關(guān)于Hardy型不等式的討論

周爍星， 樓紅衛(wèi)

(復旦大學 數(shù)學科學學院，上海200433)

1 引 言

在一些習題集中，有如下有趣的問題：

例1很自然地可以推廣到其他冪平均的情形.對于整數(shù)n≥1和實數(shù)α，來定義非負數(shù)列a1，a2，…，an的冪平均.

首先，若α>0，或α<0且a1，a2，…，an>0，則定義

(1)

若α<0，且a1，a2，…，an至少一個為零，則令Mα(a1，a2，…，an)=0.

最后，定義

(2)

易見Mα(a1，a2，…，an)關(guān)于α∈(-∞，+∞)以及a1，a2，…，an都是單調(diào)增加的.自然地，將例1一般化為如下命題.

證(i) 由冪平均的單調(diào)性，不妨設(shè)0<α<1.由H?lder不等式，有

從而

(3)

為討論連續(xù)性的問題，對于實數(shù)α以及[0，+∞)上非負可積函數(shù)f，來定義函數(shù)f的冪平均函數(shù)Mα(f).設(shè)x>0.

若α>0，或α<0且f有正下界，則直接定義

(4)

對于α<0 但f不一定有正下界，用下式定義

(5)

類似地，對于α=0，定義

(6)

類似于Mα，Mα(f)關(guān)于α單調(diào)增加.當f，g非負可積且f≥g時，Mα(f)≥Mα(g).

例1有以下連續(xù)型的推廣.

證(i) 由冪平均的單調(diào)性，不妨設(shè)0<α<1.由H?lder不等式，有

因此

(7)

2 離散型結(jié)果的一般化

為方便起見，引入如下定義.

有如下命題.

命題2設(shè)g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]連續(xù)且嚴格單調(diào).若k≠0，b∈(-∞，+∞)，則f∶=kg+b也是 [0，+∞]映到[-∞，+∞]的嚴格單調(diào)函數(shù).則對任何非負實數(shù)列a1，a2，…，an成立

特別地，此時f具有性質(zhì)PD當且僅當g具有性質(zhì)PD.

由此即得命題.

證必要性顯然.只需要證明充分性.

不妨設(shè)f嚴格單調(diào)遞增，否則由命題2，考慮-f即可.

f(b1)+f(b2)+…+f(bN)≤Nf(δ).

命題3表明f是否具有性質(zhì)PD只與它在0點附近的取值有關(guān).作為其推論，易得如下命題.

命題4設(shè)f，g∶[0，+∞]→[-∞，+∞]均連續(xù)且嚴格單調(diào)，f具有性質(zhì)PD.若存在正常數(shù)C1，C2，δ使得對于x∈(0，δ)成立f(C1x)≤g(x)≤f(C2x)，則g也具有性質(zhì)PD.

命題5設(shè)f∶[0，+∞]→[-∞，+∞]，g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]均連續(xù)且嚴格單調(diào)，f具有性質(zhì)PD.進一步，設(shè)以下條件之一成立: (i)f單增，g-1凸; (ii)f單減，g-1凹.則g°f也具有性質(zhì)PD.

證對于非負數(shù)列{an}，有

由此即得g°f也具有性質(zhì)PD.

提請讀者注意，在g∶[-∞，+∞]→[-∞，+∞]嚴格單調(diào)的前提下，g-1凸當且僅當g凹且單增或g凸且單減.而g-1凹當且僅當g凸且單增或g凹且單減.

3 連續(xù)型的進一步推廣

類似于定義1，引入如下定義.

仿命題3，可以建立如下命題.

以下命題給出了性質(zhì)PD與PC之間的等價性.

命題7設(shè)f∶[0，+∞]→[-∞，+∞]嚴格單調(diào).則f具有性質(zhì)PD當且僅當在f具有性質(zhì)PC.

4 結(jié) 語

從一個收斂的正項級數(shù)出發(fā)，引入由級數(shù)的一般項的各種平均產(chǎn)生的新的一般項，考察新的級數(shù)的收斂性.類似問題曾經(jīng)由著名數(shù)學家 Hardy 加以研究并得到優(yōu)美的結(jié)果.本文將有關(guān)結(jié)果推廣到更廣泛的情形，同時對一些特例簡化了證明.文章較好地體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題并逐步深入研究最終得到一些有意義的成果的過程.

致謝本文受益于復旦大學數(shù)學科學學院蘇步青班的無學分討論班和“莙政基金”大學生見習研修計劃等.感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見！