y2)有

    |f(x1,y1)-f(x2,y2)|≤M(|x1-x2|+|y1-y2|),

    上述結(jié)論提到的要求比較復(fù)雜,且這些結(jié)論在具體計(jì)算時(shí)并不好驗(yàn)證,本文給出兩種適合計(jì)算中應(yīng)用的方法.

    |f(x,y)|=|f(x0+rcosθ,y0+rsinθ)|≤|g(r)h(θ)|<ε,

    所以

    時(shí),

    |f(x,y)-A|=|g(r)h(θ)-A|<1,

    |g(r)h(θ)|

    由于g(r)在0的任一去心右鄰域不恒為0,則存在0

    這兩個(gè)結(jié)論雖然簡(jiǎn)單,但在計(jì)算二元函數(shù)極限時(shí),卻是十分方便.

    例4若不采用極坐標(biāo)替換來(lái)解決,則計(jì)算量會(huì)很大.而對(duì)于例5,學(xué)生往往不太容易看出是極限不存在,而通過(guò)上述方法,可以輕松地解決問(wèn)題.

    3 結(jié) 論

    極限的計(jì)算在高等數(shù)學(xué)中占有重要的地位,本文通過(guò)具體例題指出學(xué)生在應(yīng)用等價(jià)替換與極坐標(biāo)變換計(jì)算極限時(shí)易忽視的錯(cuò)誤,并通過(guò)嚴(yán)格證明給出修正錯(cuò)誤的相應(yīng)結(jié)果,這不僅有助于學(xué)生透徹掌握等價(jià)替換與極坐標(biāo)變換求極限的方法,且可避免容易忽視的錯(cuò)誤,同時(shí)也為教師在教學(xué)中提供參考.事實(shí)上,在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,這類容易忽視的錯(cuò)誤經(jīng)常可見(jiàn),對(duì)這種類似問(wèn)題的研究對(duì)教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)都有很大幫助.

    致謝在論文修改過(guò)程中,審稿老師提了許多寶貴意見(jiàn),對(duì)此表示衷心的感謝.

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