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    對稱分布的矩刻畫

    2021-05-07 09:24:20廖俊俊劉繼成
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
    關(guān)鍵詞:偏度概率密度函數(shù)高斯分布

    廖俊俊, 劉繼成, 吳 娟

    (華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 武漢430074)

    1 引 言

    定義設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若存在某點(diǎn)c,使得對任意的x有f(c+x)=f(c-x), 則稱X的分布關(guān)于c對稱.

    證記E(X)=μ,D(X)=σ2.

    必要性 由β=0, 有

    μ3=E[X-E(X)]3=Cov(X,X2)-2E(X)D(X)=0,

    E(X3)-μ3-3μσ2=0,

    μ3=E[X-E(X)]3=E(X3)-μ3-3μσ2=0,β=0.

    例1說明對稱分布的偏度(若存在)是0. 然而,隨機(jī)變量的偏度只能度量分布的偏斜方向和程度,描述概率密度在左右尾部的相對拉長趨勢. 偏度為0,并不足以推出概率分布是對稱的. 下面的兩個例子說明存在偏度為0的非對稱分布.

    例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

    X的偏度β為0,且X的分布非對稱.

    證易知E(X)=E(X3)=0,所以X的偏度是0. 由f(-x)≠f(x)知X的分布非對稱.

    通過隨機(jī)抽樣方法得到樣本的偏度為0,而總體的分布可能是對稱的,也可能是非對稱的.

    例3設(shè)總體X服從混合高斯分布,概率密度函數(shù)為

    f(x)=ωf1(x)+(1-ω)f2(x),

    (ii) 令ω=0.9,μ1=-μ2=-3,σ1=20,σ2=0.1,產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)10000個,計算得到樣本的偏度接近于0,由圖1右圖可以看到,X的分布是非對稱的. 因此,僅憑偏度并不能判定概率分布是否對稱.

    ω=0.9,μ1=-μ2=-3, σ1=20,σ2=0.1圖1 混合高斯分布的樣本

    既然偏度不足以保證分布的對稱性,那么給出一個分布關(guān)于0對稱的判別是必要的. 本文嘗試基于傅里葉變換的思想,從矩的角度討論對稱分布的充要條件.

    2 主要結(jié)論

    顯然,隨機(jī)變量X的分布關(guān)于c對稱等價于X-c的分布關(guān)于0對稱. 因此,只需討論概率密度f(x)關(guān)于0對稱的情形,即f(x)是偶函數(shù). 李賢平[1]證明了隨機(jī)變量的分布關(guān)于0對稱的充要條件是特征函數(shù)是實的偶函數(shù). 下面定理從隨機(jī)變量原點(diǎn)矩的角度給出X的分布關(guān)于0對稱的充要條件.

    定理設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x)在上連續(xù),對任意正整數(shù)k,積分x2k+1f(x)dx絕對收斂,且f(x)在[-a,a]之外取零,則X的分布關(guān)于0對稱的充要條件是

    證必要性顯然成立. 下證充分性.

    由題設(shè),?M>0,使得|f(x)|≤M,?x∈(-∞,+∞),且f∈L1(-∞,+∞). 知道

    易知有估計

    若不要求f(x)有界,則上述定理是X的分布關(guān)于0對稱的充分條件. Shiryaev[3]給出隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)能展成冪級數(shù)的必要條件是:若對任意的n≥1,有E|X|n<∞,且

    但是結(jié)論中t的取值范圍是有限區(qū)間.

    例2(續(xù))雖然X的偏度是0. 但是,E(X5)=64/14553≠0. 由定理,從矩的角度可以判定X的分布是非對稱的.

    3 結(jié) 論

    一般情形下,隨機(jī)變量的矩不能完全確定概率分布. 特別地,偏度為0不能得到對稱分布. 本文從隨機(jī)變量矩的角度,給出了分布對稱的充分必要條件.

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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