古今對(duì)照 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)公理化思想*
——以等腰三角形兩底角相等為例

胡永強(qiáng) 劉志峰 孫丹丹

(1.蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151；2. 深圳市福田區(qū)紅嶺中學(xué)深康校區(qū) 518000；3.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：數(shù)學(xué)課程能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力. 推理包括合情推理和演繹推理，演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算[1]. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng). 邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)[2]. 上述兩份標(biāo)準(zhǔn)都將邏輯推理放在十分重要的位置，字里行間滲透著強(qiáng)烈的公理化理想. 公理化思想方法是數(shù)學(xué)中十分重要的思想方法，是總結(jié)和表述以往數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)方法，有力地促進(jìn)和推動(dòng)著新的數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)立. 它不僅是數(shù)學(xué)研究的重要方法，而且是研究其他自然科學(xué)的重要方法，在人類文明的幾乎所有領(lǐng)域都具有十分重要的作用[3].

蘇科版七年級(jí)下冊(cè)“證明”一章設(shè)有“證明”一節(jié)，舉例說明了證明的必要性及《幾何原本》中蘊(yùn)含的公理化思想，旨在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟榻B何謂數(shù)學(xué)證明，教材指出由基本事實(shí)出發(fā)，可以證明之前曾探索、發(fā)現(xiàn)的有關(guān)角及平行線的許多性質(zhì)是正確的，之后選擇了若干有關(guān)平行線、三角形的命題進(jìn)行了嚴(yán)格的證明. 在這節(jié)課的具體教學(xué)中，教師往往把重點(diǎn)放在了具體命題的推導(dǎo)上，忽視了邏輯推理過程背后的公理化思想，從而造成學(xué)生對(duì)平面幾何體系缺乏宏觀認(rèn)識(shí)，對(duì)基本事實(shí)、定理和命題的關(guān)系缺乏基本的思考.

基于此，在初三一輪復(fù)習(xí)之際，筆者圍繞“等腰三角形兩底角相等”(以下簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”)這一命題設(shè)置了一節(jié)古今對(duì)照閱讀課，引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材(蘇科版)和《幾何原本》(以下簡(jiǎn)稱《原本》)中對(duì)該命題的證法，尋找二者的不同之處，借助《原本》更“極致”的公理化體系，幫助學(xué)生更好地理解感悟公理化思想，提升學(xué)生對(duì)公理化思想的認(rèn)知水平.

2 歷史素材

亞里士多德(Aristotle，公元前384～前322)就論證模式做了比較系統(tǒng)的闡述，主要包括兩個(gè)關(guān)鍵問題，一個(gè)是關(guān)于論證的開始，最初的概念不需要解釋，最初前提不需要論證，另一個(gè)是關(guān)于論證的過程，提出了包括“大前提、小前提、結(jié)論”三段論在內(nèi)的推理形式，后來亞里士多德提出的推理形式成為了數(shù)學(xué)證明的主要方法[4].

亞里士多德學(xué)說在隨后的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，公元前300年前后)編著的《原本》中得到了較為完美的運(yùn)用和體現(xiàn). 歐幾里得在《原本》中應(yīng)用了公理化方法，將古代關(guān)于幾何的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化為一個(gè)合乎邏輯的體系[5]. 《原本》包括13卷，除了第一卷給出了5條公理和5條公設(shè)之外，其余各卷均是由定義和命題兩部分組成. 《原本》把一些不證自明的結(jié)論定義為公理與公設(shè)，就是這些不證自明的原始概念構(gòu)成了演繹證明的邏輯基礎(chǔ)，奠定了幾何體系的基本結(jié)構(gòu). 它對(duì)人類文明的最大貢獻(xiàn)在于使用演繹方法構(gòu)建了一個(gè)公理化體系，使得人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)可以從經(jīng)驗(yàn)上升到理性，從具體上升到一般，這是人類建立的第一個(gè)能夠被稱為科學(xué)的學(xué)科體系[4].

特別地，“等邊對(duì)等角”是《原本》第一卷命題5(下文所述命題均來自第一卷)，在此之前給出5條公理、5條公設(shè)和4個(gè)命題，其中命題1是作等邊三角形、命題2是作一條線段等于已知線段、命題3是在長(zhǎng)線段上截取短線段、命題4是兩邊及夾角相等(SAS)證明三角形全等. 對(duì)于命題5，歐幾里得給出的證法是延長(zhǎng)兩腰，在延長(zhǎng)線上截取兩條相等線段，構(gòu)造并證明兩對(duì)全等三角形，具體證法如下[6]：

已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC.

圖1

求證：∠ABC=∠ACB.

證明：延長(zhǎng)AB到D，延長(zhǎng)AC到E. [公設(shè)2：一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng).]

在BD上任取一點(diǎn)F，在AE上截取AG=AF. [命題3]

連接FC、GB. [公設(shè)1：由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線.]

在△ACF和△ABG中，

所以△ACF≌△ABG. [命題4]

所以∠ACF=∠ABG，∠AFC=∠AGB，F(xiàn)C=GB. [命題4]

因?yàn)锳F=AG，AB=AC，

所以AF-AB=AG-AC. [公理3：等量減等量，其差仍相等.]

即BF=CG.

在△BCF和△CBG中，

所以△BCF≌△CBG. [命題4]

所以∠BCF=∠CBG. [命題4 ]

所以∠ABG-∠CBG=∠ACF-∠BCF. [公理3]

即∠ABC=∠ACB.

1898年希爾伯特出版的《幾何基礎(chǔ)》一書中系統(tǒng)地提出了形式公理化的方法，他還在書中提出了公理選取或設(shè)置的三條要求：第一，相容性，公理之間是無矛盾的，即不可能從公理出發(fā)，用邏輯推理的方法證明一個(gè)命題是正確，同時(shí)它的否定形式也正確；第二，獨(dú)立性，任何一條公理都不能由其他幾條公理推理而得；第三，完備性，從公理系統(tǒng)能夠推導(dǎo)出該數(shù)學(xué)分支的全部命題[7].

公理化方法不但影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且對(duì)整個(gè)人類文明帶來了深刻的影響，它孕育了一種理性思維的精神[4]. 公理化體系不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科構(gòu)建的基礎(chǔ)，在自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)中也有廣泛運(yùn)用，例如，牛頓力學(xué)、愛因斯坦相對(duì)論都是從幾條基本原理演繹出來的理論體系，由托馬斯·杰斐遜執(zhí)筆起草的《獨(dú)立宣言》也借鑒了公理化思想.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

基于對(duì)教材和歷史的分析，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，筆者選定等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)作為載體，滲透數(shù)學(xué)公理化思想，原因有三：一、該命題證明過程主要涉及對(duì)三角形全等判定和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，符合初中一輪復(fù)習(xí)階段學(xué)生最近發(fā)展區(qū)；二、該命題是《原本》由公理、公設(shè)和定義推導(dǎo)出的第5個(gè)命題，通過這個(gè)命題容易看出如何從事實(shí)和已證命題出發(fā)推導(dǎo)未知命題，從而感受公理化思想方法；三、該命題《原本》中的證法和教材證法不同，非常適合用來比較，以此觸發(fā)學(xué)生對(duì)公理化思想的探究.

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)定如下：1.通過分析教材及《原本》中對(duì)“等邊對(duì)等角”的證明，感受數(shù)學(xué)證明的邏輯嚴(yán)密性，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力；2.通過對(duì)比教材和《原本》的幾何體系，更深入地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)公理化思想；3.通過對(duì)教材與《原本》公理化思想的感悟，培養(yǎng)學(xué)生理性精神.

在實(shí)施本節(jié)課之前，我們梳理并印發(fā)了相關(guān)材料供學(xué)生預(yù)習(xí)及課上使用，材料包括三部分：1.歐幾里得和《幾何原本》的簡(jiǎn)介；2.《幾何原本》的5條公理、5條公設(shè)；3.第一卷的相關(guān)定義、《幾何原本》命題5的證法(用現(xiàn)代符號(hào)語言表達(dá))、上課可能用到的相關(guān)命題，主要包括第一卷命題9、10和12，分別對(duì)應(yīng)作角平分線、作線段中點(diǎn)、過直線外一點(diǎn)做該直線的垂線，第一卷命題8和命題26，分別對(duì)應(yīng)“SSS”和“ASA”“AAS”判定三角形全等.

本節(jié)課的主要設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)環(huán)節(jié)如下：

(1)古今共現(xiàn)說證法

問題1如何證明命題“等腰三角形兩底角相等”？

生1：先畫出圖形并將文字命題轉(zhuǎn)化為符號(hào)命題，再作頂角平分線，用“SAS”證明兩個(gè)三角形全等，從而證明命題.

生2：作底邊上的中線，用“SSS”證明兩個(gè)三角形全等，從而證明命題.

生3：作底邊上的高，用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，從而證明命題.

師：同學(xué)們說的很好，這3種方法也是教材給出的證法.

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生思考教材對(duì)命題“等腰三角形兩底角相等”的3種證明方法，為與《原本》證法對(duì)比作鋪墊.

問題2還有沒有其他證法？歐幾里得在《原本》中用什么方法來證明該命題的？

師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀《原本》中的證明方法.

生4：歐幾里得是延長(zhǎng)兩腰，在延長(zhǎng)線上截取兩條相等的線段，兩次證明全等，得到兩組相等的角，再相減證明出結(jié)論.

(教師依照學(xué)生的具體解釋板演歐幾里得證法. )

師：同學(xué)們對(duì)歐幾里得的證法有什么看法？

生眾：歐幾里得的證法比教材的證法復(fù)雜.

師：歐幾里得選用“復(fù)雜證法”的原因是什么？

生5：難道是歐幾里得沒有想到這些簡(jiǎn)單的方法？

師：事情可能不是那么簡(jiǎn)單.

【教學(xué)意圖】學(xué)生通過閱讀《原本》的證法與教材證法，發(fā)現(xiàn)《原本》證法較為“復(fù)雜”，產(chǎn)生認(rèn)知沖突：我們一次全等就能證明，歐幾里得為何選擇了這么“復(fù)雜”的二次全等證法？為探究公理化思想奠定基礎(chǔ)，激發(fā)探究動(dòng)機(jī).

(2)今昔對(duì)比析原因

問題3《原本》為何采用這種“復(fù)雜”證法？

師：請(qǐng)同學(xué)們思考交流一下這個(gè)問題可以從哪幾個(gè)角度分析呢？

(學(xué)生小組思考交流)

生6：推理是有前提的，我覺得可以從最基礎(chǔ)的地方進(jìn)行分析.

師：你說的很好. 萬丈高樓平地起，幾何的大廈也是有根基的，下面我們就從《原本》和教材的“根基”開始研究. “根基”在《原本》中叫“公設(shè)”與“公理”，在教材中叫“基本事實(shí)”. 請(qǐng)同學(xué)們分析《原本》與教材的“根基”有何異同？

生7：它們都是一些簡(jiǎn)單易懂的結(jié)論，它們都不用證明.

生8：都是從這幾條基本事實(shí)出發(fā)，證明其他命題.

師：很好，剛才兩位同學(xué)說出了一些相同點(diǎn)，它們有什么不同點(diǎn)？

生9：《原本》的“根基”更加基礎(chǔ)，教材的“根基”中有的是《原本》中的命題.

師：你說的很好. 《原本》為了追求公理體系的嚴(yán)密性以及“根基”的最簡(jiǎn)化，選取了非?；A(chǔ)的5條公設(shè)和5條公理作為推理的起點(diǎn)，教材考慮到同學(xué)們的認(rèn)知基礎(chǔ)，除了選取一些基礎(chǔ)結(jié)論作為基本事實(shí)外，還選取了一些《原本》中的定理作為基本事實(shí)，降低了大家學(xué)習(xí)幾何的難度.

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從推理的起點(diǎn)尋找不同證法的原因. 通過對(duì)比兩種幾何體系的基本事實(shí)，讓學(xué)生對(duì)基本事實(shí)的特點(diǎn)有所了解，理解兩種不同幾何體系邏輯起點(diǎn)的差異性與一致性，初步感受公理化思想.

師：還可以從什么角度分析呢？

生10：我覺得可以從輔助線的添加方法角度分析.

師：很好. 教材證法需要添加角平分線、中線或高，這些輔助線的作圖在《原本》中處于什么位置？

生10：命題9是作角平分線，命題10是作線段中點(diǎn)，命題12是過直線外一點(diǎn)作垂線.

師：對(duì)此你有什么想法？

生10：命題之間是有先后邏輯順序的，在《原本》中“等邊對(duì)等角”是命題5，作高、中線、角平分線的方法都在命題5后面，因此歐幾里得未采用作“三線”的方法證明.

師：還可以從什么角度分析呢？

生11：可以從判定三角形全等的方法上分析.

師：說來聽聽.

生11：在《原本》中“等邊對(duì)等角”是命題5，“SAS”是命題4，“SSS”是命題8，“ASA”“AAS”是命題26，沒有找到“HL”. 因此只能用“SAS”證明全等.

師：你說的真好！現(xiàn)在你對(duì)《原本》命題5的證法的認(rèn)識(shí)有哪些變化？

生11：我現(xiàn)在不認(rèn)為歐幾里得沒有想到教材證法了，《原本》的基本事實(shí)非?；A(chǔ)、推理步步有據(jù)、邏輯體系非常嚴(yán)密，今后我要好好閱讀《原本》.

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生多角度分析《原本》采用“復(fù)雜”證法的理由，從“等邊對(duì)等角”推導(dǎo)過程所用輔助線和論據(jù)兩方面入手，發(fā)現(xiàn)命題證明需要建立在已有結(jié)論基礎(chǔ)上，步步有據(jù)，感受推理的嚴(yán)密性和公理化思想.

(3)深度剖析促理解

問題4為了使證明變簡(jiǎn)單，可將《原本》的相關(guān)命題重新排序？

師：關(guān)于重新排序你有哪些建議？

生12：為了使用教材中作頂角平分線證法，可以將原本的命題9(二等分已知角)提到命題5之前.

師：請(qǐng)大家閱讀《原本》命題9，思考生12的建議是否可行？

生13：不可行. 命題9用到了命題8的結(jié)論.

師：還有其他建議嗎？

生14：可以將《原本》的命題10(作中點(diǎn))和命題12(作垂線)提前到命題5之前.

師：請(qǐng)大家閱讀《原本》命題10和命題12，思考生14的建議是否可行？

生15：不可行. 《原本》中命題10和命題12都用到了命題5后面的結(jié)論，無法提到命題5的前面.

【教學(xué)意圖】引導(dǎo)學(xué)生討論是否可以調(diào)整命題順序讓證明變得簡(jiǎn)單，感悟《原本》的邏輯嚴(yán)密、環(huán)環(huán)相扣及命題推理具有順序性，再次加深對(duì)幾何公理化思想的理解.

(4)背景介紹顯底蘊(yùn)

播放微視頻，介紹《幾何原本》誕生背景、基本信息及其經(jīng)久不衰的影響力.

【教學(xué)意圖】幫助學(xué)生在對(duì)比分析的基礎(chǔ)上，全面了解《原本》的編排特點(diǎn)、對(duì)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的影響、在我國(guó)的傳播和使用情況等，對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化熏陶.

(5)反思小結(jié)拓視野

教師組織學(xué)生回顧本課收獲、困惑等，引導(dǎo)學(xué)生閱讀“與眾不同”的公設(shè)5，簡(jiǎn)單講述古人對(duì)公設(shè)5所做的研究，19世紀(jì)羅巴切夫斯基等人通過否定公設(shè)5，創(chuàng)立非歐幾何，被譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在羅巴切夫斯基等人之前就發(fā)現(xiàn)了非歐幾何，但是他因擔(dān)心遭到頑固分子的攻擊，生前并未公開自己的研究成果，從而喪失了非歐幾何創(chuàng)始人的地位.

【教學(xué)意圖】小結(jié)本課所學(xué)內(nèi)容的同時(shí)提出新的問題開拓學(xué)生視野，幫助學(xué)生感受古人持之以恒的探索精神；探究過程中的創(chuàng)新和突破；學(xué)術(shù)研究要大膽發(fā)表自己的見解等精神品質(zhì).

4 學(xué)生反饋

課后，結(jié)合本課的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共8題.

前兩題考查學(xué)生對(duì)幾何基本事實(shí)的認(rèn)識(shí). 85%的學(xué)生認(rèn)為基本事實(shí)簡(jiǎn)單易懂，世人皆知，92%的學(xué)生認(rèn)為基本事實(shí)是進(jìn)行后續(xù)研究的基礎(chǔ)和依據(jù).

中間四題考查學(xué)生對(duì)公理化思想的理解. 98%的學(xué)生認(rèn)為只能用基本事實(shí)或已經(jīng)證明的定理作為依據(jù). 78%的學(xué)生認(rèn)為基本事實(shí)是推出定理的基礎(chǔ)，是幾何大廈的地基. 96%的學(xué)生認(rèn)為幾何學(xué)邏輯性強(qiáng)、嚴(yán)謹(jǐn)、步步有據(jù).

最后兩題考查學(xué)生對(duì)幾何及公理化思想理解的變化. 主要體現(xiàn)在3個(gè)方面：一是學(xué)生對(duì)公理化的思考變得深刻，比如：“基本事實(shí)是固定不變的嗎？”、“公設(shè)和公理能否由更基礎(chǔ)的結(jié)論推導(dǎo)出來？”、“公理化有什么作用？”、“幾何證明有盡頭嗎？”；二是學(xué)生對(duì)幾何學(xué)的興趣變得濃厚，比如：“發(fā)現(xiàn)幾何很有意思”、“這節(jié)課使我對(duì)幾何有了更為深入的了解，有如撥開云霧見到了天日，恍然大悟，充分的感受到幾何的魅力與價(jià)值”；三是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家更加仰慕和尊敬，比如：“歐幾里得智慧過人”、“領(lǐng)略了前人對(duì)于幾何研究的才華與風(fēng)采”、“學(xué)到了古人做學(xué)問的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度”.

從問卷結(jié)果可以看出學(xué)生對(duì)基本事實(shí)作為幾何推理的起點(diǎn)已經(jīng)基本理解，對(duì)邏輯推理規(guī)則的認(rèn)識(shí)達(dá)到較高的水平，對(duì)幾何學(xué)的興趣有所增加，從古人身上學(xué)到了許多優(yōu)秀的治學(xué)品質(zhì).

5 課例評(píng)析

5.1 數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式

本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式主要有“附加式”“復(fù)制式”和“重構(gòu)式”[8]. 用微視頻介紹《幾何原本》的歷史及影響等屬于附加式，將《幾何原本》命題5的證明過程改編為學(xué)生熟悉的符號(hào)語言提供給學(xué)生屬于復(fù)制式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析教材和《原本》中關(guān)于“等邊對(duì)等角”這一命題的不同證法的原因及探究重新排序問題屬于重構(gòu)式.

5.2 數(shù)學(xué)史的價(jià)值

學(xué)生通過對(duì)比分析教材與《原本》中“等邊對(duì)等角”的不同證法，發(fā)現(xiàn)教材和《原本》都是從事先給定的幾條基本事實(shí)出發(fā)，逐步演繹推理證明出新的定理，二者的公理化思想是一致的，在感悟公理化思想方法的同時(shí)體會(huì)幾何證明的“方法之美”和幾何體系的“知識(shí)之諧”.

學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)對(duì)于命題“等邊對(duì)等角”《原本》證法比教材“復(fù)雜”之后，教師及時(shí)用問題引導(dǎo)學(xué)生探尋產(chǎn)生這種不同背后的原因，最后學(xué)生發(fā)現(xiàn)二者所選的基本事實(shí)和命題的編排順序均有所不同，隨后教師又組織學(xué)生嘗試改編《原本》中命題的編排順序，發(fā)現(xiàn)《原本》的編排邏輯嚴(yán)密、環(huán)環(huán)相扣、步步深入，這一過程體現(xiàn)了“探究之樂”.

本課加深了學(xué)生對(duì)公理化思想的理解，提升了邏輯推理素養(yǎng)，此外也培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀能力、文獻(xiàn)查閱能力、分析能力等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史在發(fā)展學(xué)生綜合素養(yǎng)方面的“能力之助”.

通過閱讀《幾何原本》及觀看微視頻，學(xué)生了解到《原本》從5條公設(shè)和5條公理演繹和發(fā)展出400多條定理，公設(shè)和公理是幾何發(fā)展之濫觴；公理化思想在推動(dòng)自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)等學(xué)科發(fā)展方面發(fā)揮了重要示范作用，體現(xiàn)了學(xué)科聯(lián)系，這些都很充分地展示了數(shù)學(xué)史的“文化之魅”.

在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生深刻感受到歐幾里得編著《幾何原本》這一巨著的辛苦和偉大，堅(jiān)定了學(xué)好幾何的信念；此外，學(xué)生在閱讀分析不同證法的過程中，摒棄以自我為中心的做法，不斷與古人“對(duì)話”，學(xué)會(huì)“傾聽”古人，進(jìn)而學(xué)會(huì)傾聽今人，較好地達(dá)成了“德育之效”.

6 結(jié)語

《原本》為學(xué)生學(xué)習(xí)和感悟公理化思想提供了很好的載體. 受教材編寫及學(xué)生認(rèn)知水平等因素的制約，在平時(shí)課堂教學(xué)中幾何體系被分割成若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)分散到不同時(shí)段學(xué)習(xí)，這使學(xué)生學(xué)到的幾何知識(shí)是零散的，大大降低了學(xué)習(xí)和體會(huì)公理化思想的效果，未能很好地發(fā)揮出幾何學(xué)對(duì)培養(yǎng)人的理性精神的重要價(jià)值. 筆者以初三一輪復(fù)習(xí)為契機(jī)，以“等邊對(duì)等角”這一性質(zhì)的證明為載體，滲透公理化思想的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng). 從課后學(xué)生問卷結(jié)果中可以看出，學(xué)生對(duì)公理化思想較之以前有了更為清晰的認(rèn)識(shí)和更為深刻的理解.

但是，仔細(xì)反思，本課還是留下一些遺憾，由于學(xué)生平時(shí)很少進(jìn)行這種模式的學(xué)習(xí)，缺乏學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，加之課堂時(shí)間有限，導(dǎo)致本節(jié)課師生之間的對(duì)話較多，生生之間的交流偏少. 公理化思想的理解是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，本節(jié)課只是這個(gè)過程的一個(gè)開端，還需要在后續(xù)的教學(xué)中不斷安排類似課程的學(xué)習(xí)，以逐步提高學(xué)生對(duì)公理化思想的理解及對(duì)數(shù)學(xué)理性精神的欣賞水平.