廣義τ-奇異模和τ-非奇異模*

李煜彥

（隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，甘肅隴南 742500）

0 引 言

引理1［4］以下對M模成立.

（1）設(shè)N是M的非τ-撓子模.則N?τM當(dāng)且僅當(dāng)對任意 m∈Mτ(M)，存在r∈Rτ(R)，使得mr∈Nτ(N)；

（2）若N?τM，則對任意L≤M，都有N∩L?τN；

（3）若K?τK'≤M，L?τL'≤M，則 K∩L?τK'∩L'；

（5）設(shè)f：M→N是R-同態(tài)映射.若W?τN，則f-1(W)?τM.

引理2［6］設(shè)M是模，則以下結(jié)論成立.

（1）Zτ(M)是M是的子模；

（3）設(shè)f：M→N是R-同態(tài)映射，則f(Zτ(M))?Zτ(N)；

（4）若N≤M，則Zτ(N)=N∩Zτ(M)；

（5）設(shè) M=⊕i∈IMi，則 Zτ(M)=⊕i∈IZτ(Mi).

下面先給出Zτ(M)的性質(zhì).

性質(zhì)1 設(shè)M是模，則以下結(jié)論成立.

（1）Zτ(M)是M是的子模；

（2）Zτ(M)?Z(M)?Zτ(M)，特別地，若 RR或M是τ-撓自由的，則Zτ(M)=Z(M)=Zτ(M)；

（3）若f：M→N是R-同態(tài)映射，則f(Zτ(M))?Zτ(N)；

（4）若N≤M，則Zτ(N)=N∩Zτ(M)；

（6）設(shè)M=⊕i∈IMi，則 Zτ(M)=⊕i∈IZτ(Mi).

證明（1）設(shè)x，y∈Zτ(M)，r∈R.則存在 I?τRR，J?τRR，使得xI=0，yJ=0.由引理 1（3）知，I∩J?τRR，且 (x+y)(I∩J)=0.因此，x+y∈Zτ(M).同理可證xr∈Zτ(M).從而Zτ(M)是M是的子模.

（2）由文獻(xiàn)［4］性質(zhì) 2.1知，N≤eM當(dāng)且僅當(dāng)N?τM和 N≤τ-pM，故 Z(M)?Zτ(M).由文獻(xiàn)［6］知，Zτ(M)=Z(M)∩τ(M)，故 Zτ(M)?Z(M).從而Zτ(M)?Z(M)?Zτ(M).

特別地，若RR或M是τ-撓自由的，則RR的廣義τ-本質(zhì)右理想和本質(zhì)右理想以及M的廣義τ-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模都是一致的，故Zτ(M)=Z(M)=Zτ(M).

（3）設(shè) x∈f(Zτ(M))，則存在m∈Zτ(M)，使得f(m)=x.于是存在 I?τRR，使得mI=0.因此，f(mI)=f(m)I=xI=0，從而 x∈Zτ(N).即 f(Zτ(M))?Zτ(N).

（4）顯然.

（5）設(shè) x∈Zτ(M)，則 ann(x)?τRR.故soc(RR)?ann(x)，從而 xsoc(RR)=0.

（6）設(shè)(mi)i∈I∈Zτ(M)，則 ann((mi)i∈I)?τRR.于是對任意 i∈I，ann(mi)?τRR.因此 (mi)i∈I∈Zτ(Mi)，即Zτ(M)?⊕i∈IZτ(Mi).反過來，設(shè) (mi)i∈I∈⊕i∈IZτ(Mi)，則任意 i∈I，ann(mi)?τRR.則存在I的有限子集J，使得只有當(dāng)i∈J 時，mi≠0.由引理 1（3）知，ann((mi)i∈I)=∩i∈Jann(mi)i?τRR.從而(mi)i∈I∈Zτ(M).

定義1 設(shè)M是模.稱Zτ(M)為M的廣義τ-奇異子模.若 Zτ(M)=M（或 Zτ(M)=0），則稱 M是廣義τ-奇異（或非奇異）的.

易知，Zτ是左正和預(yù)根.由文獻(xiàn)［4］知，由廣義τ-奇異模構(gòu)成的類關(guān)于子模、商模、直和是封閉的；由廣義τ-非奇異模構(gòu)成的類關(guān)于子模、本質(zhì)擴(kuò)張、模擴(kuò)張、直積是封閉的.

由性質(zhì)1易得如下結(jié)論.

推論1 以下對模M成立.

（1）若M是廣義τ-非奇異的，則M是非奇異的；

（2）若M是奇異的，則M是廣義τ-奇異的.

定理1 模M是廣義τ-非奇異的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意廣義τ-奇異模N，都有Hom(N，M)=0.

證明 必要性.設(shè)M是廣義τ-非奇異的，N是廣義τ-奇異的，f：N→ M是R-模同態(tài)映射.則由性質(zhì)1，f(N)=f(Zτ(N))?Zτ(M)=0.

充分性.設(shè)對任意廣義τ-奇異模N，都有Hom(N，M)=0.因 為 Zτ(Zτ(M))=Zτ(M)，所 以Hom(Zτ(M)，M)=0.特別地，對于包含同態(tài)映射 g：Zτ(M)→ M，g=0.從而Zτ(M)=0.

定理3 若L是τ-撓自由且廣義τ-奇異模，則存在短正和序列0→N→fM→g

L→0，使得Imf?τM.

推論2 設(shè)L是τ-撓自由且廣義τ-奇異模，f：R→L是R-同態(tài)映射.則Kerf?τR.

圖1 交換圖

由引理 1（5）知，kerf=h-1(N)?τR.

推論3 設(shè)M是廣義τ-非奇異的，N≤M.則M/N是廣義τ-奇異的當(dāng)且僅當(dāng)N?τM.

證明 必要性.若M/N是廣義τ-奇異的，設(shè)m∈Mτ(M).顯然m≠0，且存在 I?τRR，使得mI+N=N.下面說明mR∩N≠0，否則若 mR∩N=0，則mI∩N=0，且(mI+N)/N ?(mI∩N)/mI.從而由正合序列0→mI∩N→mI→ (mI+N)/N→0可知，mI=0.于是m∈Zτ(M)=0，這與m ≠0矛盾.因此，存在r∈R，使得mr∈Nτ(M).從而由引理1（1），N ?τM.

充分性.由定理3易證.